大学数学の質問スレ Part2

無くなってたので立て直し

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/

複素数と図形の問題です。

点Zが原点O中心、半径１の円周上を動くとき、ωはどのような図形を描くか。
ω＝(6Z-1)/(2Z-1)

この問題、Z＝a+biとおいて計算をして、答えを出すことは可能でしょうか？

ちなみに、答えは 点11/3中心、半径4/3の円 です。

よろしくお願いします。

ま　た　お　ま　え　か

>>2
まずはAIに質問せよ！

ここで質問するよりAIに尋ねたら懇切丁寧に疑問に答えてくれるよ
それでもわからなければ質問すればいい

kを自然数とし、
f(x)=x^3-kx+1
とする。以下の問いに答えよ。

（1）kが十分大きいとき、方程式f(x)=0は相異なる3つの実数解を持つことを示せ。

（2）（1）の実数解をα、β、γ（α<β<γ）とする。lim[k→∞] βを求めよ。

（3）（2）と同様に、lim[k→∞] αβを求めよ。

しょうもな

私の芸術的な作問をお楽しみください

無限級数
Σ[k=1,∞]1/(k*k!)
の値を求めよ。

>>8
【講評】
1/k!の無限和を求められないのは問題外ですが、では1/k*k!とひとひねり加えたらどうなるか？

水車を縦に重ねる。そのうちの一つを上部に水を汲み上げるポンプ用にする。残りを発電に活かす
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/stockb/1772192139/10
https://pbs.twimg.com/media/HCL2KHEbEAMFHus.jpg
無限発電は可能。原発はいらない

>数学史家デミアン・グース氏が2025年3月、ハレ大学文書館でカントールの玄孫娘から寄贈された資料の中から1873年11月30日付のデデキントの手紙を発見した。この手紙でデデキントが代数的数の可算性を証明した内容が、

代数的数の集合がcountable infiniteであることの証明って演習問題ですよね。

>>11

カントールがこの演習問題レベルの結果をデデキントが示したことに言及せず論文に書いたという話ですが。

>デデキントが代数的数の可算性を証明した内容が、カントールの論文第1部に無断で取り入れられていた可能性が浮上。デデキントの連鎖論法もクレジットなしで掲載され、両者の関係は3年間絶えた。

代数的数の集合がcountably infiniteであることを自力で証明できたら凄いということですか？

カントールってかならず悲劇の人みたいに書かれますが、こういう人だったんですね。

おはようございます
モーニング出題です
高校範囲ですが大学範囲の数学で軽く解けます

△ABCは
AB=1,BC=s,CA=t
をみたす。

（1）s,tが満たすべき不等式を求めよ。

（2）sins+costの取りうる値の範囲を求めよ。

>>10
汲み上げるエネルギーと落として得られるエネルギーの効率は100%未満となるため、最終的に得られる電力は「追加エネルギー」が必要。

>>14
もともと双極性障害の持ち主だったらしいよ

モーニング出題第二弾です

∫[0,2π] exp(-x^2)sinx dx ≧ n
を満たす最大の整数nを求めよ。

>>18
この出題は定積分の基本的な計算能力と、数値計算の能力を試すものです

xy平面上の曲線
xy+x-y
は2次曲線であることを示せ。

(2n-1)!/((n-k)!k!)
が整数となる自然数(n,k)の組があればすべて求めよ。
ただしn≧kとし、0!=1とする。

短い問題文に挑戦します。

sin1は無理数であることを証明せよ。

これらの程度の問題もできないのですか？
この板のレベルも低いですね笑

トーラスの体積を積分で求める方法を教えて下さい

>>24
大学受験テクニックになりますが、バームクーヘン積分が有効ですよ

>>23
出来る方はきっと潜んでいると思いますよ。
盛り上げる必要があると思います。

sin 1°ではなくsin 1ですか？

sin 1°が無理数であることは、

cos(2*x) = 1 - 2*(sin(x))^2 = 2*(cos(x))^2 - 1

という等式を使って示せそうです。

sin 1°が有理数ならば、上の等式によって、cos 2°, cos 4°, cos 8°, … もすべて有理数ということになって、以下にも成り立たないことのように思われます。

cos 45°= 1/√2, cos 30° = √3/2 が有理数であるという結論が導けそうです。

cos 8°+ cos4°= 2 * cos 6°* cos 2°

なので、 cos 6°も有理数ということになりますね。

cos 32° = cos 30°* cos 2° - sin 30°* sin 2° = √3/2 * cos 2° - 1/2 * sin 2° より

sin 2°は無理数ということになります。

sin 2°= 2 * cos 1°* sin 1°より

cos 1°は無理数ということになります。

cos 2° = 2 * (cos 1°)^2 - 1 は無理数ということになりますが、これは矛盾です。

あ、駄目ですね。

>>33
ゴミ
死ねwwwww

sin 2°, sin 4°, sin 8°, … はすべて無理数ということが導けますね。

>>33
頑張れ、応援してるw

>>33
見切り発車で書くと、そうなることもある。
だが、それも一興。

>>36
応援するな、◯せwwww

>>37
このスレは完璧な出題と完璧な解答だけ許されている

>>39
そうなんですか、初耳ですw
盛り上げる方向は、煽りと仲の良さの2種類があると思っています。

アメとムチで盛り上がることを期待しています。
私は自分の勉強があるので、見守っています。

>>25
あ、本当だ、解けた
ありがとう！

傘型とか色々ありますよね。

今度こそ解けました。

sin(π/180) が有理数だと仮定する。

(e^{i*π/180})^45 = e^{i*(π/4)} = √2/2 + √2/2 * i

(e^{i*π/180})^45 = (sin(π/180) + i * cos(π/180))^45 の右辺を展開すると分かるように、 √2/2 は cos(π/180) についての1変数の有理数係数の多項式で表せる。

もしも cos(π/180) も有理数だとすると、√2/2 も有理数ということになりおかしい。

よって、 cos(π/180) は無理数である。


cos(2 * π/180) = 1 - 2 * (sin(π/180))^2 だから、 cos(2 * π/180) は有理数である。

cos(2 * π/180) = (cos(π/180))^2 - (sin(π/180))^2 である。

(cos(π/180))^2 = cos(2 * π/180) + (sin(π/180))^2 は有理数である。

よって、 (cos(π/180))^4, (cos(π/180))^6, (cos(π/180))^8, … はすべて有理数である。

(e^{i*π/180})^30 = e^{i*(π/6)} = √3/2 + (1/2) * i

(e^{i*π/180})^30 = (sin(π/180) + i * cos(π/180))^30 の右辺を展開すると分かるように、 √3/2 は cos(π/180) についての1変数の有理数係数の多項式で表せる。

この多項式の各項の次数は偶数である。


よって、この多項式の各項はすべて有理数である。


よって、√3/2 も有理数ということになりおかしい。


くだらない問題ですね。

sin(n°)が有理数になるとき、その値は0,±1/2、±1のいずれかに限られる

>>44
もとの問題は sin 1 が無理数であることを示せ
1°ではなく1ラジアンだろう

なんか、応援して損した気分w

このスレも終わりか
俺の出題と解答は完璧だったのに

勝手に終わらせないでよw

>>49
傑作問題を出題せよ

>>50
ごめんね、>>41を見てよ。
力になりたいけど、常駐メンバーに任せるよw

ｐが素数とします。

「2^(p-1)+1の素因数qで、q≡1(mod p)を満たすものがある。」
が成り立つなら、ｐ＝2に限るといえますか。

ｎ次元球の体積や表面積どうやって求めるのですか？

積分する

低次元球の体積、面積から帰納的に体積の公式が求まるのかな？
体積を微分すれば面積になるので、体積さえ求めればいいんだけど。

体積はβ積分
表面積=体積×次元

素数を使って暗号化っていうのが普及したのは
既に素数の仕組みを奇跡的に解明できたイスラエルかアメリカが広めて
情報を集めるためにやったとは考えられませんか？

世界を支配するユダヤとエプスタイン

>>8
これはどうも積分を利用するみたいですね。

>>52
p=43のとき 2^42+1 は素因数14449 をもつ。14449=43*336+1。

クソモン製造機

xy平面上の曲線y=sinxの0≦x≦2πの部分の長さをLとする。
L≧nとなる最大の自然数nを求めよ。

変なのがいついちゃった（）

袋のなかに赤玉2個、白玉n個が入っている。
この袋から玉を1つ取り出してその色を記録し、玉を袋のなかに戻すということを繰り返す。

この試行をk回行うとき、赤玉が3回連続で出ない確率をn,kで表せ。

ただしn≧1、k≧3とする。

無限級数
Σ[k=1,∞] 1/C[2k,k]
が収束することを示し、その値を求めよ。

>>65
収束はおそらくダランベールで判定するのかもしれないけど、問題はその値ですね…。

Σ[k=1,∞] 1/C[2k,k]
= Σ[k=1,∞] k!k!/(2k!)
= Σ[k=1,∞] k!k!/((k!2ᵏ)(1/2)ₖ2ᵏ)
= Σ[k=1,∞] k!/(1/2)ₖ (1/4)ᵏ
= ₂F₁( 1,1; 1/2; 1/4)
= 2/27 (18 + √3 π)

>>65
私が調べたやつには、arcsinあるいはベータ関数で解かれていた。

素晴らしいですね
私の出題した良問に次々と解答が示されています

まだ基本的な>>62とが解かれていませんので、早急にお願い致します

>>60 ありがとうございます。
逆に、このような素数ｐはむすうにあるんでしょうか。

>>69
しょうがないなぁ、7らしいよ。
（結果だけでゴメンね。）

>>2を解ける方はいないのですか？
このスレのレベル低下が酷いですが解ける賢い方よろしくお願いします

AIに聞けよｗ

手前で解けよ、ボケ

こんな難問解けないよ
お役に立てずすまん

微積分で三階微分なんて計算してなんの意味があるんですか？
ただのクイズですか？

n階微分を考える際、規則を調べるためにやるとかね？

テーラー展開でより精度が上がるとか

sin1と5/6の大小を比較せよ。

電卓使えよｗ

>>76
テイラー展開フーリエ展開等

>>79
今年の東大理系数学に、偶然関係があるかも。

私の出題は程よい難易度でしょう？
絶妙問題でございます

通常運転w

出題厨はなぜ拘りが強いのですか？

関係ないかもしれんが、作問できる人が羨ましい。
AIにかけてもバレない問題を求む。（贅沢）

可算順序数αからRへの順序写像f:α→Rで
極限順序数β<αについて
f(β)=sup{f(γ)|γ<β}を満たすものってどう作るの？

可算な順序数なんだからその極限数の全体も可算な整列集合をなすから ωと順序同型
なのでそれをα₁、α₂、...としてよく、それを利用して f(αₖ)≦2-1/kを満たすものを超限帰納法で功績すればいい

>>88
>極限数の全体も可算な整列集合をなすから ωと順序同型
ω^2+ω^2の極限順序数の全体は
ω,ω+ω,…,ω^2,ω^2+ω,ω^2+ω+ω,…,ω^2+ω^2
なのでωと順序同型じゃ無いよ

>>89
>ω,ω+ω,…,ω^2,ω^2+ω,ω^2+ω+ω,…,ω^2+ω^2
ω,ω+ω,…,ω^2,ω^2+ω,ω^2+ω+ω,…
当然ながらω^2+ω^2は除外だった

このf:α→Rが作れたら
f(0)=0,sup{f(β)|β<α}=1であるとしていいから
g:[0,1)×α→Rを
g(t,β)=(1-t)f(β)+tf(β+1)としてやれば
g:[0,1)×α=[0,1)ができるんだけど

>>91
>g:[0,1)×α=[0,1)ができるんだけど
順序同型だから順序位相で同相で[0,1)の順序位相は普通の[0,1)の位相なので
長い直線L=[0,1)×ω1自体は[0.1)と同相では無いが
（L+=[0,1)×(ω1+1)での(0,ω1)の近傍の開基が非可算）
どの切片[0,1)×αも[0.1)と同相と分かる

>>92
>長い直線L=[0,1)×ω1
長い半直線か

せやね
まちごうた
そもそもできる確証はあるん？

>>94
ワカランす
ただ[0,1)×αは[0.1)と同相だと言われたので考えてるところ

f(α)を、δ≦αに対して無限和が発散しない正の値w(δ)を割り当て、それを足し合わせる写像とすればよいだけでは？

カテゴリー定理かなんかに矛盾しそうやけどな

>>96
極限順序数が有限個の場合は自明だと思うが、ω^2のように可算無限個ある場合はちょっと厄介だな

その場合は、後続順序数だけの集合を集めて極限順序数に挟まれるグループごとに番号をふってS_n とし、S_nに含まれる後続順序数δ(n)_ iに対して、たとえば
f(δ(n)_i) = Σ[k=1,n-1](1/2^k) +(1/2^n)Σ[k=1,i](1/2^k)
と定義してやればいいのかな
すべての極限順序数β_nに対してf(β_n)=sup{f(γ)|γ<β_n}= Σ[k=1,n](1/2^k)

ω^3になるとβの順序でグループ分けすることはできんね

となると、順序には関係なく後続順序数だけの集合を考えてその要素に
適当に番号をふってs_kの重みをあたえて、
f(γ) = Σ[s_k≦γ] 1/2^k
としてやればいいのか
kの値はとびとびになるけど、γがなんであれf(γ)≦1で、f(γ)は単調増加
極限順序数βは重みを持たないので、f(β)=Σ[s_k≦β]1/2^k =sup{f(γ)|γ<β}

>>99
>s_kの重みをあたえて、
↓
s_kに1/2^kの重みを与えて和をとり、

>>99
いやいやいやそういう風に下から積み上げていけるのかな
ω^ωも可算だしω^ω^ωも可算
それどころかω^ε=εのεも可算
下から積み上げるのだと果てしない感じ

>>95
>ただ[0,1)×αは[0.1)と同相だと言われたので考えてるところ
これはこれでありそうではあるんだけど
正しくないとしてもそれはそれで納得
でもたぶん同相のような気がする

同相になるなら
g;[0,1)×α→[0,1)
で
f:α→R
は
f(β)=g(0,β)
が
極限順序数β<αについて
f(β)=sup{f(γ)|γ<β}を満たすものになる

>>101
果てしなくても、可算個なので、すべての後続順序数に1/2^kを
対応させて、足し合わせてやればいい

順序が無限に分岐しても数列1/2^kの部分和なので問題ない

ってか、積み上げ方式はやめて、後続順序数につける重み1/2^k
は順序に関係なく、１：１であればどのように対応させてもいい

>>105
αより小さな後続順序数ぜんぶに番号kを付ってγkと表して
β<αに対してf(β)=Σ{1/2^k|γk≦β}
と定める？
fは確かに（≦で）単調ですが
β<β'でf(β)=f(β')になることは無い？
1/2=1/4+1/8+1/16+…
みたいなのを想像したのだけど

βとβ'の間には必ず後続順序数が存在するので、
f(β) < f(β')になりますよ

>>107
その通りですね理解できたと思います
さらにこれはどうですかね
h:N→α:iso
s:α→2^N:s(β)={k|h(k)<β}
すると
β<β'でs(β)={k|h(k)<β}⊂≠{k|h(k)<β'}=s(β')
なぜならβ<γ<β'となるγがあれば（あなたの言うように）
γ=h(k)となるk∈s(β')-s(β)≠φだし
そのようなγがないのはβ'=β+1のときなので
β=h(k)となるk∈s(β’)-s(β)≠φだから
とすると
p:2^N→[0,1):p(A)=Σ{1/2^k|k∈A}
によって
A⊂≠Bでp(A)<p(B)（元が増えるのでイコールはない）だから
f=ps:α→[0,1)
が単調に定義できる
さらに
βが極限順序数の時β=∪β=∪{γ|γ<β}だから
f(β)=ps(∪{γ|γ<β})=p(∪{s(γ)|γ<β})=sup{ps(γ)|γ<β}=sup{f(γ)|γ<β}
ああスッキリした
ホントにどうもありがとう
よく思いつきましたね

>>108
>p:2^N→[0,1):p(A)=Σ{1/2^k|k∈A}
細かいけど行き先は[0,2)ですか
べき1個増やすと[0,1)でスッキリ

しかし定義はできたものの
α（の元）に付番するのって
どんなものになるのかサッパリイメージ沸かない
「可算順序数」だから可付番つまりその対応が「与えられている」ところから始めていいとするわけだけど
βが後続順序数ならβ-1（の元）の付番を1個ズラしてβ-1をあらためて0番にすれば良いものの
βが極限順序数のときγ<βについてのγ（の元）の付番のしかたからβ（の元）の付番が構成されるような一般的な方法がないような気がする
ちょっとそこが悶々として残るかなあ
当初目的は果たしたから別にいいと言えばいいのだけど

>>109
>べき1個増やすと[0,1)でスッキリ
そもそも0番目はナシでN={1,2,……}でやればいいのか

東大の入試問題を出題してもよろしいでしょうか？
大学数学でも解決が難しい問題を精選してお届けいたします。

>>112
スレ違い
受験板でどうぞ

>>110
番号のふりかたは可算順序数がωの多項式で表されることを使うといい
後続順序数をωの多項式で表したとき、各次数にユニークに異なる素数をわりあてて、その係数乗をしたものをすべてかけ合わせたものをkとすればよい

たとえば、γ=ω^2+ω・2+4 であれば、k=5^1×3^2×2^4
と割り振っていけば、すべてのγに異なる自然数を対応させることができる

>>114
>可算順序数がωの多項式で表される
表せないと思います
ω^ε=εを満たす順序数の内最小のεは可算順序数だけど無理でしょ
可算なのはω,ω^ω,ω^ω^ω,…の極限(合併)になるから

できない方の証明は難しいしできそうにないわな
ωの多項式で書ける順序数→可算
は明らかだけど逆は無理な希ガス

>>113
ふふ、無知は恥ずかしいですよ笑

>>116
そう表記できるものの全部の合併考えたら？
と
>>114では素数で置き換えと書いているから
多項式のべきと係数としては(有限な)自然数だけ考えているみたいで
それならそういうものはすべてω^ωの元
ε未満の順序数は多項式「的」な表し方ができる
（カントール標準形でべきもカントール標準形で・・・・としていくと結局有限べきだけで表記できる)
けれどもそのようなものの全体がεだからε自体は有限べきだけ使う表記ができないよ

もちろんそう表記できるもの全体は明らかに可算個
そう表記できない可算無限の順序数が存在すると仮定して矛盾を導かないといけない

>>115
>表せないと思います

その通りで、多項式で表せないεには使えない
εのような再帰的順序数にはクリーネの順序記数法で番号付け可能
再帰的順序数全体の集合になるともう無理

それでも可算なんだから、やり方は記述できなくても自然数で番号付けはできて、実数に埋め込み可能

>>121
その通り可算順序数ってのもベラボウなもので
それがRに順序同型で入る具体的な写像を与えたあなたの優れたアイデアは凄いと思ったけど
>>110に書いた通り結局どんな写像か番号付けに標準的なモノが無さそうなのが心残り
まあそれは別問題だから当初問題はスッキリ解決してありがたかったです

え？存在証明できたん？
どのレス？

>>123
存在証明書いてないけど>>118でいいでしょ？

そのカントールの標準形を持つものの全体が可算順序数の全体になる？

実際wikiには「あれば一意」の記述はあるけど「必ず書ける」とは言ってないのでは？

>>125
なるわけない
>>126
書けるわけない

可算順序数の全体はω1と書かれる最小の非可算順序数

じゃあダメでしょ？
問題は

「可算無限である任意の順序数γが与えられたとき、順序を保つ埋め込みγ→ℝがとれるか？」

なんだから

>>108
>β<β'でs(β)={k|h(k)<β}⊂≠{k|h(k)<β'}=s(β')
>なぜならβ<γ<β'となるγがあれば（あなたの言うように）
>γ=h(k)となるk∈s(β')-s(β)≠φだし
>そのようなγがないのはβ'=β+1のときなので
>β=h(k)となるk∈s(β’)-s(β)≠φだから
考えて見るとγが間に挟まるかどうか関係なくて
β=h(k)となるk∈s(β')-s(β)≠φだから
β<β'でs(β)}⊂≠s(β')
でいいのね

>>129
ん？取れてるでしょ？>>99,100,104でも>>108でも
それと
>「可算無限である任意の順序数γが与えられたとき、順序を保つ埋め込みγ→ℝがとれるか？」
だけでなくて
極限順序数についてsupになることも>>87で条件にした
それがないと最終的な目的の>>91で隙間ができちゃうから

失礼しました
できてそうですね
最初に順序保つやつ作っといて極限数のとこで連続性担保するように前にずらせばいいのか

一見高校レベルですが難しい問題を出題します

4^x+x=260を満たす実数xをすべて求めよ。

>>133
xlog4=log(260-x)
4^4+4=260
x=4

>>133
> ID:Qkw5TNPX
高校数学スレでお願いできない？

>>135
すいません、私の出題方針は変更しません

2^n+1が平方数となるような整数nをすべて求めよ。

>>137
しおもな
2^n=k^2-1=(k+1)(k-1)
k-1=2^m,k+1=2^(m+1)=2(k-1)
k=3,m=1,n=3

>>138
流石に易しすぎますよね笑
でもこの程度の問題ができない連中が日東駒専の学部生にはいるんですよ、信じられないでしょう？

ω^ωは実数か。

>>139
高校の内容

>>134
ん？
x=4以外にないことの証明をしてなくない？
バカなのかお前は
ゴミカス

>>142
バカみたい
単調増加と単調減少でいる？

高校の内容でもバカみたいに簡単な部類

>>139
君が一番信じられないバカ

頭悪すぎて自分が頭悪いと理解もできないバカ

>>143
バカだったね
変形必要なし
単調増加関数だ

>>136
出題スレじゃねぇよwww

>>110
>βが極限順序数のときγ<βについてのγ（の元）の付番のしかたからβ（の元）の付番が構成されるような一般的な方法がないような気がする
可算順序数αの部分集合でωと順序同型かつ共終なものΩとそのΩの付番が与えられたら
α=∪Ωなのでβ∈Ωのそれぞれの付番からαの付番を
N^2の付番と同様に構成できるな
β:N→Ω
をΩの付番
γ(0)=β(0)
γ(n)=β(n)-β(n-1)
とγ(n)を定義するとαはγ(n)の直和になる
h(n):N→β(n)
を可算順序数β(n)∈Ωの付番とし
N(n)=h(n)^-1(γ(n))
とするとN(n)⊂Nはγ(n)の元に付られた番号の集合
それぞれのN(n)を小さい方から並べて
N(0)={m(0,0),m(1,0),m(2,0),…}
N(1)={m(0,1),m(1,1),m(2,1),…}
N(2)={m(0,2),m(1,2),m(2,2),…}
…
で
(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),…
という風に進んでいく付番を
k:N→N^2
とし
x:N^2→N
y:N^2→N
を第1第2成分への射影とすると
αの付番
δ:N→α
は
δ(n)=h(y(m(k(n))))(x(m(k(n))))
でいいかな
n番目はk(n)の第2成分の番号に対応するγのk(n)の第1成分に対応する付番の元て感じ

αと共終でωと順序同型なΩをその付番と共に選ばなくてはいけないのと
Ωの元の可算順序数の付番しか使ってないので
飛ばした（α-Ω）順序数の付番を使ってないのが気になる
つまり一般化できてないのが弱いね

>>149
>β:N→Ω
>をΩの付番
βはωとΩの順序同型写像
つまりβ(n)<β(n+1)であるとしてる

あぼーんさんしかいない

ググってみたら
チャーチクレイニ順序数と呼ばれる可算順序数は
具体的に並べる（付番を付ける）方法を帰納的に定義できないみたい
この順序数は付番が帰納的に定義できない最小の順序数とのこと
否定的にだけど自分の疑問はスッキリサッパリ解決したことになるかな？
チャーチクレイニ順序数についてもっと調べてみよっと

>>149
>可算順序数αの部分集合でωと順序同型かつ共終なものΩとそのΩの付番が与えられたら
可算極限順序数αね
αが後続順序数ならα-1の付番からαの付番を作れる

>>153
つ>>120
再帰的な順序数全体の集合=チャーチ・クリーネ順序数(Church-Kleene ordinal)

>>155
ありがとうございます
チャーチクリーネ順序数ですか
調べてみますが英語版Wikipediaぐらいしかないかも

>>140
スレ違いなのかもしれないが、一応答えておく。
実数ではないはず。

自然数a,bにたいし、a^n≡1 (mod b) となる自然数nがあるなら
aとbは互いに素といえますか。

あたりまえやん

>>158
(a,b)=c
c|a,c|b
a(a^(n-1))-1=bm
a(a^(n-1))-bm=1
c|a(a^(n-1))-bm
c|1
c=1

a^n≡1 mod b
a^n-1≡0 mod b
b|a^n-1
a^n-1=bm
a^n-bm=1
(a,b)=c
c|a,c|b
c|a^n-bm
c|1
c=1

>>157
ωすら実数では無いし

うまく問題を作ったら、実数に出来ないのか。
とりあえず何も考えずに言ってるから、後からきちんと考えるわ。

>>163
バカね
バカなだけで無く害悪ね

まあ、実数なのは合ってたから良いじゃん。
考えてから書くのが面倒だったんだよ。
そういう煽りはこの板では慣れたから、別にどうでも良いよw

間違えた、実数じゃなかったね。

検索したらi^iは実数になるらしいけど、実際はどうなの？
案外こういうのは抜け道があるかもしれないから、慎重に考えるべきではないか。

虚数の虚数乗が、虚数になるとは限らないのかもね。

>>162
これはどういう意味なの？

>>140の出題者はきちんと計算しないと分からないという雰囲気で、問題を出しているよね。

そんな安易な理由で、実数か虚数なんか決まらないでしょ。

ωが1の原始n乗根ω=e^i(2π/n)=cos(2π/n)+isin(2π/n)だったら
ω^ω=e^i(2π/n)(cos(2π/n)+isin(2π/n))=e^(2π/n)(-sin(2π/n)+icos(2π/n))=e^-(2π/n)sin(2π/n)e^icos(2π/n)=e^-(2π/n)sin(2π/n)(coscos(2π/n)+isincos(2π/n)
sincos(2π/n)=0
cos(2π/n)=mπ
m=0,n=4

>>169
>これはどういう意味なの？
その上のたとえば>>118で出てきてるω^ωのωは順序数であって実数じゃないという意味

>>164
虚数の虚数乗が絶対に、虚数になると勘違いしているよw
煽った言葉が間違っていたら、酷いしっぺ返しに遭う。
良い勉強になったね、今後はそんな絡み方したらダメだよ(⁠^⁠^⁠)

>>171
なるほど、そういった捉え方もあるね！
ただ、>>170の人はおそらく私と同じで
、ωを1の3乗根で捉えている。
これはωを明記していないから、何とも言えない問題だね。

（^ω^）

ちなみにAIに聞いたら、1の3乗根だと捉えたわ。

>>174
この顔文字のように、円満に解決だね！

チャインテンオメガ

>>172
？バカな問題出してる奴が居るってことを指摘しただけで
君が書いていることはすでに>>170に書いてるんだけどね

>>173
>ωを1の3乗根で捉えている
たぶんそれはかなり限定した用字法
1のn乗根n個をω0(=1), ω1（原始n乗根の1つ）,ω2(=ω1^2),…,ω(n-1)はけっこう見るけど
いずれにしてもiと違って何で有ると言及しないでω^ωのように使うことは無いと思うね

>>170
ちょっと違うか
ω=e^i(2π/n)=e^i(2π/n+2mπ)=cos(2π/n)+isin(2π/n)
ω^ω=e^i(2π/n+2mπ)(cos(2π/n)+isin(2π/n))=e^(2π/n+2mπ)(-sin(2π/n)+icos(2π/n))=e^-(2π/n+2mπ)sin(2π/n)e^icos(2π/n)=e^-(2π/n+2mπ)sin(2π/n)(coscos(2π/n)+isincos(2π/n))
以下同様でn=4の則ちω=iの時実数であり
i^i=e^--(2m+(1/2))π

あ
もしかしたら高校数学だとωは1の原始3乗根限定だとか？

あいちゃんによれば、極めてまれな例外を除いてそれでおｋとのこと

あいちゃんが誰なのかは知らないけど、上の流れを私は全く見ていなかった。
どちらで考えても良いんじゃないの、細かいことは気にしないよ私は。

このスレッドは天才チンパンジー「アイちゃん」が言語訓練のために立てたものです。

アイアイから取ったのかな。
この板はいろんな人が居て、飽きないねw

（^e^）

e^eは実数

有理数か超越数かどっち？

代数的無理数の可能性は無いんだねw
某スレの話みたい。

A=21m+7、B=am+bとする。
ただしaは正の整数、bは負でない整数とする。

（1）以下の条件をみたすa,bが存在することを示せ。

（条件）任意の正整数mに対して、AとBは互いに素である。

（2）a=8のとき、（1）の条件を満たすようなbをとることはできるか。

xは0≦x<2πの実数とする。

（1）三辺の長さがそれぞれsinx、cosx、tanxである三角形が存在するようなxの範囲を求めよ。

（2）（1）のとき、その三角形の面積をxで表せ。

どちらも2027年東大入試問題を予想したものです
来年は易しくなると考えこの程度の難易度に抑えました

高校数学質問スレの荒らしか

荒らしだね

荒らしではありません
良問を作成したのですが、ここが一番勢いがあったのでここで披露しました

>>191
この問題は大学生でないと解けません
失礼しました

一番勢いのあるスレで出題いたします
精選された良問を出題いたします
よろしくお願いいたします

東大数学探究
以下の関数の原始関数を探究せよ。

f(x)=sin(cosx-x)

>>197
>一番勢いのあるスレで出題いたします
Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/

または
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1736907570/

>>199
失礼しました
出題の趣旨・意図からかけ離れているスレは無視いたします

大学数学の質問スレ

私は某大学の教授をしております
私が東大入試数学の出題者だったらと想像し、作問・出題いたしております

劣等大学である早稲田慶應の問題でも想像して作るかな？

y=x^3-3xとする。

（1）y'を求めよ。

（2）∫yy' dx を求めよ。

（3）∫[0,t] yy' dx = f(t)とする。f(t)の増減、凹凸を調べ、st平面上にs=f(t)のグラフを描け。

確かに荒らしですな

早稲田や慶應など勉強しなくとも受かって当然
勉強して早稲田慶應にしかたどり着けなかったゴミは消えろ
マーチ？Fランが大学ヅラするなwww

>>190
この問題は難易度・質・量いずれも良問であると認定されております
皆様による解決を待ち望んでおります

スレは一から大切に育てるのよ。
この板で名の通っている方は、頑張っていらっしゃるよ。

★01
f(x, y)=y+xsin(1/y)とする
(1)x→0とした後にy→0とする (逐次)
(2)y→0とした後にx→0とする (逐次)
(3) (x, y)→(0, 0) (同時)
の極限について調べよ。


定義域はy≠0すなわち全平面からx軸を除いたものになる。
(3) |sin(1/y)|≤1より、0≤|f|≤|y|+|x|×1→0+0
よってf(x, y)→0
(1) x→0の時、f(0, y)=y→0、
よってf(x, y)→0
(2) y→0の時、xsin(1/y)の極限は存在しないので極限は存在しない。
-1～1を激しく振動する
y=1/(π/2 +2nπ)とするとn→∞でy→0
f=x
y=1/(π/6 +2nπ)とするとn→∞でy→0
f=x/2
よって極限が一致しないので極限は存在しない。

同時極限は同時に極限を取らなければならない。
逐次極限は途中で収束しない場合極限は存在しない。

★02
(x, y)→(0, 0)の極限を(あれば)求めよ
(1)(x³-y³)/(x²+y²) (2) xy²/(x²+y⁴)


(1) x=rcosθ, y=rsinθ, r>0, 0≤θ<2π
と置ける
0≤|与式|=|r(cos³θ-sin³θ)|≤r+r=2r→0より
極限=0

(2) 同様にcosθsin²θ/(cos²θ/r+rsin⁴θ)
この変換は不適切
x=r²cosθ、y=rsinθとおくと
r⁴cosθsin²θ/(r⁴cos²θ+r⁴sin⁴θ)
=cs²/(c²+s⁴)となりrは消去された
これはθの値によって異なるので極限は存在しない。
別の変換 x=my²と置くと
my⁴/(m²y⁴+y⁴)=m/(m²+1)
これはmの値によって異なるので極限は存在しない。

x=rcosθ, y=rsinθ、x=r²cosθ, y=rsinθ、
x=my², y=y
xとyの次数が合わないと良くない。

★03
f(x, y)=(x⁴-3x²y²)/(2x²+y²) (x, y)≠(0, 0)
f(0, 0)=0
の連続性を調べよ。


分母=0 ⇔ x=0∧y=0
よってfは(0, 0)以外では連続である
x=rcosθ, y=√2rsinθと置くと
|f(x, y)|=|g(r, θ)|=|r²(c⁴-6c²s²)|/2
≤r²(1/2+3)≤4r²→0 (r→0)
よって原点(0, 0)においてもすなわち全平面ℝ²において関数f(x, y)は連続である。

x=rcosθ, y=rsinθとおいて
|f(x, y)|=|(x⁴-3x²y²)/(2x²+y²)|
=r²|c⁴-3c²s²|/(2c²+s²)
c²=C, s²=Sと置くと
≤r²|C²-3CS|/(C+S)
=r²|C²-3CS|
≤r²(|C²|+|3CS|)
≤r²(1+3)=4r²→0 (r→0)

0≤3c²s²≤3c²×1=3c²≤3×1=3

良問　受験脳

高校数学の質問スレ（医者・東大卒禁止） Part438

>>209-212
なんで自分で出題して自分で解いてるの？

色んなスレに合わせて、話していけば良いんじゃないですか？
>>203が事実なら、実に容易いことだと思います。

嘘に決まってんじゃんｗ

>>203
証拠は？ないなら身分詐称やで

名誉教授のスレが存在するから、可能性はゼロじゃないかもね。
こんなところで油売ってないで、論文を量産してほしいw

そいつは自称名誉教授

正直この板で、本当の数学者がどのくらいいらっしゃるのか気になるw

★04
偏導関数を求めよ
(1) f(x, y)=xysin(1/√(x²+y²))
(2) f(x, y)=tan⁻¹(2x²-y²+x²y)


(1) fx=ysin(1/√(x²+y²))
-(x²y(x²+y²)⁻³ᐟ²)cos(1/√(x²+y²))
fはx, yに関して対等だから
fʏ=xsin(1/√(x²+y²))
-(xy²(x²+y²)⁻³ᐟ²)cos(1/√(x²+y²))

(2) fx=(4x+2xy)/((2x²-y²+x²y)²+1)
fʏ=(-2y+x²)/((2x²-y²+x²y)²+1)

y=tan⁻¹xの時、dy/dx=1/(x²+1)
∂f/∂x=(df/du)(∂u/∂x)
∂f/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)

>>221
そういう、ID:DkXSlo+5は、数学科卒だよね？
院生？それとももう就職した？

★05
次の命題を証明せよ
A:: 関数f(x, y)がax+byだけの関数(線型結合の関数、面関数)である(ab≠0)
⇔B: bfx=afʏ が成り立つ


A⇒B
ax+by=uとおき、uだけの関数g(u)に対してf(x, y)=g(u)となると仮定する(A)。
bfx=b(dg/du)(∂u/∂x)=ab(dg/du)
afʏ=a(dg/du)(∂u/∂y)=ab(dg/du)
よってこの時 Bが成り立つ。
B⇒A
u=ax+by, v=yとしてf(x, y)=h(u, v)とおける。u(=x+y)とxとyの関数としなくて良い。uとyの関数あるいはuとxの関数と出来る。f(x+y, x, y)でx+y=u, y=vとおくとx=u-vよりf(u, u-v, v)=g(u, v)と変数変換される。
∂h/∂y=(∂h/∂u)(∂u/∂y)+(∂h/∂v)(dv/dy)
=b(∂h/∂u)+(∂h/∂v)
hx=(∂h/∂u)(∂u/∂x)=a(∂h/∂u)
hʏ=(∂h/∂u)(∂u/∂y)+(∂h/∂v)(∂v/∂y)
=b(∂h/∂u)+(∂h/∂v)
ここでhx=fx、hʏ=fʏであるから
Bにより(∂h/∂v)=0となる(A)。

>>224
ギリ院卒の社会人ですw

一応、数学科です。
（詳細は省略します。）

>>219
名誉教授は引退した教授ってことなので論文書くのは趣味の範疇になる
暇にあかせて５ｃｈ三昧することもあるだろう

>>228
自称じゃないのかもしれないのですね。
じゃあ保留ということで。
別に肩書きが何であっても、正しいことを話せれば良いんですよ。

荒らさなきゃいいんですよ

>>230
それに尽きる

俺も数学科だけど数学科に見られない

★06
f(x, y)=xy(x²-y²)/(x²+y²) (x, y)≠(0, 0)、
f(0, 0)=0とする時、
fxʏ(0, 0)とfʏx(0, 0) を求めよ。


fx(0, k)=lim(f(h, k)-f(0, k))/h
(hk(h²-k²)/(h²+k²)-0)/h=k(-k²)/k²=-k
fxʏ(0, 0)=lim(fx(0, k)-fx(0, 0))/k=-1
fʏ(h, 0)=lim (f(h, k)-f(h, 0))/k=hh²/h²=h
fʏx(0, 0)=lim(fʏ(h, 0)-fʏ(0, 0))/h=1
よってfxʏ(0, 0)≠fʏx(0, 0)と分かる
偏微分してそれに代入するのではなくfx(0, k)、fʏ(h, 0)をそれぞれ定義から求めた後、fx(0, 0)、fʏx(0, 0)を定義から求める。

>>232
ドンマイ。
まあ、大学数学の話が落ちてれば来ますんで。

まさに宝石が散りばめられた良スレですね。
ここまで宝石を惜しげもなく分け与える寛大な方がおられるとは
5chもまだまだ捨てたものではありませんね

y=sinxの0≦x≦πの部分の長さを求めよ。

kはnの1次式、k=an+bとする。
1≦n≦2kのすべての整数nに対して、2kCnが偶数になるような正整数a,bを一組求めよ。

★07
x=rcosθ、y=rsinθの時 以下を証明せよ
(1) (∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²
=(∂z/∂r)²+(1/r²)(∂z/∂θ)²
(2) ∆f=∂²z/∂x²+∂²z/∂y²
=∂²z/∂r²+(1/r²)(∂²z/∂θ²)+(1/r)(∂z/∂r)

(1) ∂z/∂r=(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r)
=cosθ(∂z/∂x)+sinθ(∂z/∂y)
∂z/∂θ=(∂z/∂x)(∂x/∂θ)+(∂z/∂y)(∂y/∂θ)
(1/r)(∂z/∂θ)=-sinθ(∂z/∂x)+cosθ(∂z/∂y)
より成り立つ

>>236
2√2 E(1/√2)
ただし、Eは第二種完全楕円積分E(x) = ∫[0,π/2 ]√(1-x^2sin^2(φ)) dφ
数値積分すると約3.82

(2) C²級とする。
∂z/∂r=(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r)
=cosθ(∂z/∂x)+sinθ(∂z/∂y)

∂z/∂θ=(∂z/∂x)(∂x/∂θ)+(∂z/∂y)(∂y/∂θ)
=-rsinθ(∂z/∂x)+rcosθ(∂z/∂y)

∂²z/∂r²=c²fxx+csfxʏ+scfʏx+s²fʏʏ
∂²z/∂θ²=-rcfx+r²s²fxx-r²scfʏx
-rsfʏ+r²c²fʏʏ-r²scfxʏ
=r²(s²fxx+c²fʏʏ)-2r²scfxʏ-r(cfx+sfʏ)
より成り立つ

rで微分=xで微分×(∂x/∂r)+yで微分×(∂y/∂r)。rで微分するとrが消える
θで微分=xで微分×(∂x/∂θ)+yで微分×(∂y/∂θ)。θで微分してもθは消えないので(sinとcosが入れ替わるだけ)項は増えていく。
一階微分で2項出てくる、二階微分でrは4項、θは6項出てきた。

★08
f(x, y)=eˣlog(y+1)を(0, 0)の周りでTaylor展開(Maclaurin展開)せよ。3次まで。


f(x, y)=∑(x∂/∂x+y∂/∂y)ⁿf(0, 0)/n!より
fx=fxx=fxxx=fxxxx=eˣlog(y+1)=0
fʏ=fxʏ=fxxʏ=fxxxʏ=eˣ/(y+1)=1
fʏʏ=fxʏʏ=fxxʏʏ=-eˣ/(y+1)²=-1
fʏʏʏ=fxʏʏʏ=2eˣ/(y+1)³=2
fʏʏʏʏ=-6eˣ/(y+1)⁴=-6

よって
f(x, y)=0+(0x+1y)+(0x²+2xy-y²)/2
+(0x³+3x²y-3xy²+2y³)/6
+eᶿˣ(x⁴log(θy+1)+4x³y/(θy+1)-6x²y²/(θy+1)²+8xy³/(θy+1)³-6y⁴/(θy+1)⁴)/24、0<θ<1

=y+(xy-y²/2)+(x²y/2-xy²/2+y³/3)+
eᶿˣ((x⁴/24)log(θy+1)+x³y/6(θy+1)
-x²y²/4(θy+1)²+xy³/3(θy+1)³
-y⁴/4(θy+1)⁴)、 0<θ<1
ₙCₖxᵏyⁿ⁻ᵏ

>>244
> ID:lfVx4JXK
びみょーな荒らしね

そもそも、出題スレはきちんとレベル毎に揃っているのか。
行き場の無い問題は、「面白い問題教えて～な」スレにでも書くのが無難なのかもしれない。

★09
f(x, y)=x⁴+y⁴-2x²-2y²+4xyの極値を調べよ


fx=4x³-4x+4y=0かつfʏ=4y³-4y+4x=0
⇔x³+y³=0かつx³-y³-2x+2y=0⇔
(x=-y∨x²-xy+y²=0)∧(x=y∨x²+xy+y²=2)
⇔(x, y)=(0, 0), (√2, -√2), (-√2, √2)

fxx=12x²-4、fʏʏ=12y²-4、fxʏ=4
H(f)=fxxfʏʏ-fxʏ²
(0, 0)、(-4)²-4²=0・・・判別不能
小さなε>0に対して、f(ε, 0)=ε²(ε²-2)<0
f(ε, ε)=2ε⁴>0となりf(0, 0)=0との大小が定まらないので極値ではない。
(√2, -√2)、20×20-4²>0・・・極値である
fxx=20>0より極小値-8
(-√2, √2)、20×20-4²>0・・・極値である
fxx=20>0より極小値-8

>>246
お前がスレ立てすればいいだろ

>>218
私は荒らしとは言ってないよ。
他の人が言ってるから、どうなのかと思っただけ。

>>249
>そもそも、出題スレはきちんとレベル毎に揃っているのか

n,kは正整数で、1≦k≦nとする。
C[n,k]*C[2n,2k]+1
が平方数となる(n,k)の組が存在するならば、3組求めよ。

a_{n+1}=(a_n^2+a_n)/n (n=1,2,3,…)
で定まる数列の全ての項が整数となるa_1を全て求めよ。

>>252
答えもってるん？

いくつか試したらa1=1のみみたい
その場合an=n
でも証明はできそうに見えない

一番簡単なa_1=0(a_n=0)が抜けてるが

★10
x+y+z=a=一定、x, y, z>0、の時、
f(x, y, z)=xyzの最大値を調べよ。


有界閉領域D上の連続関数fが
Dの内部で偏微分可能かつ境界で最大値を取らない時、Dの内部の点で最大値を取る。最小値についても同様である。
有界閉領域(Compact集合)上の連続関数は最大値および最小値を必ず持つ。
z>0⇔z=a-x-y>0⇔x+y<a
D={(x, y)| x≥0, y≥0, x+y≤a}とする。
f(x, y, z)=g(x, y)=xy(a-x-y)は有界閉領域Dで連続でありDの内部で偏微分可能である。
g(0, t)=g(s, 0)=g(s, a-s)=0であり境界では最大とならない。
gx=y(a-y)-2xy=0∧gʏ=x(a-x)-2xy=0
⇔y(a-2x-y)=0∧x(a-x-2y)=0
∴ (0, 0), (a, 0), (0, a), (a/3, a/3)が極値をとる点の候補である。

gxx=-2y、gʏʏ=-2x、gxʏ=-2x-2y+a
・H(f)=gxxgʏʏ-gxʏ²=4a²/9-a²/9=a²/3>0より極値であり、
・gxx(a/3)=-2a/3<0より極大である
x=y=z=a/3の時、最大値a³/27
AM≥GMよりxyz≤{(x+y+z)/3}³=a³/27

>>255
じゃ-1も？

>>257
それって「教えて～な」スレで既出の問題じゃ…。
問題が一緒なら、-2も答えらしいよ。

{-2,2,3,…] OK

>>258
じゃ
証明もあるの？

>>260
向こうのスレでは、-2,-1,0,1以外に解がないことを証明しないといけないって言ってますね。
ただ、きちんと決着していない感じですよ…。

gemini3.0に訊いたら、1998年の日本数学オリンピック予選第11問だとさ。

それ以外の整数がa_1だとa_n >n+1 になることを利用して、a_nがすべて整数だとすれば矛盾が生じることを示す。具体的な証明方法はgeminiが教えてくれる。

ついに解かれる予感。
よく元ネタを探せたね。

>>261
下に凸の2次式なので負はすぐ正（か0）になるから
正だけで考えたら良いつまりn>1でダメだと言えばいいだめ

>>264
>n>1でダメだと
a_1>1でダメだと

>>262
へぇーあとで読んで見よ

>>262
ジェミ３でもいい加減な解答してくるな
でも方針は確かにそうなんだろうなって気がする
nが素数のところでanとan+1とがどっちも素数の倍数で無いことがあり得ることを示すみたいね

受験数学に数檻、スレチ

丁度良いスレが無いのなら、もう立てたら？
スレチ論争は、あまり見ていて気持ちの良いものではないよ。

ぜんぜんちがうやん

https://jmo-virtual-contest.vercel.app/problems/a5e4ee73-142e-4541-9342-2b8db840d7f0

>>270
私も気づいていたが、黙っていたw

ダメじゃん

gemeniが教えてくれるんじゃなかったのw

嘘つきジェミさん

そもそも >>262 の文章からしてあやしさ満載
a_1 がそれ以外なら a_n > n+1 なんてすぐでてくるはなしもちだして
「を利用して、a_nがすべて整数だとすれば矛盾が生じることを示す。」
ってなんにもいってないのとおんなじ

元ネタは何なのだろうか？

ただの思い付きやろ

まあ、とりあえず出題は「教えて～な」の方でしたら？
あっちもまあまあ動いてるスレだと思うし。

答えがちゃんとある問題なんだったらいいんだよ。
適当に思い付きで作ってその旨明記しないのが腹立つんだよ。

まあ、真剣にやった人は時間を無駄にしてしまうよね…。
私は早々と切り上げたから、被害は特に無いw

被害って…
問題に取り組むもそうしないも強いられてるわけでは無い

多くの問題には解答はないよ

まあね、ただ憤っている人がいるから、同情しただけよ。

しかもからの >>262 みたいな偽装工作
もう精神が屑ってるとしか思えん

★11
陰関数F(x, y)=x³+y³-3xy=0に対して陽関数y=f(x)とする時、f''(x)を求めよ。yが含まれていても良い。


陰関数F(x, y)=0が点x=a, y=bを含むある領域D上でC¹級とする。
F(a, b)=0∧Fʏ(a, b)≠0の時、
x=aを含むある区間I上の陽関数y=f(x)で次を満たすものが唯一つ存在する
b=f(a)、F(x, f(x))=0、
陰関数F=0の両辺をxで微分すると
Fx+Fʏ(dy/dx)=0
よってFʏ≠0ならば、dy/dx=-Fx/Fʏ

>>275
ログインしないでプロンプト入れたら、いつになく早い回答だったから変だと思ったんだよなぁ。
俺も騙された。悪意はなかったので許されよ。
ってか、出題厨がうざいので横着してAIに回答させたつもりが失敗だったというお粗末。

まぁ、質問はとりあえずAIに投げてみるのがいい。AIの間違いを楽しむという方向性もあっていい？

Fʏ=3y²-3x=0⇔x=y²
y⁶+y³-3y³=0⇔y=0∨y=³√2
(0, 0), (³√4, ³√2)、この2点以外ならば陽関数表示を持つ。y=f(x)の形の関数となる。
Fx=3x²-3y、Fʏ=3y²-3x、
Fxx=6x、Fxʏ=-3、Fʏʏ=6y

f''(x)=-2xy(-3xy+y³+x³+1)/(y²-x)³
=-2xy/(y²-x)³

★12
F(x, y)=(x²+y²)²-a²(x²-y²)=0, a>0
y=f(x)の極値を(あれば)求めよ


df/dx=-Fx/Fʏ=0とおくとFx=0∧Fʏ≠0
この条件の下で
d²f/dx²=(-FxxFʏ+FxFʏx)/Fʏ²
+(FxʏFʏ-FxFʏʏ)Fx/Fʏ³=-Fxx/Fʏ
これが負⇒極大、正⇒極小
Fx=2(x²+y²)×2x-2a²x=0
⇔x=0∨x²+y²=a²/2

かつ
Fʏ=2(x²+y²)×2y+2a²y=2y(2x²+2y²+a²)≠0
x²-y²=a²/4
Fxx=12x²+4y²-2a²

(0, 0), (±√6a/4, ±√2a/4) 複合任意
Fʏ(0, 0)=0より不適。その他は適する
Fxx=9a²/2+a²/2-2a²=3a²>0
yの符号が正⇒極大、負⇒極小となる。
x=±√6a/4の時、極大値√2a/4
x=±√6a/4の時、極小値-√2a/4
x軸対称かつy軸対称である。

James R. Munkres著『Topology Second Edition』の演習問題より。

R × R には辞書式順序が入っている。
R × R には辞書式順序による順序位相が入っている。
R × R はmetriazableであることを証明せよ。

James R. Munkres著『Topology Second Edition』の演習問題より。

R × R には辞書式順序が入っている。
R × R には辞書式順序による順序位相が入っている。
R × R はmetrizableであることを証明せよ。

d( (x, y), (x', y') ) := min {|y - y'|, 1} if x = x'
d( (x, y), (x', y') ) := 1 if x ≠ x'

これでOKですね。

地味で簡単な問題ですが、いい演習問題ですね。

なぜ、松坂和夫さんはこのような演習問題を作れないのでしょうか？

★13
平面における点と直線の距離


P(α, β)、L: ax+by+c=0、a²+b²>0とする。最短距離の存在は明らかとする。
Lagrangeの未定乗数法
目的関数f(x, y)=(x-α)²+(y-β)²
制約条件g(x, y)=ax+by+c=0
Lagrange関数L(x, y)=f(x, y)-λg(x, y)
Lx=2(x-α)-λa=0、Lʏ=2(y-β)-λb=0
λを消去するb(x-α)=a(y-β)
∂L/∂λ=ax+by+c=0
⇔a²b(x-α)+ab²(y-β)+c=-(aα+bβ+c)ab
x=α-(a²α+abβ+ac)/(a²+b²)
=(b²α-abβ-ac)/(a²+b²)
y=(a²β-abα-bc)/(a²+b²)
これが極値をとる点の候補であり
極値の存在は明らかなので決定される
f=(aα+bβ+c)²a²/(a²+b²)²
+(aα+bβ+c)²b²/(a²+b²)²
=(aα+bβ+c)²/(a²+b²)
従って最短距離は|aα+bβ+c|/√(a²+b²)
n=(a, b)とおくと|g(α, β)|/|n|

X を d を距離とする距離空間とする。

d : X × X → R は連続関数である。

X' を集合としては X と同じで、ある位相が入っているとする。

d : X' × X' → R が連続関数であるならば、 X' に入っている位相は X の位相（d による距離位相)よりもfineであることを示せ。

これも演習問題としていい問題ですね。さすが、碩学Munkresさんです。

思うんだが、大学間で連携して、数学の書籍を大量にAIに読み込ませて、講義資料を作らせたり、行間埋めをさせたら、数学教育が様変わりするんじゃね？

★14 包絡線を求めよ。a>0とする。
(1) 両端がx軸 y軸上にあり 長さaの線分
(2) 円: (x-t)²+y²=a²


(1) F(x, y, t)=0、Fₜ (x, y, t)=0
第一象限で考えて
x/acost +y/asint =1, 0≤t≤π/2 とおける
F xsint+ycost=asintcost
Fₜ xcost-ysint=a(cos²t-sin²t)
x=asin²tcost+acost(cos²t-sin²t)=acos³t
y=a(sint-sintcos²t)=asin³t

x²ᐟ³+y²ᐟ³=a²ᐟ³、包絡線はアステロイド
(2) F (x-t)²+y²=a²、Fₜ -2(x-t)=0 ⇔ x-t=0
y=±a、包絡線は平行2直線

俺も出題しよっと
x^n+y^n=1 (0≦x,y)
n=1 直線
n=2 円
n=2/3 （いわゆる）アステロイド
では
n=1/2は？

>>302
それ大学受験で有名な問題ですよ
高校数学スレで出してください

まさかのスレチw

★01
(1) ∫∫ᴅ 1dxdy=S、Sは閉領域Dの面積
(2) ∫∫ᴅ xdxdy/(x²+y²) D: x≥y≥x²/4, x≥2


(1) ∫∫ᴅ f(x, y)dxdy
=lim[d→0] ∑ [i=1, n] f(xᵢ, yᵢ)Sᵢ=S

2) ∫[x=2, 4]dx ∫[y=x²/4, x] xdy/(x²+y²)
=∫[x=2, 4]dx [tan⁻(y/x)] [y=x²/4, x]
∫[x=2, 4] (π/4-tan(x/4))
ここで
(xtan⁻(x/4))'=tan(x/4)+4x/(x²+16)、
∫4xdx/(x²+16)=2log(x²+16)より
=π/2-4(π/4)+2tan⁻¹(1/2)+2log(32/20)
=-π/2+2tan⁻¹(1/2)+2log(8/5)

★02
∫∫ᴅ √xdxdy、D: y²≤x-x²


y=±√(x-x²)=y₊ y₋とする
∫[x=0, 1]dx ∫[y=y₋, y₊]dy√x
=∫[x=0, 1]dx 2√x√(x-x²)
=∫[x=0, 1] 2x√(1-x)dx
=∫-2(1-x)³ᐟ²+2(1-x)¹ᐟ² dx
=(4/5)(1-x)⁵ᐟ²-(4/3)(1-x)³ᐟ²
=-4/5+4/3=8/15

★03 二重積分の順序を交換せよ a>0
I=∫[x=0, a]dx ∫[y=√(a²-x²), x+2a]dy f(x, y)


Dを図示して考えると
I=∫[y=0, a]dy ∫[x=√(a²-y², a)]dxf(x, y)
+∫[y=a, 2a]dy ∫[x=0, a]dxf(x, y)
+∫[y=2a, 3a]dy ∫[x=y-2a, a]dyf(x, y)

★04 I=∫∫ᴅ (x²+y²)dxdy、D: x²/a²+y²/b²≤1、a>0, b>0
★05 ∫∫ᴅ (x²+y²)dxdy、D: x²+y²≤a²、a>0


x=arcosθ, y=brsinθ と置くと
0≤r≤1, 0≤θ<2π
J=acbrc+arsbs=abr
I=∫[θ=0, 2π]dθ ∫[r=0, 1]dr r²(a²c²+b²s²)abr
=(ab/4)∫[0, 2π]dθ (a²c²+b²s²)
=πab(a²+b²)/4
b=aと置いてπa⁴/2

★06
∫∫ᴅ dxdy/(x+y)³ᐟ²、D: [0, 1]×[0, 1]


(0, 0)が不連続点であるので有界閉領域における不連続点を持つ場合の広義積分となる。
被積分関数は非負であるので∀近似増加列に対して収束しなくても∃近似増加列に対して収束すればそれが広義積分としての値となる。
Dₙ: D-⊿ₙ=[0, 1]×[0, 1]-[0, 1/n]×[0, 1/n]ととるとDₙ→D。
(0, 0)⊂⊿ₙ=[0, 1/n]×[0, 1/n]を取り除けば普通に積分出来る。
∫[x=1/n, 1]dx ∫[y=0, 1]dy f(x, y)+
∫[x=0, 1/n]dx ∫[y=1/n, 1]dy f(x, y)
=∫[1/n, 1]dx 2(1/√x -1/√(x+1))
+∫[0, 1/n]dx 2(1/√(x+1/n)-1/√(x+1))
=4(1-√(1/n)-√2+√(1+1/n))
+√(2/n)-√(1+1/n)-√(1/n)+1)
=8-4√2-8/√n+4√2/√n→8-4√2 (n→∞)

★07
I=∫∫ᴅ e^(-x²-y²)dxdy、D: x≥0, y≥0


無限領域における広義積分。被積分関数は非負なので∀近似増加列が一つの値に収束することを確かめなくても∃近似増加列に対して積分が収束すればそれが広義積分としての値である。
Dₙ: {(rₙcosθ, rₙsinθ)|rₙ≥0, 0≤θ≤π/2}とする。半径rₙの四分円の内部および境界である。Dₙ→Dと考えられる。
x=rcosθ, y=rsinθ, r≥0, 0≤θ≤π/2と置くと
J=rc²+rs²=r
Iₙ=∫∫ᴅₙ e^(-r²) rdrdθ
=∫[θ=0, π/2]dθ ∫[r=0, rₙ]
=(π/4)[e^(-r²)] [rₙ, 0]
=(π/4)(1-e^(-rₙ²))→π/4 n→∞

近似増加列Dₙとして辺の長さrₙの正方形の内部及び境界を考えると
Iₙ=∫∫ᴅₙ e^(-x²-y²)dxdy
=∫[x=0, rₙ]e⁻ˣ²dx ∫[y=0, rₙ]e⁻ʸ²dy
=(∫[0, rₙ]e⁻ˣ²dx)²→π/4 (n→∞)
∴∫[0, ∞]e⁻ˣ²dx=√π/2
よって∫[-∞, ∞]e⁻ˣ²dx=√π
(e⁻ˣ²はxの偶関数なので2倍)

x=y/√2とおくとdx=dy/√2、-∞<y<∞
=∫[-∞, +∞]e^(-y²/2)dy=√(2π)
y=(t-μ)/σと置くとdy=dt/σ、-∞<t<∞
∫[-∞, +∞] e^(-(t-μ)²/2σ²)dt=σ√(2π)
正規分布の確率密度関数
-x² → -x²/2 - -(x-μ)²/2σ²
x → x/√2 → (x-μ)/σ√2
面積は√2倍×σ倍=σ√2倍になる。
I₁=I₂/√2=I₃/σ√2=√π、I₃/σ√(2π)=1

(1) (2) 軸が直交する半径aの2本の直円柱の共通部分を考える
(1) 体積を求めよ。★9
(2) 表面積を求めよ。★11
(3) 軸が互いに直交する3本の直円柱の共通部分の体積Vを求めよ

(1) x²+z²≤a²かつy²+z²≤a²
z=一定で切断すると
|x|≤√(a²-z²)、|y|≤√(a²-z²)
よって正方形でありS(z)=4(a²-z²)
V=∫[-a, a]S(z)dz=8(a³-a³/3)=16a³/3

(2) 曲面積S=∫∫ᴅ √(1+fx²+fʏ²)dxdy
対称性からx≥0, y≥0, z≥0の部分を求めて8倍する。
x²+y²≤a²かつx²+z²≤a²とすると
z=f(x, y)=√(a²-x²)、D: x²+y²≤a²
fx=0、fʏ=-x/√(a²-x²)
S=8∫[y=0, a]dy ∫[x=0, √(a²-y²)]dy×f(x, y)
f=√1+x²/(a²-x²)=a/√(a²-x²)より
S=8∫[0, a] ady=8a²
極座標変換などは不要。

(3) x²+y²≤a²、x²+z²≤a²、y²+z²≤a²
z=一定で切断すると
|x|≤√(a²-z²)、|y|≤√(a²-z²)
すなわち一辺の長さ2√(a²-z²)の正方形である。
Sは円の内部∧正方形の内部となるが
・a/√2≤z≤aの時 正方形⊂円
・0<z≤a/√2の時 互いに少しずつはみ出す
・z=0の時 円⊃正方形
に場合が分かれる。

S₁: D: x≥0, y≥0, y≤x で考えて16倍する
S₁=z√(a²-z²)/2+a²(π/4-θ)/2、sinθ=x/a
・16S₁=8z√(a²-z²)+2πa²-8a²θ [0, a/√2]
・2S₂=8(a²-z²) [a/√2, a]
16S₁=√2π-8(π/4√2+1/√2-1)
+(8/3)(1-1/2√2)
2S₂=8(1-1/√2)-(8/3)(1-1/2√2)
=8-4√2-8/3+2√2/3

16S₁+2S₂=√2π-√2π-4√2+8
+8/3-2√2/3+8-4√2-8/3+2√2/3
=16-8√2より、V=8(2-√2)a³

・-(8/3)(a²-z²)³ᐟ²
・∫sin⁻(x/a)dx=xsin⁻(x/a)+√(a²-x²)

★12
∫∫∫ᴅ dxdydz、D: x²+y²+z²≤a²


∫∫ᴅ dS=Dの面積、∫∫∫ᴅ dV=Dの体積。
→f=1で面積や体積が求まる
x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ、
0≤r≤a, 0≤θ≤π, 0≤φ≤2πとおく 球面極座標
|sinθcosφ rcosθcosφ -rsinθsinφ|
|sinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ|
|cosθ -rsinθ 0 |

J=r²sin³θsin²φ+r²sinθcos²θcos²φ
+r²sinθcos²θsin²φ+r²sin³θcos²φ
=r²sin³θ+r²sinθcos²θ=r²sinθ
V=∫∫∫ᴅ dxdydz=∫∫∫ᴅ r²sinθdrdθdφ
=2π∫∫ᴅ r²sinθdrdθ
=4π∫ᴅ r²dr=4πa³/3=球の体積公式

z=一定で切断すると
x²+y²=a²-z²の円、S(z)=π(a²-z²)
V=2∫[0, 0] S(z)dz=2π(a³-a³/3)=4πa³/3

★11
x²+y²+z²≤a²とx²+y²≤axの共通部分の体積、a>0


球面の方程式をz=±f(x, y)、dV=f(x, y)dSとして∫∫ᴅをすれば良い。xy平面に関する対称性によりz≥0で考えて2倍する
Dは円板 x²+y²≤ax ⇔ (x-a/2)²+y²≤(a/2)²
∫∫ᴅ 2√(a²-x²-y²)dxdy、D: x²+y²≤ax

x=rcosθ, y=rsinθ、0≤r≤acosθ, |θ|≤π/2
とおくとJ=rdrdθ
∫∫ᴅ 2√(a²-r²) rdrdθ

∫[-π/2, π/2] (-2/3)(a²-r²)³ᐟ²dθ
=(2/3)a³∫[-π/2, π/2] (1-sin³θ)dθ
=(2a³/3)(π-2×(2/3)×1)=(6π-8)a³/9
原点を通る円は原点を極とする極座標表示が簡単になる。
∫∫ᴅを使わなくてもz=一定での断面を考察すればV=∫S(z)dzで出来る。

出題スレの方でやってくれたら嬉しいんだけどね

せっかく立ててくれたからね。

人数多くて大変だったクラスほど授業アンケートがさんざんで嫌になるわ

人数が多いとできの悪い学生が多数派になるので、その対策を打たないと学生の不満が高まって評価も下がる

でも、授業評価なんか気にするだけ無駄
査定に響くわけでもないだろ

（1）sin(sinx-x)の0≦x≦1における最大値Mと最小値mを求めよ。

（2）定積分∫[0,1] sin(sinx-x) dxの値を求めよ。必要であれば（1）で求めたM,mを用いてよい。

>>328
ここでやる？（１）簡単（２）NG

出題スレあるよ。

定積分
∫[0,2026] exp(-x^2)|sinx| dx
の整数部分を求めよ。
必要ならばπ=3.1415926535...を用いてよい。

つまらなさすぎ

∫_{0}^{π} sinθ/√(a^2 + r^2 - 2*a*r*cosθ) dθ = 2 * min{a, r} / (a * r)

という積分は有名な積分ですか？

今読んでいる力学の本に出てきました。

この積分が書いてある微分積分学の教科書を教えてください。
計算自体はChatGPTに聞いて分かっています。

物理（幾何）から出てくる自然な積分で、計算も置換積分をすることにより、綺麗に求まるので、よい定積分だと思いました。

「球殻の静電ポテンシャル」
これだけで十分有名だし一発で意味が分かるのではないだろうか

芸術的な作問を披露いたします
大学数学の範囲でないと解けない絶妙な難易度設定となっております

2以上の任意の正整数nに対して、
Σ[k=2,n] √k
は無理数であることを証明せよ。

>>336
結構いい問題だけどここでやるの？

出題スレあるよ。

位相 $T$ が入った位相空間 $X$ がmetrizableだとします。$X$ が $T$ よりも粗いもしくは細かい位相が入った位相空間であるとき、そのmetrizabilityについて何か一般的なことはいえますか？

>>339
>$X$ が $T$ よりも粗いもしくは細かい位相が入った位相空間であるとき
XにTより粗い（開集合が少ない）位相T0と細かい（開集合が多い）位相T1を入れたときに
Tが距離化可能であることとT0,T1が距離化可能であることとに
どういう関係があるかってこと？
たとえばハウスドルフにならないくらいに減らせば距離化できないわねえ
増やす方は局所有限にならないくらい増やせば距離化できないけど
適当に増やして局所有限にならないようにできるのかな
ハウスドルフにならないくらいに減らすのは簡単よね

離散位相と密着位相を思い浮かべて何も言えないだろうなと思ってgeminiに投げたら
それっぽい答えがいっぱい返ってきた

長田＝スミルノフの距離化定理

>>341
>離散位相
離散距離
d(x,y)=0 for x=y, 1 for x≠y

（1）xy平面上の領域
x^2+axy+y^2≦1
が閉領域となるような実数aの範囲を求めよ。

（2）aは（1）の条件を満たすとする。領域
x^2+axy+y^2≦1
の周および内部に原点を含むようなaの範囲を求めよ。

(m/8)+(n/9)
が整数となるとき、
「mは8の倍数かつnは9の倍数」
であることを示せ。

>>340
>ハウスドルフにならないくらいに減らすのは簡単よね
X∋a,bが分離できないようにする
たとえば
a∈Uが必ずb∈Uであるようにするには
a∈Uかつ¬b∈UであるUは全部抜けばいい

O=O(X)
O'=O-{U∈O|a∈U,¬b∈U}
X,φ∈O'
Uα∈O'⊂O
∪Uα∈O
a∈∪Uα
∃α(a∈Uα)
Uα∈O'
a∈Uα→b∈Uα⊂∪Uα
∪Uα∈O'
U,V∈O'⊂O
a∈U∩V∈O
a∈U,a∈V→b∈U,b∈V
b∈U∩V
U∩V∈O'

>>340
>XにTより粗い（開集合が少ない）位相T0と細かい（開集合が多い）位相T1を入れたときに
>Tが距離化可能であることとT0,T1が距離化可能であることとに
>どういう関係があるかってこと？
Tが距離化可能なのにそれより強いT1で距離化可能で無いのってどう作れるんだろもちろん作れても距離は変わるけど
それとも作れない？

g : R → R^ω を g(t) = (t, t, t, …) で定義する。

R^ω にはuniform topologyが入っているとする。

g は連続か不連続か？

>>348
>もちろん作れても距離は変わるけど
もちろん距離化可能でも距離は変わるけど

>>349
>R^ω にはuniform topologyが入っている
R^ωの一様構造をU⊂2^(R^ω×R^ω)とすると
(t,t,…)∈R^ωの近傍系は
{V[(t,t,…)]={(s0,s1,…)|((t,t,…),(s0,s1,…))∈V}|V∈U}
ですか
イメージ沸いてきませんね
Uによって結論変わるんですかね
2^ω上の同値関係の全体Uで考えると
Id∈Uなので一様位相は離散位相になるつまりgは不連続ですね

(xₙ)∈R^ω を xₙ = 1-1/n でさだめるとき、(xₙ) を中心とする単位球 U は U = {(yₙ) ; yₙ∈(-1/n,2+1/n) } である。よって g⁻¹(U) = ∩(-1/n,2+1/n) = [ 0, 3 ) であり開集合でない。

>>352
>g⁻¹(U) = ∩(-1/n,2+1/n) = [ 0, 3 ) であり開集合でない。
[0,2]？
その距離ってどんな定義？
(1-1/n)-(-1/n)=1
(2+1/n)-(1-1/n)=1+2/n

[a,b] = { x ; a≦x≦b }
(a,b] = { x ; a<x≦b }
[a,b) = { x ; a≦x<b }
(a,b) = { x ; a<x<b }

あ分かった
(-1/n,2-1/n)の間違いでは？
すべての項がこの間にある定数数列を考えると
[0,1)？

>>349

あ、簡単すぎる問題でした。

x = (x_i), y = (y_i) に対して、

x と y の距離を sup {min{|x_i - y_i|, 1} : i ∈ {1, 2, …}} で定義します。

この距離についての距離位相のことを R^ω のuniform topologyといいます。

>>349

あ、簡単すぎる問題でした。

x = (x_i), y = (y_i) に対して、

x と y の距離を sup {min{|x_i - y_i|, 1} : i ∈ {1, 2, …}} で定義します。

この距離についての距離位相のことを R^ω のuniform topologyといいます。

簡単ではありますが、演習効果が比較的高いと思われる問題：

Consider the product, uniform, and box topologies on R^ω.

(b) In which topologies do the following sequences converge?

w_1 = (1, 1, 1, 1, …),
w_2 = (0, 2, 2, 2, …),
w_3 = (0, 0, 3, 3, …),
…

x_1 = (1, 1, 1, 1, …),
x_2 = (0, 1/2, 1/2, 1/2, …),
x_3 = (0, 0, 1/3, 1/3, …),
…

y_1 = (1, 0, 0, 0, …),
y_2 = (1/2, 1/2, 0, 0, …),
y_3 = (1/3, 1/3, 1/3, 0, …),
…

z_1 = (1, 1, 0, 0, …),
z_2 = (1/2, 1/2, 0, 0, …),
z_3 = (1/3, 1/3, 0, 0, …),
…

>>357
>R^ω のuniform topology
一様位相というのは
自分はあまり詳しくないのですが一様空間に入れる位相のことだそうで
一様空間はU（uniformの頭文字）⊂2^(X×X)が
・∀V∈U V⊃Δ={(x,x)|x∈X}
・∀V∈U∀W⊃V W∈U
・∀V,W∈U V∩W∈U
・∀V∈U V^T={(x,y)∈X×X|(y,x)∈V}∈U
・∀V∈U∃W∈U V⊃W・W={(x,y)∈X×X|∃z∈X (x,z),(z,y)∈W}（ほんとは写像・関係の合成記号）
を満たすように与えられた集合の組(X,U)のことであり
位相空間と距離空間の間にある概念だそうです
Uの元は近「傍」ではなくて近「縁」と呼ばれるそうです
同じ近縁に含まれる(x,y)と(z,w)とは
言ってみれば「同じように近い」と考えるようですね
この一様空間について一様位相は
V∈Uに対してV[x]={y∈X|(x,y)∈V}としたとき
開近傍系Oを
W∈O ⇔ ∀x∈W∃V∈U V[x]⊂W
と定義したものとのことです>R^ω のuniform topology

こんな問題文なら一様ノルムとしか思わない
それ以外の意味で出題するなら説明なしなら通じない
数学の世界でどこまでは常識として通じてどこからは通じないのかわからないなら一々細かく説明するしかない
数学の世界で>>349の説明ならℝ^ ωはl²の事なんだろなとしか思えない

もすかすると高校や中学数学の範囲かもですが
おねがいします。(すれ違いならふさわしい他のスレに移ります)


a,bは自然数で奇数で互いに素でa<bとします。
by < ax < by +(b-a)/2 をみたす格子点(x,y)で 0<y<(a-1)/2 をみたすものが
存在するような a,bの条件を求めたいのです。

たとえば (a,b)=(5,9)のときは格子点(x,y)=(2,1)が存在し、
(a,b)=(5,11)のときは存在しないです。

l²じゃない、l^∞
まぁだったらだったでなんでl^∞と書かんのって話にはなるんだけど

R^ω をUniform Topologyの入った位相空間とする。
このとき、 R^∞ の閉包は何か？

あ、分かりました。

lim_{n→∞} x_n = 0 であるような (x_1, x_2, …) ∈ R^ω の集合ですね。

これも悪くない問題ですね。

出題スレの方で

実は、この前のセクションの問題に、 R^ω をBox Topologyの入った位相空間とする。
このとき、 R^∞ の閉包は何か？

答え = R^∞

実は、この前のセクションの問題に、 R^ω をProduct Topologyの入った位相空間とする。
このとき、 R^∞ の閉包は何か？

答え = R^ω

という問題がありました。

Product Topology, Uniform Topology, Box Topologyの順に位相が（真に）細かくなっていきます。

R^∞ の閉包(Box Topology) ⊂ R^∞ の閉包(Uniform Topology) ⊂ R^∞ の閉包(Product Topology)であるはずですが、

答えが、 R^∞ でもなく、 R^ω でもなかったので、気持ちがいいです。

>>361
小さい数字で試してみてもきれいなルールがみえない。簡単にかける条件なさそう

https://play.haskell.org/saved/7XaugOzt

いや、b ≠ 2a+1, 3a が近いのか？

いやダメやな。a を固定するごとに解をもたない b は最後の二つが 2b+1, 3b みたいやけどそれ以前にもあってなんかすっきりしたルールは見えないな

https://play.haskell.org/saved/qeH2JkKh

考えて下さってありがとうございます。

かんたんな条件にはならなさそうなんですね。

>>361
a=2n+1,b=2m+1
O(0,0),A((m-n)/(2n+1),0),B(n(2m+1)/(2n+1),n),C(m,n)を頂点とする平行四辺形の内部に格子点が存在する条件か
m,nが互いに素じゃ無ければOC上に格子点があるから
m,nも互いに素で考えるのか
x軸方向に2n+1倍したら
O,A'(m-n,0),B'(n(2m+1),n),C'(m(2n+1),n)かあ
OA'C'B'の面積は(m-n)nで辺上の格子点は2m個
だからOA'C'B'内の格子点の個数は(m-n-1)(n-1)個
あんま関係ないか
D;0<j<n,0<k<m-nで
(x,y)=((2m+1)j+k,j)が格子点の座標
でもx軸方向へ2n+1倍してるから
元の格子点はこの中でx座標が2n+1の倍数になってるヤツ
(2m+1)j+k≡0 mod (2n+1)がD内に解を持つかどうかか
面倒くさいなどうするんだろ

おもいつきでつくった答えなし問題でしょ

>>372
そうかなあ
ijk空間で
D:0<j<n,0<k<m-n
という長方形の格子点上
i=(2m+1)j+k
という平面と
i=(2n+1)l
という平面群の交点の存在を考えるんでしょ
(j,k)=(0,0)ではi=0で交わる
(j,k)=(n,m-n)ではi=(2n+1)mで交わるから
0<l<mで考えたら良い
てことは
jkl空間で
E:０<j<n,0<l<m
という長方形の格子点上で
k=(2n+1)l-(2m+1)j
が0<k<m-nという値を取るかどうか
なんとかならんかね

>>373
>jkl空間で
>E:０<j<n,0<l<m
>という長方形の格子点上で
>k=(2n+1)l-(2m+1)j
>が0<k<m-nという値を取るかどうか
Eに限定しないのであればGCD(2m+1,2n+1)=1だから
kはどんな整数値も取るけどEに限定だからなあ
なんとかならんかね

でもこの流れで解こうとするなら
高校数学であるかもね

>>373
>jkl空間で
>E:０<j<n,0<l<m
>という長方形の格子点上で
>k=(2n+1)l-(2m+1)j
>が0<k<m-nという値を取るかどうか
右辺を(j,l)の1次関数とすれば
そのグラフは
(j,l,k)=(0,0,0),(0,m,(2n+1)m),(n,0,-(2m+1)n),(n,m,m-n)
を通る平面
jl平面上で(0,0),(n,m)を通る直線上では
整数で無いj,lについて0<k<m-nという値を取るわけだけど
整数だもんね

ああでも
Eの内部に格子点が沢山あれば
その中の(j,l)でk=(2n+1)l-(2m+1)jが0<k<n-mである点がきっとありそう

>>377
>0<k<n-m
0<k<m-n

絶対無いのが直ぐ判るのはm-n=1のときだね
このとき0<k<m-n=1である整数は存在しないから
たとえば
(m,n)=(1,0)の(a,b)=(2n+1,2m+1)=(1,3)とか
(m,n)=(2,1)の(a,b)=(3,5)とか
(m,n)=(3,2)の(a,b)=(5,7)とか
…

m,nの一方が1のときもE内に格子点がそもそも存在しないから
(m,n)=(m,1)の(a,b)=(1,2m+1)とか
(m,n)=(1,0)の(a,b)=(1,3)とかもか（m>n≧0なのでね）

GCD(m.n)=d>1のときは
(j,l)=(m/d,n/d)が格子点だからk=(m-n)/dが0<k<m-nと存在する
以下d=1で考えると
E内で(0,0)と(m.n)を結ぶ線分上に格子点は無いからこの2点と(m,0)もしくは(0,n)を頂点とする直角三角形の内部の格子点だけ考えたら良い
Δ1を(0,0),(m.n),(m,0)を頂点とする直角三角形
Δ2を(0,0),(m,n),(0,n)を頂点とする直角三角形とすると
Δ1内の格子点ではk=(2n+1)l-(2m+1)j<m-n
Δ2内の格子点ではk=(2n+1)l-(2m+1)j>0
なので
0<k<m-nという値を取らないのは
Δ1内の格子点のすべてでk=(2n+1)l-(2m+1)j≦0
Δ2内の格子点のすべてでk=(2n+1)l-(2m+1)j≧m-n
となることだが上記2つの命題は対称性を考えると同値になるので
Δ1内の格子点のすべてでk=(2n+1)l-(2m+1)j≦0
となる(m,n)の条件を考えたら良い

>>381
>(j,l)=(m/d,n/d)が格子点だからk=(m-n)/dが0<k<m-nと存在する
(j,l)=(n/d,m/d)が格子点だからk=(m-n)/dが0<k<m-nと存在する
もう少し詳しく書くと
(j,l)=(n/d,m/d)において
k=(2n+1)l-(2m+1)j=(2n+1)(m/d)-(2m+1)(n/d)=(m-n)/d

>>381
>E内で(0,0)と(m.n)を結ぶ線分上に格子点は無いからこの2点と(m,0)もしくは(0,n)を頂点とする直角三角形の内部の格子点だけ考えたら良い
>Δ1を(0,0),(m.n),(m,0)を頂点とする直角三角形
>Δ2を(0,0),(m,n),(0,n)を頂点とする直角三角形とすると
mとn入れ替えたのが正しい言明

>>381
>Δ1内の格子点のすべてでk=(2n+1)l-(2m+1)j≦0
>となる(m,n)の条件を考えたら良い
結局
jl平面上で(0,0),(n,m),(n,0)を頂点とする
Δ1:0<l<(m/n)j<m
を満たすすべての格子点(j.l)でk=(2n+1)l-(2m+1)j≦0となる(m,n)の条件を考えたらいい
Δ1:0<nl<mj<mn
と書き直しても良いかも

そりゃ同値な条件なんかいくらでもあるだろうけど、それが「万人がこれこそ一番シンプルな条件」となっとくいく条件にたどりつける保証なんかどこにもない。実際>>370で出題した本人が思いつきで簡単な条件みつからないか聞いてみたみたいなこといってるし。そんな問題できれいな答え期待する方がおかしい。

>>384
>Δ1:0<l<(m/n)j<m
>を満たすすべての格子点(j.l)でk=(2n+1)l-(2m+1)j≦0となる(m,n)の条件を考えたらいい
Δ1内の格子点は
1≦j≦n-1であるそれぞれのjについて
1≦l<(m/n)jであるからそのlの最大値は[(m/n)j]：ガウス記号
そこでk=(2n+1)l-(2m+1)j≦0であればいいのだから
(2n+1)[(m/n)j]-(2m+1)j≦０
がすべての1≦j≦n-1について言えれば良い
[(m/n)j]/j≦(2m+1)/(2n+1)
max{[(m/n)j]/j|1≦j≦n-1}が分かればなあ
ガウス記号がなければこれは成立しないから
たぶん成立しないんじゃないかなあどうかなあ
とすると
結論は
当該領域に格子点が存在しないのは
b=a+2のときとa=1のときだけ
ってことだけど

>>386
>[(m/n)j]/j≦(2m+1)/(2n+1)
>max{[(m/n)j]/j|1≦j≦n-1}が分かればなあ
>ガウス記号がなければこれは成立しないから
[(m/n)j]/j>((m/n)j-1)/j=(m/n)-(1/j)
max{[(m/n)j]/j}>(m/n)-(1/(n-1))=(mn-m-n)/n(n-1)
(mn-m-n)(2n+1)-n(n-1)(2m+1)=-m(n-1)-3n^2
なので
m(n-1)≧3n^2
であればj=n-1のとき[(m/n)j]/j>(2m+1)/(2n+1)
つまり当該領域に格子点が存在する十分条件だな

>>387
>(mn-m-n)(2n+1)-n(n-1)(2m+1)=-m(n-1)-3n^2
=m(n-1)-3n^2

>>386
>(2n+1)[(m/n)j]-(2m+1)j≦０
>がすべての1≦j≦n-1について言えれば良い
n=2のときは
考えられるj=1だけだから
(2n+1)[(m/n)j]-(2m+1)j=5[m/2]-(2m+1)
m=2kのときはGCD(m,n)=2>1なので
m=2k+1として
5[m/2]-(2m+1)=k-3より
格子点が無いのはk=1,2,3すなわち(a,b)=(5,7),(5,11),(5,15)のときのみ
n=3のときは
考えられるj=1,2だから
j=1のときは
(2n+1)[(m/n)j]-(2m+1)j=7[m/3]-(2m+1)
m=3kのときはGCD=3>1
m=3k+1のときは
7[m/3]-(2m+1)=7k-(6k+3)=k-3
m=3k+2のときは
7[m/3]-(2m+1)=7k-(6k+5)=k-5
j=2のときは
(2n+1)[(m/n)j]-(2m+1)j=7[2m/3]-2(2m+1)
m=3k+1のときは
7[2m/3]-2(2m+1)=14k-2(6k+3)=2(k-3)
m=3k+2のときは
7[2m/3]-2(2m+1)=7(2k+1)-2(6k+3)=2k+1
よって
格子点無いのは
m=3k+1のときk=1,2,3すなわち(a,b)=(7,9),(7,15),(7,21)のときのみ
m=3k+2のときなし（必ず格子点あり）
あーこれじゃキリないな

>>389
>m=2kのときは
>m=3kのときは
kは既に別の意味で使っていたのでiに代えて読んで

>>387
>m(n-1)≧3n^2
m≧3(n+1)+3/(n-1)
n=2,3なら格子点の無い場合は完全にリストアップしたので
n≧4で考えるとmが整数なので
m≧3(n+1)+1=3n+4が当該領域に格子点が有る十分条件
うーん今ひとつだな