このf:α→Rが作れたら
f(0)=0,sup{f(β)|β<α}=1であるとしていいから
g:[0,1)×α→Rを
g(t,β)=(1-t)f(β)+tf(β+1)としてやれば
g:[0,1)×α=[0,1)ができるんだけど