>>210
>真面目に答えると、（0,1）と（0,-1）をそれぞれ含む開集合を取ると、上手く分離できないというのが理由だったかと思います。（数日前にやったので、うろ覚えです。）

理由付け おかしくない？
(0,1）と（0,-1）
　↓
{0,1}と{0,-1} （問題文より）
でしょ？
開区間 (0,1）でなく 2点集合 {0,1}

？ で >>174より
”合格体験記にもあるように、問題(1)の商空間をほぼそのまま使うのが最も自然です。
(1)で出てきた Y （実数の2本のコピーを0以外で同一視した空間の商）はハウスドルフでないことが知られている（多くの教科書に載ってる有名な反例）。
で、射影 π : X → Y は連続
開写像（Xの位相の定義から）
全射
各点の原像は 1点 または 2点（0の2点だけ同一視されてる） → 有限
なのに Y はハウスドルフでない。→ これが (i) の完璧な反例。だから (i) は偽。”

真逆読んだか （＾＾
　では >>219 もとい 書き直し
なので 答案としては
まず
・位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか について No と表明する
・次に ハウスドルフの定義を書く ”異なる点が近傍によって分離できる位相空間”だと
・そして 実数Rが ハウスドルフであると述べる（知ってますのアピール）
・次に OR 開集合系から構成される位相OXも ハウスドルフであると述べる（略証あればベスト）
・X上の同値関係〜の標準的射影 の商位相 OY は ハウスドルフでないと述べる(?)（略証あればベスト）
そして 結論を再度述べる
位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間ではない■
（＾＾；