a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)は、どこから来たの？

こいつだけ異質では？

1/2((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2)
= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca

(x - a)(x - b)(x - c)
=x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc

x = a, b, cを代入すると

a^3 - abc = (a + b + c)a^2 - (ab + bc + ca)a
b^3 - abc = (a + b + c)b^2 - (ab + bc + ca)b
c^3 - abc = (a + b + c)c^2 - (ab + bc + ca)c

足すと

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ca)(a + b + c)
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca
= (a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)

>>2
これ、ベクトルにしたら余弦定理じゃん

クソスレとは何なのか

異色の糞スレ

ax+ay=a(x+y)

xx+2ax+aa=(x+a)(x+a)

糞スレ主はどこから来た、そしてどこへ行くのか

破壊の唯一神💩様の登場だが、これは真面目にレスしよう。

1の3乗根を使えばスッキリと因数分解出来たはず。実数の範囲で考えるからイマイチ分からない感じになる。二面体群D3にも関係深そうな等式である。

オメガを使った因数分解がしばらく書かれなければ、私が後で書こうかな。

対称式だから、a,b,cを置換しても同じ式になる。だから、二面体群D3とも関連してくるのではないかと思う。

a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca
＝（a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)

便秘が解消されて、スッキリしただろう💩

対称式の基本定理よりa^3+b^3+c^3は
(e3)、(e2)(e1)、(e1)^3の線形結合で書ける
(e3)=abc部分を移項したものは(e1)=a+b+cを因数に持つ

ρを１の原始５乗根として、

(a + bρ + cρ^2 + dρ^3 + eρ^4)×
(a + bρ^2 + cρ^4 + dρ + eρ^3)×
(a + bρ^3 + cρ + dρ^4 + eρ^2)×
(a + bρ^4 + cρ^3 + dρ^2 + eρ )
を計算すると...

https://math.stackexchange.com/questions/4897143/a-formula-for-the-norm-in-the-cyclotomic-field-of-degree-5

💩次対称群（S💩）は、可解でも非可解でもなく臭いです。

S💩は単純に臭い群で、自明な正規💩部分群を持ちません。

>>18
自明な正規💩部分群しか持ちませんの間違いです。
こりゃ失敬…。

3次行列式
｜a b c｜
｜c a b｜
｜b c a｜
を2通りの方法で計算すれば出る。

３時巡回行列式の因数分解式で３次方程式は２次方程式に帰着する
S_3 ▷ A_3 (３次巡回群)

S_4 ▷ A_4 ▷ K(Kleinの４元群)に対応する４次行列式の因数分解式で４次方程式は３次方程式に帰着する
S_4 / K ≅ S_3

>>20
なるほど、これはスマートだね

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

|(a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)|
|c a b|
|b c a|
= (a + b + c)(a^2 - bc + b^2 - ca + c^2 - ab)

なるらど

>>21
2つの２次正方行列
A =(a b)
(b a)

B =(c d)
(d c)

に対して４次行列式
| A B | = | A-B B | = | A-B B | = |A-B| |A+B|
| B A | | B-A A | | 0 A+B |

はKleinの４元群 K=V_4　に対する群行列式である
これを展開した４次式

((a-c)²-(b-d)²)((a+c)²-(b+d)²)
=(a-c-b+d)(a-c+b-d)(a+c-b-d)(a+c+b+d)
=a^4 + S_2 a^2 + S_1 a + S_0
ここで　S_i (i=0,1,2)は b,c,d の対称式

を用いると
４次方程式 X^4 + S_2 X^2 + S_1 X +S_0 = 0 の根は　b,c,dを求めれば良い
ことが分かる

これは、S_i からb,c,dを求める３次方程式を解くことになる

>>24
行列と行列式、２行にわたるところがずれてますが２行目を適当にずらして解釈してください

>>24 整形

2つの２次正方行列
A =(a b)
　 (b a)

B =(c d)
(d c)

に対して４次行列式
| A B | = | A-B B | = | A-B B | = |A-B| |A+B|
| B A | | B-A A | | 0 A+B |

はKleinの４元群 K=V_4　に対する群行列式である
これを展開した４次式

((a-c)²-(b-d)²)((a+c)²-(b+d)²)
=(a-c-b+d)(a-c+b-d)(a+c-b-d)(a+c+b+d)
=a^4 + S_2 a^2 + S_1 a + S_0
ここで　S_i (i=0,1,2)は b,c,d の対称式

を用いると
４次方程式 X^4 + S_2 X^2 + S_1 X +S_0 = 0 の根は　b,c,dを求めれば良い
ことが分かる

これは、S_i からb,c,dを求める３次方程式を解くことになる

失敗

３次方程式

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a+ωb+ω²c)(a+ω²b+ωc), (ω³=1)
に X=a　とおいて
X³ +(-3bc)X +(b³+c³)= (X+b+c)(X+ωb+ω²c)(X+ω²b+ωc)

３次方程式
X³ + AX +B = 0
を解くには係数A, Bに対して
A = -3bc, B = b³+c³
を満たすb,cを求めればよい
b³c³　= - A³/27 より
２次方程式
T² - BT - A³/27 = 0
の２根の３乗根を求めればよい

>>20
x^4+4y^4=(×^2-2xy+2y^2)(×^2+2xy+2y^2)
の因数分解も行列式を使って説明できる？

a= ×^2+2y^2,
b= 2xy
と取ればでるが、一発で出したい

>>29
右辺をさらに因数分解して、
x^2-2xy+2y^2=(x-y)^2+y^2=(x-y)^2-(iy)^2
x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2=(x+y)^2-(iy)^2
>>26の4次の行列式に持ち込む。

4次の巡回行列の行列式
｜a b c d｜
｜d a b c｜
｜c d a b｜
｜b c d a｜
= (a+b+c+d)(a-b+c-d)(a+bi-c-di)(a-bi-c+d)
= (a+b+c+d)(a-b+c-d)( (a-c)^2+(b-d)^2)

これを利用して4次方程式を解くことが出来る>>24

>>33
> これを利用して4次方程式を解くことが出来る>>24

同様にして、5次の巡回行列の行列式を考えて5次方程式を解こうとすると、
どこで行き詰まるんだろうか？

>>24
>>33

４次方程式

Kleinの４元群V_4に対する群行列式
｜a b c d｜
｜b a d c｜
｜c d a b｜
｜d c b a｜
=((a+c)^2 - (b+d)^2)((a-c)^2 - (b-d)^2)
=(a+b+c+d)(a-b+c-d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)

a = X とおいて展開すると
X^4 - 2(b^2+c^2+d^2)X^2 + 8bcd X +(b^4+c^4+d^4 - 2(b^2c^2 + c^2d^2 + d^2b^2))
=(X+b+c+d)(X-b+c-d)(X+b-c-d)(X-b-c+d)
上式を
X^4 + A X^2 + B X + C
とおくと上の４次方程式をとくには
2(b^2+c^2+d^2) = -A
8bcd = B
b^4+c^4+d^4 - 2(b^2c^2 + c^2d^2 + d^2b^2) = C
から、b,c,dを求めればよい
ところで
C = b^4+c^4+d^4 - 2(b^2c^2 + c^2d^2 + d^2b^2)
= (b^2+c^2+d^2)^2 -- 4(b^2c^2 + c^2d^2 + d^2b^2)
ゆえ
b^2c^2 + c^2d^2 + d^2b^2　= {(-A/2)^2 - C}/4

よって
b^2+c^2+d^2= -A/2
b^2c^2d^2 =B^2/64
b^2c^2 + c^2d^2 + d^2b^2　= {(-A/2)^2 - C}/4
したがって３次方程式
T^3 + A/2 T^2 + [{(-A/2)^2 - C}/4] T - B^2/64 = 0
の根の平方根がb,c,dである

S_4 ▷V_4 で　S_4 /V_4 ≅ S_3　である
４次巡回群はS_4の正規部分群には現れない

>>1
n変数へ拡張できるよ