交代群 A5 が単純群である（自明な正規部分群しか持たない）証明は、主に「3-サイクル（長さ3の巡回置換）の共役性」と「A5 の構造」を利用します。A5 の要素（60個）が3-サイクルで生成される点、およびすべての3-サイクルが A5 において共役であることを示し、正規部分群が必ず3-サイクルを含むことを導く手法が一般的です。

これの「正規部分群が必ず3-サイクルを含むことを導く」が、私は気になっていた。



2. 共役性: A5 において、すべての3-サイクルは共役である。
3. 正規部分群の構造: A5 の非自明な正規部分群 \(N\) は、3-サイクルを1つでも含むと、共役性によりすべての3-サイクルを含む（＝N=A5 となる）。

この流れも重要だと思う。これでA4の正規部分群V4の話も理解できそう。



特に後者は自分で探しても出てこなかったから、コピペありがとう。