Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 84

前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1769304207/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜2026年は大きな動きがないかも＞
（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということか。あるいは 御大が何かキャッチしたようなので 春に動きの可能性も・・（＾＾）
https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops

＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）

(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく

>>149
PCならAdblockで＊＊広告は消せる

>>152
＞煩悩ないのね

１は煩悩だらけだよ

分かってないことでも分かったような顔して吹聴して
他人にマウントしたい煩悩だらけ

>>154
そっちの煩悩はしらないw

>>146 補足
下記の 自己言及の論理と計算∗長谷川真人 京都大学数理解析研究所
数学入門公開講座のpdf が 一般向けで読みやすいだろうから
アップしておきますね　（＾＾

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算∗長谷川真人
∗京都大学数理解析研究所
数学入門公開講座（2002年8月5〜8日）の予稿を改訂（2006年5月／2007 年8月／2011年6月）

目次
I 自己言及と対角線論法
1 ラッセルの逆理
2 カントールの対角線論法
3 自己適用
4 停止性問題
5 対角線論法から不動点へ
6 不動点定理から具体例を見直す

II 矛盾したものを構成する
1 完備半順序集合と連続関数
2 最小不動点の発想
3 最初の試み
4 埋め込みと射影
5 なぜ失敗したか
6 正しい解の構成—逆極限法

７０年代の学生「ガロア理論で５次方程式が代数的に解けないってわかるってすげぇよな」
８０年代の学生「不完全性定理で無矛盾性が証明できないってわかるってすげぇよな」

ただ、わかってしまうと、そんなにすげぇわけではないと思う（笑）

ガロア理論は別にべき根にとってかわる任意の代数方程式の解法とか用意しない
不完全性定理は別に証明にとってかわる任意の命題の真偽判定法とか用意しない

>>153
>PCならAdblockで＊＊広告は消せる

ありがと
検討してみる
（いまどき へんなリンクふむと へんなところへ連れていかれることがあるので 迂闊なことができない。Adblockは いいかも）

あと 課金していると １投稿で 2048文字制限だったかが 2800くらいまで緩和されるんだ
長文投稿には 重宝している

>>158
Adblockはいいよ

自●の回数が減るから（笑）

>>158
＞長文投稿には 重宝している

長文投稿止めれば？

誰もコピペ読まんし（バッサリ）

１はバレてないと思ってるかもしれないけど
皆、１の長文コピペは
「全く勉強せずにシッタカハナタカするため」
って知ってるから

その証拠にコピペの内容を１が理解してないことをあげつらってくる

だから１はコピペをやめるのが一番だが
利口ぶりたい煩悩が抑えられないので
ついついやっちゃう

病気だな

過疎ったときには、コピペから何か話題がないかと探したりする。

可解な代数方程式でべき根解を求めるのにラグランジュ分解式使えるとかいう話と
再帰関数定義するのに対角化によるYコンビネータ使えるとかいう話は
どっちも、素人にはチンプンカンプンだが、分かってるには基本の常識　という点で共通

大学３年レベルだな

任意の代数方程式について、複素関数論使えば、階の存在（個数）も場所も分かるとかいう話と
任意の述語論理式について、恒真なら証明が存在しかつ見つけられるとかいう話は
どっちも、素人には魔法に見えるが、分かってる人にとってはそんな大した技じゃない　という点で共通

大学２年レベルだな

>>83
>高校時代に ゲーデルの不完全性定理の 一般人向けの本を読んだ
君は文系かい？　理系なら数学書読みなよ

>要するに ゲーデル数（自然数）というのを ゲーデルが導入した
>公理を 全て ゲーデル数で表す
公理ではなく論理式な（公理も論理式だが）。
ゲーデル数の仕組みを用いると論理式を自然数にコード化、および逆のデコード化できる。

>定理は 公理で表されるから ゲーデル数で表せる
定理も論理式だからゲーデル数で表せる。
定理は公理で表される？　なんだそれ？　じゃあカントールの定理を公理で表してみて。

>そうすると、ある公理系の定理は 全てゲーデル数で表せる
公理も定理も論理式だからゲーデル数で表せる。

>ここから 対角線論法に入る
？

>つまり ある公理系の定理で 全てをゲーデル数としてを列挙して
>それに 対角線論法を適用すると 最初に列挙したものと違う定理ができるってわけ
おいおいｗ

>うろ覚えなので、正確なことは 下記などを見てね （＾＾
君のはうろ覚えではなく理解してないと言う

>>84
>ここで書いた ゲーデルの不完全性定理のあらすじが
>私の （加藤文元氏） ”メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」”>>24
>なのです
「理解」も何も、君のあらすじとやらはまったく間違ってる、掠りもしていない

>枝葉は落として 大きな幹だけ
>必要なときに メンタルピクチャーから 細部を再現する
間違った幹からはいかなる正しさも再現できないからまったく無意味

>間違った幹からはいかなる正しさも再現できないからまったく無意味
いや、無意味じゃ済まない。このように公開掲示板で嘘垂れ流すから害悪だ。

>>88
>良いんだよ
>”一石を投じる”ってやつ
君のは一石ではなく嘘デタラメ

>池に石を投げる
>波紋が広がる
>その波紋を受けて 各人が考えればいい
いや、投げられた嘘デタラメはフルボッコされるだけ

口から出まかせに嘘デタラメ吐く行為をシレっと意義付けしようとしてるけど完全に失敗

>>89
>相変わらず無駄コピペのクセが治らないねぇ　１は
スレが見づらくなって迷惑千万
他人の迷惑を考えられない自分本位な人なんだろうね

>>169
そもそも他人にマウントしたいという
１の動機は自己本位以外の何物でもない（笑）

>>121
その通りですね
間違い・ウソを書き散らしたいならチラシの裏でやって欲しい　公開掲示板でやるのは破廉恥極まりない

職人さん、ここは基本こんな感じだからねw

破廉恥な広告は嫌いですw

>>171
１がダメなのは、自分の言ってることの誤りが指摘されると
「ここは便所板だ！落書きOK！」と開き直ることですね

こういう人は普段でも自分の行動の不適切性について指摘されると
同様な言い訳で開き直るんでしょうね

昭和老人あるある

>>134
>１はメンタルピクチャ―好きやなあ（笑）
彼に理解できるのは絵に描画できることだけなんでしょうね

>>173
１のコピペはエロ広告と同じくらい鬱陶しい

見たくもないものを見ろと強制されてるわけだから

１は自己本位だから言い訳しかしないが

その言い訳も鬱陶しい

「俺様を敬え、若造ども」と強制されるわけだから

>>172
いやマジで気にせず（）

>>175
絵を描いてもいいけど
絵と式が対応してなのが致命的なんだよね

式読めてないから仕方ないか

>>177
まあ、あなたは気にしなくていいです（笑）

文系高卒の関西弁の人の発言の動機は大いに理解します
というか実に正常な反応です（笑）

我々としては残念な異常者と思っていただいて構わないので
生暖かく見守ってくださいというだけのことです

いわばジャンピング土下座（笑）

>>146
>第一不完全性定理: 1931年に発表された。自然数論を含む一貫した形式的体系には、証明も反証もできない命題（決定不可能な命題）が存在する。
その体系が再帰的である必要がある。
この条件を外すと、無矛盾な拡大理論で極大なものの存在がZornの補題から証明できて反例になる。

数学板で「数学だけやってりゃいいとおもうなよ」といわれても
「ほっとけ、大きなお世話だろ」と思わなくもないですが（笑）
それいっちゃうと子供のケンカになっちゃうのでウソで大人ぶって
「はいはい私たちが変態です」と低姿勢にでてやりすごしたい
というのが正直なところです（笑）

１にも同じようにすればいい？
いやいやいやいや
彼は我々の大切な数学を尊重してるような顔して
実は大変粗末に扱うケシカラン奴なので
この点についてはこういいたいわけです

「違う、そうじゃない」

誰ですか？「渋谷で５時」とかいってる人は（笑）

>>180
そもそも証明可能性述語が算術的に記述できないような理論だったら
理論の中に埋め込みできないので意味がない（笑）

>>148
>もっと大事なことは
>１回の問いで分かった気にならないことじゃないかな？
>複数回やって 上澄みを取ることが 大事じゃね？
もっと大事なことは
AIで分かった気にならないことじゃないかな？
数学書で勉強して理解することが 大事じゃね？

「ごめんねー　怒ってる？怒ってる？怒ってないよね？」

このセリフを言って許されるのは菊池桃子だけ（笑）

>>183
あくまで個人の感想ですが
AIは質問次第では、かなり的確に答えます

それを読んでも理解できない１は・・・
AI以下といえますね（笑）

>>179
いや、完全にイレギュラーですから。
数学の学会にブッダ気取りのオッさん来たら
『何しに来たん？』は当たり前ですからねw

可能性術後の話しがありましたが、
最近のAIは凄いですよね。
長々とAIと話して
『数学は知らんけど、論理的齟齬は無い？』
としたら「齟齬ないゆ」、「数式に出来る？」
『AIこんな感じっす』と、2日の話しが
ちっちゃい数式で現せられるの凄いなと。

>>182
理論Tが不完全であるためにはTにおける証明可能性述語がΣ1論理式であることが必要（算術的に記述できるだけでは不十分）。そのためにはTが再帰的であることが必要。

>>185
>あくまで個人の感想ですが
>AIは質問次第では、かなり的確に答えます
同感です。
しかし>>180のように肝心な条件を抜かすこともありますから、AI頼りでは危険だと思います。
それにいくらAI回答が的確でもそれを読む人が理解できなければ無意味ですからねｗ

>>187
ちょっと嘘混じってたｗ

「理論Tが不完全（かつ整合的）であるために、その証明可能性述語がΣ1論理式であることは、必須の条件ではありませんが、標準的な不完全性定理の証明では、証明可能性述語をΣ1として構成する（理論が計算可能、または再帰的可枚挙である）ことが一般的です。」
とのこと

>>186　ここは、学会ではないので、それは別にいいっすよ（笑）

数学として間違ったこというより、数学以外の話してもらったほうが気楽なので

>>187　>>189

タルスキの定義不可能性定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

ーーー
タルスキの定義不可能性定理（英: Tarski's undefinablity theorem）は
1933年にアルフレト・タルスキによって提唱・証明された
数理論理学、数学基礎論、形式意味論における重要な限界を示した結果である。
大まかに言えば、この定理は「算術的な真理を算術内で定義することはできない」ことを主張する。

この定理はより一般に、十分に強い形式体系にも適用でき、
その体系の標準モデルでの真偽をその体系内で定義できないことを示す。

>>191のつづき

定義不可能性定理はこれまでアルフレト・タルスキによるものとされてきたが、
ゲーデルもまた、1931年に発表した不完全性定理の証明の中で、1930年に定義不可能性定理を発見している。
これは1933年に発表したタルスキよりもかなり前である。
ゲーデルは独立に定義不可能性を発見したことに関して発表することはなかったが、
1931年にジョン・フォン・ノイマンに宛てた手紙の中では触れている。

>>192について

レイ・スマリヤンも著書で指摘してるけど

ゲーデルの不完全性定理よりも定義不可能性定理のほうが根源的でしかも易しい
（わざわざ証明可能性述語を具体的に構成する必要がないので）

Q.再帰的とは限らない理論でゲーデルの不完全性定理の反例はありますか？

A.はい。具体的には以下の例が挙げられます。
再帰的でない公理系による理論 (Non-recursively enumerable theories)
公理のセットが「真のステートメント全て」である場合、ゲーデルの不完全性定理を逃れることができますが、これは実践的な理論とはみなされません。不完全性定理は「有限個の、あるいは計算可能な手続きで識別可能な公理から構成される理論」に焦点を当てています。

>>192のつづき

（定義不可能性定理の）証明の形式的な仕組みは、対角線補題で用いられる対角化を除いて全く初歩的なものである。
対角線補題自体の証明も驚くほど単純であり、例えば再帰関数などは不要である。
この証明では全ての L-式がゲーデル数を持つと仮定するが、具体的なコーディング内容は要求されない。
したがってタルスキの定理は、一階算術のメタ数学的性質に関するゲーデルの不完全性定理よりも動機づけと証明はずっと簡単である。

レイモンド・スマリヤンは、タルスキの定義不可能性定理はゲーデルの不完全性定理が集めた注目に値すると強く主張している。
ゲーデルの定理が、全ての数学やもっと議論を呼ぶ哲学的問題の範囲について多くを語れるかどうかはあまり明らかでない。
一方でタルスキの定理は直接的に数学に関するものでなく、実際の興味を持つに足る十分な表現能力のある全ての形式言語の先天的な限界に関するものである。
そのような言語は対角線補題を適用できる程度の自己言及が必然的に可能である。タルスキの定理の広範な哲学的意義はより明らかである。

自然数論の完全な公理系は存在し得ます

一方で、そのような理論における真なる命題の定義を自然数論で記載することは不可能

そんなことができると矛盾する、というのが定義不可能性定理

>>165-167
>>間違った幹からはいかなる正しさも再現できないからまったく無意味
>いや、無意味じゃ済まない。このように公開掲示板で嘘垂れ流すから害悪だ。

バカさる(>>29) 多弁だな （＾＾
下記 ”選挙戦はSNSの影響力が拡大　専門家「フェイク情報を見抜けるのはたった14.5％」 生成AI時代の情報リテラシーが試される”

ここ5ch 便所板は 日本のSNSでも いまや最底辺だろうよ
わけわからん おまえみたな 匿名さんが デタラメ放題 書き放題やってる

昨年だったが 友人が 「神戸のここらのおばちゃん 立花のいうことを信じている」といっていた （＾＾
だから 斎藤元彦が当選するんだろうさ

さて、政治と違って 数学では簡単な話で
あほバカおさる のいうことは真に受けずに
必ず”ウラトリ”をすることだよ
それは 大人の作法ですよ アホバカおさるさんよｗ

おれは、御大のカキコでも ちょっと疑問に感じたら
”ウラトリ”するよ

まして こんな場末の５ｃｈの 匿名さんで どこの馬の骨ともしれん アホバカおさる を真に受けるなんて ナイナイｗｗ
もちろん 私のカキコも同様さｗｗ　（＾＾；

(参考)
https://www.fnn.jp/articles/-/996886
fnn.jp
選挙戦はSNSの影響力が拡大　専門家「フェイク情報を見抜けるのはたった14.5％」 生成AI時代の情報リテラシーが試される
富山テレビ
2026年2月3日

こうしたSNSでの発信について、国際大学グローバル・コミュニケーション・センターの山口真一准教授は、「2024年は兵庫県知事選、東京都知事選など、さまざまな選挙でネット上で話題となった候補が躍進。2025年の参院選でも大きな影響力を持ち、話題となった政党が躍進した」と述べ、約2年前から選挙の結果に影響するようになったと分析する。

深刻化する「デマ情報」の問題

その一方で、全国的に問題となっているのが「デマ情報」だ。山口准教授は今回の選挙についても、「例えば政党のロゴを改変したようなものとか、"ある政治家が日本を追放される"というような、非常にセンセーショナルなフェイク情報が飛び交っていると感じる」と警鐘を鳴らす。

特に注目すべきは、前回の参院選との大きな違いとして、生成AIの技術が急速に進歩していることだ。「今のところディープフェイクAIが作ったニセ動画などの偽画像が大きな問題になっているのは確認していない」としながらも、「既に生成AIの技術が非常に進歩している。ニセ動画やニセ画像をAIを使って作ることは誰にでもできて、それをSNSに投稿するのも非常に簡単」と懸念を示している。

市民も情報の真偽に不安

街の人々からも情報の真偽に対する不安の声が聞かれた。

「たまに何が本当かわからない時があって、どうしたらいいのかと思う」

「公式（アカウント）じゃないところは信じないかも」

『文字でも数字でも完全には現せないよ』
って数字も文字の一つなんだから
そりゃそうでしたね。

>>197
>必ず”ウラトリ”をすることだよ
>それは 大人の作法ですよ アホバカおさるさんよｗ
>おれは、御大のカキコでも ちょっと疑問に感じたら
>”ウラトリ”するよ
じゃなんで君は自分の発言を裏取りせず書き込むんだい？
まあ真面目に裏取りしたら全部間違いだから何も書き込めなくなるなｗ

>>199
１は自分の直感についてはウラトリせずにそのまま書き込む

正方行列＝正則行列のときもそうだったし
連続性の定義の同値性のときもそうだった

で、必ずそこで炎上する（笑）

自分が全く疑問に感じないことで、間違ってるから一番始末が悪い

１は、写像の連続性について
「ギャップ」の有無が判定基準といってたが
それは典型的なトラップ（笑）

実は不連続点x0ではf(x0)の如何なる近傍の逆像をとっても
xのいかなる近傍も含まない

つまりギャップを直接目で見てるわけではなく
不連続点の近傍がどうなっているかで判断する

目で見て分かることだけに固執すると
言葉が読めなくなり、書かれてることが理解できなくなる

落ちこぼれる人は大体頑固で頭の切り替えができない
切り替えないと先に進めないのでそこで終わり

いくらメンタルピクチャ―とかいっても無駄
これが現実

１は、なにかというと
「誰の指図も受けない」
というが、結局それで落ちこぼれる

みんな、１がなんで失敗したか分かってる
１だけがそれを認めたがらないけどね

メンタルピクチャーは好きで、ルネピクチャーは嫌い。

>>156
あたかも君は理解してるかのような口ぶりだけどそうなのかい？
その悪癖治そうな

>>157
>長文投稿には 重宝している
他人の迷惑も考えような

>>157 じゃなく >>158　だった

素朴な疑問なんですけど、今時命題を証明するとき、
間接的な証明ではなく直接的に証拠を構成することで証明された
と見なす立場を取る論理で考える
ブラウアーのような直観主義論理の論法
で証明する人っているんですか？

>>207
直観主義論理は古典論理から推論を制限したものです

例えば、
古典論理では、A⋀Bから矛盾を導いて¬A⋁¬Bを証明できますが
直観主義では、これはNGです
どの場合に¬Aで、どの場合に¬Bか
証明しなくてはなりません

∀xP(x)から矛盾を導いて∃x¬P(x)を導くのも
直観主義ではNG
¬P(x)となるxを具体的に示さねばなりません

数理論理の研究として証明できるか否かを考える人はいますが
数学としてそのようなことをする人はいないでしょうね　知らんけど

>>208
そうですか、参考になりました
どうもありがとうございます

イプシロンデエルタをやっていたと思ったらコレだからね。
中の人が変わったんですかっていう。

>>207
(引用開始)
素朴な疑問なんですけど、今時命題を証明するとき、
間接的な証明ではなく直接的に証拠を構成することで証明された
と見なす立場を取る論理で考える
ブラウアーのような直観主義論理の論法
で証明する人っているんですか？
(引用終り)

アホな解説>>208 しかできないやつがいるな （＾＾；
20世紀前半で詰んだ人よ

直観主義論理は、圏論で復権した！（下記）
これは 21世紀の常識だから 覚えておきましょう！　（＾＾；

(google検索)
直観主義論理 と 圏論の 関係
＜AI による概要＞
直観主義論理と圏論は、デカルト閉圏（Cartesian Closed Category: CCC）を基盤とする強い関係性（Curry-Howard-Lambek対応）にあります。直観主義的論理式は圏の対象、証明は射とみなされ、論理の構造（含意、論理積など）は圏の閉構造や積で自然に解釈されます。
主な関係のポイント
・カリー・ハワード・ランベック対応: 直観主義論理の証明、型理論の型（ラムダ計算）、圏論の射の三者が対応し、論理的な推論を数学的に厳密な「圏」の構造として記述できます。
・デカルト閉圏（CCC）: 構造（特に射の集合が対象自体となる内部ホム）により、直観主義論理の「含意」(\(A\rightarrow B\)) を自然に表現します。
・ハイティング代数（Heyting Algebra）: 直観主義命題論理の代数モデルであり、部分対象圏がその構造を持つ場合、その論理は直観主義的になります。
・応用: この対応はプログラミング言語の型理論、および証明支援系における証明の構造化に利用されています。
直観主義論理の「排中律（\(A\lor \neg A\)）を持たない」という特徴は、圏論的意味論においては、全ての構造がブール代数（古典論理）ではなく、より一般的なハイティング代数やトポスという構造で捉えられることに相当します。

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/summer2013.pdf
直観主義論理への招待 - RIMS, Kyoto University
数学基礎論サマースクール2013 講義資料
照井一成（京都大学）
1 はじめに
直観主義論理 (intuitionistic logic) とは、オランダの数学者ブラウワー (1881-1966) が提唱した直観主義数学に由来する論理であり、直観主義数学で認められる推論の様式を弟子. のハイティング (1898-1980) が形式化したものである。 数学基礎論上の立場としての直観主義は、廃れて久しい。それはブラウワー個人の特異.
36 ページ

>>211 余談
圏論というのは、基本 矢印→を使うのです
なので、直接的かつ 構成的であって
間接法の背理法は あまりなじまない気がする 今日この頃です （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論である。サミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。
圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、
集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。

数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。
圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。

https://researchmap.jp/hisashi-aratake/presentations/41535386/attachment_file.pdf
圏論的論理学の拡がり
荒武永史
京都大学数理解析研究所
2023 年2 月23 日@Logic Winter School 2023
他のタイプの幾何学との関連として、manifold を含む「空間の圏」と見. なせるようなトポスを用いる綜合微分幾何学などもある。 また代数の層表現を通して、代数の性質と層トポスの内部論理の関連性. を示唆する研究もある。
34 ページ

直観主義論理が復活したわけではないわけで
そこに書かれている意味での直観主義論理は
復活どころかずっと研究され続けて居る
>>207の言う意味での直観主義論理は死んでいる
復活もしないだろうと思われる

>>211
１はとにかくマウントしたがる（笑）

なんでトポスは直観主義論理を使う？とAIに聞いたら
層を使うので開集合が必要
開集合の束はBoole代数じゃなくてHeyting代数
ということだった

>>191-193
>ゲーデルの不完全性定理よりも定義不可能性定理のほうが根源的でしかも易しい
>（わざわざ証明可能性述語を具体的に構成する必要がないので）

下記 林晋 百回音読しましょう！
”「タルスキ定義不可能性定理」の神話
　次は問2です．広く流布している普通の誤解(?)で
は，タルスキの論文はポーランド語でゲーデルの論文
より早く発表されていた，となっています．これは事
実です．しかし，そのポーランド語の論文には定義不
可能性定理はなかったのです．”

(参考)
https://shayashiyasugi.com/wwwshayashijp/
林晋サイト
https://shayashiyasugi.com/wwwshayashijp/wwwshayashijp.html
林晋旧サイトwww.shayashi.jp保管庫
https://shayashiyasugi.com/wwwshayashijp/HistoryOfFOM/index.html
旧「数学基礎論の歴史」のページ 林晋
https://shayashiyasugi.com/wwwshayashijp/susemi.html
数学基礎論三つの神話 林晋
このページの文章は、数学セミナー1999年６月号、２〜５ページに掲載された、私の記事をOCRで取り込んだものです。この記事の掲載に同意してくださった数学セミナー編集部に感謝します。

オリジナルとの違い：

1.東京農工大の前田博信先生のご指摘により、ドイツ語の綴りの誤りを修正してあります。
2.オリジナルは、タルスキのコメントが、英訳時に追加されたものであるという書き方をしておりました。これも前田先生のご指摘でドイツ語の論文のときからすでにあることがわかり、そのように書き換えました。
(抜粋)
　私は，この数学基礎論の時代の本を書くために，こ
の6年ほど文献調査をしているのですが，常識と思っ
て信じていた“歴史的事実"が間違っていて驚くとい
う経験を何度もしました．他の方に尋ねてみても同じ
ような間違いをしています．それで，どれくらいの数
の専門家が誤解しているものか興味が涌き，誤解が多
そうな歴史的事実を4つ選び，logic-m1という国内の
論理学のメーリングリストでアンケートをとってみま
した．その結果は，やはり，粗忽者は私だけではなか
ったのです．これはそのアンケートの報告です．

　問1．ヒルベルトは彼の有名な“数学の問題"の第
2問題として自然数論の無矛盾性をあげた．
　問2．タルスキは真理概念の定義不可能性定理を，
ゲーデルの不完全性定理より早く，そして，独立に得
ていた．
　間3．ゲーデルは，1931年の有名な不完全性定理の
論文で，我々が現在PAとよんでいる第1階算術の
(第1)不完全性を証明した．
　間4．ゲーデルは彼自身の第2不完全性定理にもか
かわらず，ヒルベルトの有限の立場による算術あるい
は数学の無矛盾性証明の可能性を信じていた．それは
1931年の論文の最後のコメントから明らかである．

つづく

つづき
「ヒルベルト第２問題」の神話
　まず，神話その1．つまり，設問1ですが，ヒルベルトが1900年にバリの第2回国際数学者会議で講演し
た“数学の問題"は岩波書店の『数学辞典』にも載っています．数学辞典では，ヒルベルトの第2問題は“算
術の無矛盾性"になっていますが，現代的言葉遣いでは，算術は自然数論の形式的理論，しかも多くの場合
は第1階の自然数論のことです．ですから，これを読んで私は20年以上もの間，第1階自然数論のことだ
と信じて疑わなかったのです
　しかし，実はヒルベルトが1900年に提唱したのは，自然数論ではなく実数論の無矛盾性証明だったのです．

「タルスキ定義不可能性定理」の神話
　次は問2です．広く流布している普通の誤解(?)では，タルスキの論文はポーランド語でゲーデルの論文
より早く発表されていた，となっています．これは事実です．しかし，そのポーランド語の論文には定義不
可能性定理はなかったのです

　タルスキの論文[2]の
脚注によると，n+1階の算術で，n階の算術の真理概念の定義ができることは1929年に得られ，1930年
にポーランドで発表されているが，同じ階数では定義不可能という定義不可能性定理とその証明は，ゲーデ
ルの1931年の論文を見た後で追加された，という事情がわかります．ただし，ゲーデルと同じよう'な感触
は持っていたようで，247ぺ一ジの脚注にそれが見えます

つづく

つづき

「ゲーデルのコメント」の神話
　最後の神話は問4です．問4の正解は(b)と書きましたが，これには異論も多いでしょう．これは議論を
始めると終わらなくなってしまうような話題です．ゲーデルのコメントというのは，次のものです．「(第2
不完全性定理は)ヒルベルトの形式主義的な観点とまったく矛盾しないことをはっきりと注意しておこう．
ヒルベルトの観点は，有限的方法によって実行された無矛盾性証明の存在を前提としているだけであり，P
では表現できないような有限的証明が存在するということも考えられるからである」．Ｐはゲーデルが不完
全であることを示した形式的理論です

　この設問を聞いた理由は，このコメントを引用して，「不完全性定理を発見したゲーデル自身が，ヒルベル
ト計画の可能性を否定していない．これにみられるように，それはまだ可能なのであって，この問題はいま
だに大問題として研究が進められている」という風に印象づける解説書が多々みられるからです．しかし，
これは現代の大方の研究老の感覚から大きく外れているとしか思えません

　(1)ゲーデルは，1930年には，ヒルべルトの有限の立場の証明がラッセルのプリンキピアで必ず形式化
できるということに確信をもっていなかった．そのため不完全性定理の論文に慎重なコメントを書いた．
　(2)　しかし，遅くとも1933年までには，その意見は大きくかわり，ヒルベルト計画は不可能であると確
信するようになる(全集III1933o)．また，第1，2不完全性定理によりヒルベルト計画の認識論的な意味は
ほとんどなくなってしまった，という意見を表明するようになる(全集III1933o，1938a)．しかし，哲学的
な意味を離れると，より明瞭なものに数学を還元するということは，それ自体が数学的に非常に重要な問題
であるとし，ゲンツェンの無矛盾性証明を，そのような仕事として評価する．(全集III，1938a)
　(3)　そして，この姿勢が終生つづいた．(全集II1972)
(引用終り)
以上

>>215
ぃま50回まで音読できました。

証明可能性述語の具体的構成なんて不要だけどね。
理論Tの論理式φと証明図τがそれぞれ任意に与えられたときにτはTにおけるφの証明図であるという関係を述語Proof(τ,φ)で表す。φがTで証明可能であることは∃xProof(x,φ)で与えられる。
証明図は有限長だからTが再帰的ならProof(τ,φ)の真偽は有限時間で判定可能なのでProof(x,y)はΣ1論理式、よって∃xProof(x,φ)もΣ1論理式。よってTの定理全体の集合はΣ1集合。
これだけの情報があれば不完全性定理の証明に十分。
尚、ゲーデル文Gは T|-(G⇔¬∃xProof(x,G)) を満たす閉論理式。

まあ真理述語についてはそもそも定義不能なんだから上記のようなことすらも考える必要無いけどね

１は他人にマウントしたい欲が強すぎて
他人の言葉が歪んで聞こえるので困る

>>215
>百回音読しましょう！
>”「タルスキ定義不可能性定理」の神話
>　次は問2です．
>　広く流布している普通の誤解(?)では，
>　タルスキの論文はポーランド語でゲーデルの論文より早く発表されていた，
>　となっています．これは事実です．
>　しかし，そのポーランド語の論文には定義不可能性定理はなかったのです．”

そもそも、192では
「実はゲーデルが不完全性定理に先立って
　定理不可能性定理に気づいていた」
と書いてるが、そこが読めずに
「タルスキが先に定義不可能性定理を発見したなんて嘘だ」
とわめく

もちろん、その通りだが、それ、既に192で言われてるよ（笑）

>>192
>ゲーデルもまた、1931年に発表した不完全性定理の証明の中で、
>1930年に定義不可能性定理を発見している。
>これは1933年に発表したタルスキよりもかなり前である。
>ゲーデルは独立に定義不可能性を発見したことに関して発表することはなかったが、
>1931年にジョン・フォン・ノイマンに宛てた手紙の中では触れている。

上記はドーソンによるゲーデルの伝記”Logical Dilemma”にも書かれてる筈

>>219
>証明可能性述語の具体的構成なんて不要だけどね。

後から考えればそうだけどね

要するに
Σ1(帰納的枚挙可能)述語　を
Δ1(計算可能)述語　に
潰すことはできないのが本質

証明チェック述語が原始的帰納関数として記載できる
というのはそれはそれで立派な成果
（ただのプログラミングではあるが・・・まあパイオニアですから）

>>215 補足
>ゲーデルの不完全性定理よりも定義不可能性定理のほうが根源的でしかも易しい
>（わざわざ証明可能性述語を具体的に構成する必要がないので）

ホイヨ
下記の＜AI による概要＞
タルスキの定義不可能性定理
「この定理は、ゲーデルの不完全性定理 と並び、形式体系が持つ能力の限界を示す重要な成果である」
とありますぜ、ダンナｗ　（＾＾
つまり ”ゲーデルの不完全性定理よりも定義不可能性定理のほうが根源的でしかも易しい”
とは、ちょっと違うのでは？ｗ

(google検索)
タルスキの定義不可能性定理
＜AI による概要＞
タルスキの定義不可能性定理（Tarski's undefinability theorem）は、十分な能力を持つ形式体系（算術など）において、「真理」という概念はその体系自身の中では定義できないことを示す数学基礎論の定理。1933年にアルフレト・タルスキにより証明され、自身の体系で自身の真偽を判定できない限界を明らかにした。
定理の要点
・算術的真理の定義不可: 自然数論のような一定の強さを持つ形式体系では、その体系内での「真なる文」の集合を、その体系自身の論理式として定義できない。
・定義しようとすると矛盾する: 真理を定義しようとすると、論理的な矛盾（例えば、自己言及パラドックスのような状態）が生じる。
・言語の階層: ある言語（体系）の真理は、より高階の言語（メタ言語）でのみ定義可能となる。
この定理は、ゲーデルの不完全性定理 と並び、形式体系が持つ能力の限界を示す重要な成果である。

>>223 追加

ホイヨ
”結論：理性と計算の「地平線」
これらの定理は、科学や理性を否定するものではありません。むしろ、知識の探求が、決して終わることのない、無限に開かれた旅であることを教えてくれる、知性の最も誠実な自己認識の表明なのです”
by 大海一則

(参考)
https://note.com/gay_dahlia6641/n/n6d94e9efc897
２０世紀の金字塔：ゲーデル、タルスキ、チャイティンの定理を、詳しく解説
大海一則 2025年9月4日
ゲーデル、タルスキ、チャイティンの定理を、詳しく解説｜大海一則
note · 大海一則
高評価 3 件 · 5 か月前
1. ゲーデルの不完全性定理：「証明できない真実」がある
2. タルスキの定義不可能性定理：「『真実』とは何か」を定義できない · 一言で言うと: 「ある言語（数学など）は、その言語自身の『真理の定義』を、その言語 ...
3. チャイティンの不完全性定理：「複雑すぎる真実」がある

結論：理性と計算の「地平線」
これら三つの定理は、私たちが頼りにしてきた理性や計算能力に、乗り越えられない壁ではなく、「地平線」が存在することを示しています。
ゲーデル: 地平線の向こうには、証明できない真実が広がっている。
タルスキ: 私たちは地平線のこちら側から、「真実」という地平線そのものの全体像を正確に定義することはできない。
チャイティン: 地平線の向こうには、私たちの理解のルールをあまりに超えた、複雑すぎる真実が存在する。

これらの定理は、科学や理性を否定するものではありません。むしろ、知識の探求が、決して終わることのない、無限に開かれた旅であることを教えてくれる、知性の最も誠実な自己認識の表明なのです

（追加）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/
Homepage of Kazushige TERUI
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/incomp.pdf
算術的階層の厳密性と形式的手法の限界について
照井一成 国立情報学研究所
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University
本章では、算術的階層の厳密性の第一の帰結として、真理述語の定義不能性（Tarski）. を証明する。 第2章で導入した規約により、論理式とはある性質を満たす自然数のことで ...
24 ページ

>>224 補足

”結論：理性と計算の「地平線」
これらの定理は、科学や理性を否定するものではありません。むしろ、知識の探求が、決して終わることのない、無限に開かれた旅であることを教えてくれる、知性の最も誠実な自己認識の表明なのです”
by 大海一則

これ、一つの “big picture” メンタルピクチャー>>24 だと
思う

圏論で矢印を使うというのは
多くの数学で自然数を使うとか変数や写像を使うとかと同じこと
それで表されているものが有るとか無いとかどれだけ有るとか
論証することとはまた別の話

なんとかピクチャーは曖昧すぎてむしろ無意味なので名前を付けるべきではなかったかな

>>222
コンピュータサイエンスのうち数理論理学寄りのことを解説した本ありませんかね

>>223
１　毎度恒例のトンチンカンな言いがかり

＞タルスキの定義不可能性定理
＞「この定理は、ゲーデルの不完全性定理 と並び、形式体系が持つ能力の限界を示す重要な成果である」
＞つまり ”ゲーデルの不完全性定理よりも定義不可能性定理のほうが根源的でしかも易しい”
＞とは、ちょっと違うのでは？

まったく違わんよ

・真理定義述語が持つ性質
・真理定義述語が算術的に定義可能とする前提

この２点から矛盾が導かれるので
真理定義述語は算術的に定義可能でない
という結論が導かれる

これは証明チェック述語を原始帰納的述語として
具体的に構成するとかいう以前の話なので根源的
そして余計な手間がないので易しい

証明を読み理解した人なら誰でも知ってることだが
証明を読まずしたがって理解もしてない１が知らんのは
当然といえば当然

ここは鳥だらけなのでコウモリは他所にいってな
（🚽掃除のオバちゃんより）

>>224-225
＞大海一則

誰やねん（笑）

>>228
222に出てきたΣ１とかΔ１とか、あとΠ１とかいうのは
計算可能性に関する算術的階層

算術的階層
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E7%9A%84%E9%9A%8E%E5%B1%A4

計算論とか計算の理論とかいうタイトルの書物は
だいたいこのあたりのことを書いている

まあ、ここで書いてるようなことは
ゲーデルの不完全性定理について書かれてる教科書なら
だいたい書いてあるけどね　基本だから

何を「ピクチャ―」として描くかは、その人次第だけど
仕掛けが好きな自分ならここを描くね

リシャールのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

ベリーのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

ゲーデルの不完全性定理は、リシャールのパラドックスの発想を、対角化によって実現している　
クワイン文がそれ

クワイン（プログラミング）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%B3_(%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0)

チェイティンの定理は、ベリーのパラドックスの発想を、コルモゴロフ複雑性によって実現してる

コルモゴロフ複雑性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E8%A4%87%E9%9B%91%E6%80%A7

>>231
どうもありがとう
チューリングマシンやプログラムというものが数理論理学的にどういう意義を持つかを知るには「計算論」「計算の理論」というタイトルの本がよいわけですね

数学の本 第104巻
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/
こっちの方でも聞いてみます

>>233
＞チューリングマシンやプログラムというものが
＞数理論理学的にどういう意義を持つかを知るには
＞「計算論」「計算の理論」というタイトルの本がよいわけですね

んー、「計算論」「計算の理論」は、計算可能性とか計算量とかに関わるけど
プログラム言語の意味とか、プログラムの正当性検証とかいうと、また別の話になりますね
前者はプログラム意味論　後者はプログラム検証論って感じですかね
必ずしもこの名称とは限らないんですが、当たらずといえども遠からずですかね

>>230
>＞大海一則
>誰やねん（笑）

さあ？　（＾＾
プロフィールは下記

https://note.com/gay_dahlia6641
大海一則

本記事は三度の死線を彷徨い、生きる意味を問い続けた一人の人間が発する根源的な「問い」と「感性」に対し、最新のAIが、人類の広範な知的遺産を横断しながら「理性」をもって応答し、その「響き合い」の中から、全く新しい思想体系を「共創」していくという、前代未聞のプロセスを経て執筆された。


私たちは「果実」ばかりを刈り取り、「生成」を忘れていないか
大海一則
1日前

>>227
>なんとかピクチャーは曖昧すぎてむしろ無意味なので名前を付けるべきではなかったかな

それ >>24
Terence Tao ＜“big picture”＞
にも 言っている？

”曖昧”な ものを捉えようとするとき
まず、名前を付けることから始めることが多い

名前を付けることから
議論がはじまる

>>236
この人って１が大好物の数学者（つまり専門家）ではないよね
数学科出身者という感じですらない

なんで、そんな人のページを紹介してるんだろうって疑問
１が期待する「お墨付き」にはならんよね？

big pictureは大局観・全体像といったところなのだろうか。

>>237
正直　画さえかければなんでもあり、なんでしょ

１はとにかく安易だからね　数学なめてるでしょ

女性初のフィールズ賞受賞者は、子供にいつもお絵かきしてるなんて言われていたみたい。

「イデア場」、「概念場」と何となく
勝手な名前つけましたが漢字で書くと
「全在無」とかが感じ的には近いですかね

つっても『ソレを数字や文字では表せない』
というのが、「タルスキの定義不可能性定理」でしょうから
近似値は出せても文章でも完全な表現は無理なんでしょうね。

多分、数式だと「虚数」が近い物かなと
だからオイラーの公式は成り立って証明できるんだろうと。

ただ、虚数は「永遠に線が続く」と、ソレの「終わりという物がそもそもない」
という部分では、現象は似てはいますが意味的には全く違いますからね。

で、そんな事考えたら驚く事に
ブッダは同じ事言ってるんですよね。

「色即是空（物質宇宙から精神宇宙）
空即是色（精神宇宙から物質宇宙）」

高卒なんで別に仏教科とか出た訳じゃないですが、
ブッダ様が言いたかった事が何となく解ったようなみたいな。

ただ、2500年経っても『良く解らん』で放置されてる辺り
考え方がズレてるというか、そもそも伝わり難いんでしょうね。

>>241
パンツは、ホントにパンツの形をしてる（笑）

Pair of pants
https://en.wikipedia.org/wiki/Pair_of_pants_(mathematics)

>>242
「虚数」は、実数じゃないってことで、
そういう名前になったけど
別に実数だけが実在して虚数はそうじゃない
っていう意味ではない

そんなこといいだしたら
そもそも自然数も実在してないし
円が実在するとかいうんなら、
絶対値１の複素数の乗法群も実在するだろう

知らんけど

>>245
タルスキの真理定義不可能性を教えて貰った後だと、

「あのオッサンを数字数式文字、なんだろうと
物理宇宙で完璧に表現する事は出来ない。（文字・文章の円周率版）」

になるので、無駄な努力かもしれませんがｗ
ま、近似値は出るみたいなんで
考える事自体は無駄ではないかもですね。

知らんけどｗ

>>242-243
狗子仏性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%97%E5%AD%90%E4%BB%8F%E6%80%A7

自分ならこう答えるけど
「仏性って何すか？」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%8F%E6%80%A7
ーーー
仏性（ぶっしょう、梵: Buddha-dhātu）とは、衆生が持つ仏としての本質、仏になるための原因のこと。
主に『涅槃経』で説かれる大乗仏教独特の教理である。覚性（かくしょう）とも訳される。

仏教では、この仏性を開発（かいはつ）し自由自在に発揮することで、
煩悩が残された状態であっても全ての苦しみに煩わされることなく、
また他の衆生の苦しみをも救っていける境涯を開くことができるとされる。
この仏性が顕現し有効に活用されている状態を成仏と呼び、仏法修行の究極の目的とされている。
ーーー

ピダハンには仏性はないだろう

知らんけど

ピダハンにキリスト教を宣教しようとした人は、結局神を捨てることになる
ピダハンを悟らせようとする人も、結局仏を捨てるであろう

>>247
私の考えとはソレは違ってきますね。

犬というか生命全てに『性は在る』。
『仏』という所が何を指してるかで問が変わるので、
そういう意味では高度な記憶野を持たない
生命に善悪等は認識出来ないので…

「『仏』としては無い、『性としては在る』」が、
私なりの答えでしょうか。

コレさらに穿つと
「解ってたらそんな問い自体が愚問」
という事で、『無』（←ワイの文章の尻だけ。）

という事かもしれませんけどねｗ
もうちっと優しくなろうやｗ

別に　ID:rsUmsPrL　に数学を教える気はない
知る気がない者に理解を強制するほどヤボじゃない

知る気もないのに知ったかぶるヤツにはこういうけど

「何もわかってない」