>>222 補足

p進付値と 非アルキメデス距離 p-進距離

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4
p進付値
p-進付値（ぴーしんふち、p-adic valuation）とは、数学において、素数 p に対して有理数体あるいは p-進数体に定義される付値の一種である。p-進付値は p-進距離と呼ばれる距離を定める。
有理数 x に対して、負の指数を許した次のような素因数分解
x=sgn(x)・p1^e1p2^e2⋯pn^en (ei∈Z)
（pi はi番目に小さい素数）を考えたときの ei が x の pi-進付値である。ただし、sgn は符号関数。

定義
素数 p をとる。0 でない任意の有理数 x に対し、次を満たすような整数 n, a, b が一意的に存在する。
略す

非アルキメデス距離
p-進付値 vp が与えられたとき、
|x|p=p^−vp(x)
と定めて、これを x の p-進絶対値 と呼ぶ。p-進絶対値は乗法賦値であり、任意の二つの有理数（あるいは p-進数） x, y に対し、二変数の関数 dp(x, y) を
dp(x,y)=|x−y|p
と定義すると、dp(x, y) は有理数体 Q（あるいは p-進数体 Qp）の上に 距離位相を与える。これを p-進距離とよぶ。p-進距離は超距離（非アルキメデス距離）である。

数列 {pn} は（通常の距離 d∞(x, y) = | x - y | に関しては無限大に発散するが）、p-進距離に関して 0 に収束する。つまり、p-進距離の入った空間では p の高い冪を含むほどに小さいと認識されるのである。