とりあえず、分かっていることを書きます。

pを奇素数、nを正の整数とすると、f(p^n)=n+1である。
kとk+1は互いに素だから、それぞれの約数である gcd(k,p^n) とgcd(k + 1,p^n) も互いに素である。よって、gcdの組はm,kを正の整数とすると(1,1),(1,p^m),(p^k,1)に限られるため、g(p^n)=n+1となる。

qをpと異なる奇素数とすると、
f(p^n・q^m)=(n+1)(m+1)である。
g(p^n・q^m)に関しては、AIが中国剰余定理について言及していたので、それを考慮すると解決するかもしれません。