Witt vectors

Witt vectorについて

W0 = a0
W1 = a0^p + a1
W2 = a0^p^2 + pa1^p + p^2a0
...
Wn = Σ p^i ai^p^(n-i)

a = (a0, a1, a2, ...)
b = (b0, b1, b2, ...)

x = a + b = (x0, x1, x2, ...)
y = ab = (y0, y1, y2, ...)

(Wx)0 = x0
(Wa)0 + (Wb)0 = a0 + b0
∴ x0 = a0 + b0

(Wx)1 = x0^p + px1
(Wa)1 + (Wb)1 = (a0^p + b0^p) + p(a1 + b1)
∴ x1 = (a0^p + b0^p)/p - (a0 + b0)^p/p + a1 + b1

(Wy)0 = y0
(Wa)0 (Wb)0 = a0 b0
∴ y0 = a0 b0

(Wy)1 = y0^p + py1
(Wa)1 (Wb)1
= (a0^p + pa1)(b0^p + pb1)
=(a0 b0)^p + p(a0^p b1 + a1 b0^p) + p^2 a1 b1
∴ y1 = a0^p b1 + a1 b0^p + p a1 b1

びふょうり

どうなのか

わっきゃい

これが何の役に立つんだ？

役に立ったかどうかは知らぬが正標数を標数ゼロに持ち上げる悪戦苦闘の歴史が詰まっている
むかしこれで数年を費やした過去が懐かしい

皆殺しのキリング形式的数学

killing field