>>35 補足
>・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
>　↓
>・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」

参考追加：
下記 数理情報・工学系のための数学教程　基礎編2 線形代数
朝倉政典・落合　理・北山貴裕・田口雄一郎 共著
培風館 2025-04-04
章末問題略解 問題2.5 が参考 になる
問題2.5は 多分
『n次正方行列Aが正則であることと Aが零因子でないことは 同値』だろう
略解の後半 P13
”対偶命題としてAが正則でないならばn次正方行列Aが零因子であることを示す”
の証明が いまのズバリです （＾＾

(参考)
http://www.baifukan.co.jp/cgi-bin/db/baifu_new_search.pl?ISBN=4-563-00623-8
数理情報・工学系のための数学教程　基礎編2
線形代数
朝倉政典・落合　理・北山貴裕・田口雄一郎 共著
培風館
2025-04-04
(主要目次)
1. 平面や空間の線形変換
2. 行列
3. 行列式
4. ベクトル空間
5. 線形写像
6. 行列の標準化
7. 内積と内積空間
8. 対称行列と2次形式
http://www.baifukan.co.jp/shoseki/data/00623_hosoku.html
Web資料
http://www.baifukan.co.jp/shoseki/data/LINK_FILE/00623_1%E7%AF%80%E6%9C%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C%E8%A7%A3%E7%AD%94250407.pdf
数理情報・工学系のための数学教程 基礎編2 線形代数
１．章末問題略解（詳しい版）
より
P12
問題2.5
3. n次正方行列Aが正則であるとする.
Aが零因子でないことを背理法を示すために,Aが零因子であるとする.
もしAB=Oとなる零行列でないn次正方行列Bが存在したとすると,
両辺に逆行列A−1を左から掛けると,左辺はA−1(AB)=(A−1A)B=EB=0,右辺はA−1O=O
よって,等式B=Oを得るが これはBが零行列でないことに矛盾.
BA=Oとなる零行列でないn次正方行列Bが存在したとするときも同様に矛盾が起こるので,Aは零因子ではない.

P13
n次正方行列Aが零因子でないならば正則であることを示すために,
対偶命題としてAが正則でないならばn次正方行列Aが零因子であることを示す.
Aが正則でないならば命題2.5.4 より, rankA<nである.
よって, いくつかの基本行列A1,...,Ak を掛けることでAk···A1Aのn行目の成分は全て0となる.
今, B′ を1列目からn−1目までは全て0であり,n列目は零ベクトルでないようなn次正方行列とすると,
B=B′Ak···A1とおくと
BA=B′Ak···A1A=Oとなる.
今, A1,...,Ak の逆行列A−1 1 ,...,A−1 k をBに右から順に掛けることで,
BA−1 1 ···A−1 k =B′Ak···A1A−1 1 ···A−1 k =B′ となり,
B′は零行列でないのでBも零行列でない.　
よって,Aは零因子であることが示された.