>>542-545
>その通り
>分離できないから一方だけ含むのだと閉にならない

意味わからん
　>>540 東北大で
実数Rだと コンパクトではないので
イメージをはっきりさせるために
整数n > 1 をとって
閉区間 [n,-n]に埋め込んで考える

このとき
１）出題で >>540 より
"X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)"
　ここで、全体 位相空間(Y,OY)は閉か？ たぶん閉でしょうね
２）さて >>511 より
ところでみなさんに質問
Rの2つのコピーZから、
それを原点0以外のところ全部くっつけたWへの写像fで
Zの閉集合[0,1]×{-1,1}を移した先の集合は・・・
閉集合ですか？
(引用終り)

　ここで 上記の Zの閉集合[0,1]×{-1,1} を除いた 補集合は？
[n,-n]に対する 閉区間[0,1]の補集合を使うと
[n,1)x{1}、(0,-n]x{1}
[n,1)x{-1}、(0,-n]x{-1}
と書ける
４つの各部分は 多分開だね

さて ここには 原点0は含まれない
だから 上記の東北大の同値で 二つずつくっつければよい
４つの部分が２つに落ちる
この各部分は また開じゃね？
開の二つの和集合もまた 開じゃね？
もし開ならば 開の補集合は 閉じゃね？ ■（＾＾

追記
ハウスドルフか否かと
閉か開かとを 混同してないか？