>>159
(参考)
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
令和8年度東北大学大学院理学研究科数学専攻入学試験問題
数学　共通問題令和7年8月21日
2 以下の問いに答えよ．
(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である．
　ここで，写像f:Z →Wについて，
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい，
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう．
(引用終り)

ホイヨ
１）>>299 L^2 さん 合格体験記 より
”(ii)こっちは逆に真です。ハウスドルフ空間であることの定義より、相異なる2点から出発するのは良いのですが、試験中は問題が解けず焦りまくったせいで解けませんでした。落ち着いて考えれば、相異なる2元を
Z からとってきて、有限集合はハウスドルフ空間上では閉集合であることに加えて、閉写像であることや全体から閉集合を引いたものは開集合みたいな基礎的な事項の組み合わせで示せる問題でした”

２）(google検索)
ハウスドルフな位相空間の 全射閉写像による像は ハウスドルフか？
<AI による概要>
結論から言うと、一般には偽です。ハウスドルフ空間 X から位相空間
Y への連続な全射閉写像 f：X→Y があっても、Y はハウスドルフ空間とは限りません。
Y がハウスドルフになるためには、単に閉写像であるだけでなく、ファイバー f^-1(Y) が適切に制御されているか、
あるいは同値関係がコンパクトであるなどの追加条件が必要です。
詳細な解説
1.閉写像の定義: 閉写像とは、閉集合の像が閉集合になる写像です。
2.ハウスドルフ性の性質: ハウスドルフ空間の像が再びハウスドルフになるためには、閉集合だけでなく、異なる点どうしが分離される必要があります。
3.反例となるケース:
　1.X をハウスドルフ空間（例えば、実数全体 R）、
　　Yを非ハウスドルフ空間（例えば、密着位相や、二つの原点を持つ直線など）とし、連続な全射閉写像 f を構成することができます。
　2.全射閉写像は、空間の「同一視」によってハウスドルフ性を破壊する可能性があるため、一般にはハウスドルフ性は保たれません
注意点:
・コンパクト・ハウスドルフ空間からハウスドルフ空間への連続全射閉写像であれば、像はハウスドルフになります。
・全射閉写像かつ全単射（同相写像）であれば、ハウスドルフ性は保存されます。