>>521 <良いことを言っている>
(引用開始)
覚えるしかないこと
覚えなくてもいいこと
両方ある
例えば　群とか線形空間とかの定義は覚えるしかない
しかし　準同型とか線形写像とかの性質は覚えなくても
群とか線形写像の性質を保存するものとして導ける
で、位相と連続写像の場合も同じか？
実は、位相は代数とは違うので、
演算を保存するみたいな感じにならない
だから、位相の場合は、何をどう保存するかまで含めて、覚えるしかない
εδを「そのまま」覚えるというのは、「引き戻しをしてもそのまま」という
位相の「逆転」の考え方を「そのまま」覚えるということ
そこまで考えていってますよ　はい
(引用終り)

これ、非常に大事で良いことを言っている
１）”覚えるしかないこと”：こいつを最小限に圧縮する（情報圧縮）
２）”覚えなくてもいいこと”：ロジックを理解する。原理原則から導く
３）実関数のεδ→位相空間の逆像：数学の対象を、一段高いところから理解する

これが、＜“big picture”＞Terence Tao または
メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」加藤文元氏
の言いたいことかなと 私なりの理解だ

そして “big picture”（メンタルピクチャー）を 自分なりに進化させることだ
これが、数学勉強のコツだと思うんだよね

上記”群とか線形空間とかの定義は覚えるしかない”は、半分は正しい
が、勉強が進むと 半群とかモノイドとか出てくる
また、環が出てくる
群は演算が一つだが、環は演算二つだ
こいつらと一緒に理解し覚える
そのときには、正確に分けて 混乱を起こさないように覚える（英単語の学習と同じだよ）
そうすると、群の理解が一段深まる

線形空間は、基底が有限個だが 基底を可算無限にすることがある
一例がヒルベルト空間だ。そこでは 線形空間の多くの性質が保存されている
あるいは、実数Rに対して (基底有限の)ハーメル基の線形空間があるが 不便なので 基底の結合を可算無限に拡大する
その高みから 線形空間を見下ろすと “big picture”がさらに一段進化する■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメル（英語版）に由来[6]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである