ヘタレなので、真っ先にAIに訊いてみた
正しいかどうかは、読んで確認してな（笑）
だが、１、貴様には絶対無理
あきらめて囲碁将棋してろ（笑）

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結果
(i) 偽
(ii) 真

反例

合格体験記にもあるように、問題(1)の商空間をほぼそのまま使うのが最も自然です。
(1)で出てきた Y （実数の2本のコピーを0以外で同一視した空間の商）はハウスドルフでないことが知られている（多くの教科書に載ってる有名な反例）。
で、射影 π : X → Y は連続
開写像（Xの位相の定義から）
全射
各点の原像は 1点 または 2点（0の2点だけ同一視されてる） → 有限

なのに Y はハウスドルフでない。→ これが (i) の完璧な反例。だから (i) は偽。