>>652 補足

下記 常識ですが・・ （＾＾
トマエ関数とか 病気らしい
実数中の有理数と無理数の絡みは、位相空間としては 境界ばかり
なので、へんに開集合を考えるよりも εδが一番役立つかも

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
病的な (数学)
病的な（びょうてきな、英語: pathological; 病理学的な）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。素性の悪い（ill-behaved）ともいう。対義語には行儀の良い（英語版） (well-behaved) というものがある
病的な関数
「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
病的な例
ディリクレ関数
トマエ関数

(google検索)
実数 有理数 無理数 で 位相空間としての境界は 何か？
AI による概要
実数空間 R（通常の位相）において、有理数集合 と無理数集合（R＼Q）の境界は、以下のようになります。 
1. 有理数集合 Q の境界 境界 ∂Q=R理由: 任意の点 (x∈ R のどんな小さな近傍（開区間）にも、有理数と無理数の両方が無限に含まれる（稠密性）ため、どの実数も「有理数に触れている」と同時に「無理数にも触れている」状態です。 
2. 無理数集合 R＼Q の境界 
・境界 ∂(R＼Q)=R
・理由: 有理数と同様、無理数も R 上で稠密であるため、任意の点 x∈R の近傍には常に無理数が含まれます。その補集合である有理数も同様に含むため、境界は R 全体となります。
3. 実数集合R の境界 
・境界 ∂Q=∅ （空集合）
・理由: 実数空間自体は全体集合であるため、境界は存在しません。
まとめ 
集合　　　内部(Int)　　閉包(A¯)　　境界 (∂A)
有理数Q 　　∅(空)　　　　R　　　　　　R(実数全域)
無理数R＼Q　∅(空)　　　　R　　　　　　R(実数全域)
実　数R　　　R　　　　　　R　　　　　　∅(なし)
境界 ∂A=A¯＼Int(A) (閉包 - 内部) の定義に基づきます。