今度こそ解けました。

sin(π/180) が有理数だと仮定する。

(e^{i*π/180})^45 = e^{i*(π/4)} = √2/2 + √2/2 * i

(e^{i*π/180})^45 = (sin(π/180) + i * cos(π/180))^45 の右辺を展開すると分かるように、 √2/2 は cos(π/180) についての1変数の有理数係数の多項式で表せる。

もしも cos(π/180) も有理数だとすると、√2/2 も有理数ということになりおかしい。

よって、 cos(π/180) は無理数である。


cos(2 * π/180) = 1 - 2 * (sin(π/180))^2 だから、 cos(2 * π/180) は有理数である。

cos(2 * π/180) = (cos(π/180))^2 - (sin(π/180))^2 である。

(cos(π/180))^2 = cos(2 * π/180) + (sin(π/180))^2 は有理数である。

よって、 (cos(π/180))^4, (cos(π/180))^6, (cos(π/180))^8, … はすべて有理数である。

(e^{i*π/180})^30 = e^{i*(π/6)} = √3/2 + (1/2) * i

(e^{i*π/180})^30 = (sin(π/180) + i * cos(π/180))^30 の右辺を展開すると分かるように、 √3/2 は cos(π/180) についての1変数の有理数係数の多項式で表せる。

この多項式の各項の次数は偶数である。


よって、この多項式の各項はすべて有理数である。


よって、√3/2 も有理数ということになりおかしい。


くだらない問題ですね。