分かってないのはセタさんなので、一人で勉強してください。
ポントリャーギン双対
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%B3%E5%8F%8C%E5%AF%BE

ここに書いてあるように、離散フーリエ変換、フーリエ級数、フーリエ変換をすべて統一的に論じることができる。
しかし、これはやや「高い立場」ですね。この中で最も簡単なのが離散フーリエ変換。
基本的には、有限巡回群（より一般には有限アーベル群）に関する話だから。
当然、収束性の問題などは生じない。セタさんは、この最も簡単なケースが理解できてないんですよ。
フーリエ級数、（一般的な）フーリエ変換は、いずれも無限アーベル群に関わるケースです。

・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
　双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数が
　その離散フーリエ変換から復元することができる。

まずは、このケースからしっかり理解してください。
工学部出身者として恥ずかしいよ。