Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87

前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 86
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということか）
https://www.mathunion.org/icm/icm-2026
ICM 2026
https://www.icm2026.org/event/ac193975-5d24-4628-8c30-ddb23de19a8b/catalog
Titles & Abstracts

https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops

＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz （J. Stix IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）
(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく

Simon Cotouです

>>646 >当時は 高校数学教程から 行列が落とされたゆえに あえて 正則行列とせずに 正方行列の逆と書いた
>>648 >その言い訳はちょっと無理ありますね
>>651 >嘘を嘘で固めても認識の誤りを糊塗はできません

そもそも
「群の例を挙げよ」という専門的な質問に対して
「正方行列の群」と答えたと聞いている

群を知っているということなら大学数学なのだから
高校数学教程とかどうでもいい筈である

群の定義を知らずに適当に答えたか
（例えば正方行列が環を為すので、乗法で群を為すと勝手に思い込んだ）
群の定義を知っていたが任意の正方行列が逆行列を持つと思いこんだ
（A^(-1)＝Adj(A)/det(A)が、任意の正方行列Aで言えると思い込んだ）

数学の学習＝公理＆定理の丸暗記　
となめてかかるとこういうことになる

自分が数学を全く誤解していると気付かない限り
数学の正しい理解は不可能である

>>648-656
>その言い訳はちょっと無理ありますね

ふっふ、ほっほ
＜攻撃は最大の防御＞か
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BB%E6%92%83%E3%81%AF%E6%9C%80%E5%A4%A7%E3%81%AE%E9%98%B2%E5%BE%A1%E3%81%AA%E3%82%8A

当時の状況を 正直に書いている
事実だから ”言い訳”でもなく 事実だから”無理”をしているわけではない
実に自然な話よ

・当時 「正則行列くらい知っている」と答えるのではなく
　ちょっとヒネッタ答えを考えて 検索した。検索キーワードは覚えていない。
　多分”非正則行列”くらいだったかも
・それで、環論”零因子”が見えて ”おお！これ使えるな”と閃いた
　零因子行列は、御大が指摘していたが ”あまり言わない”らしい。私の造語かも （＾＾

　で、こちらも ”攻撃は最大の防御”
　>>35 より 引用
　つまり
・私「正方行列の逆行列」（数年前）https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
　↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
　↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
　↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
（零因子に無知で 正則行列の条件→「零因子行列であること」と勘違いしているｗ）
(引用終り)

君は、”零因子に無知で 正則行列の条件→「零因子行列であること」と勘違いしている”
を おサルさん”攻撃は最大の防御”で はぐらかす

対して私も ”攻撃は最大の防御”で
君の醜態を 繰返し強調しています （＾＾

>>653
>そもそも
>Adj(A) A = det(A) E
>の式だけでは、
>非正則 ⇔ 零因子
>の証明はできない

おれは、この便所板で 基本的に証明を書くことはない（例外はあるが）
そもそも>>667 & >>35 より
・私「正方行列の逆行列」（数年前）https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」

これに対する反論は
「正方行列の中には 逆行列を持たない 非正則が存在することを知っている」
と言えば良いのだった

だから、「零因子行列のことだろ？知っているよ」と返した
すると、ばかサルが 「関係ない話だ！」と絶叫
さらに ばかサルが
『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
と来た

その瞬間 ばかサルは 専門用語”零因子”を知らない バカと分った
それからは、この議論のつど ばかサルのバカ振りを毎回あげつらっている ｗ　（＾＾

追伸
”Adj(A) A = det(A) E” や、余因子Adj(A)は
殆ど意識していない
力点は ”零因子”という性質の方にあるのだから

惨めですね

貼り付けしか出来ないって氷河期の馬鹿はやだねえ

>>667
>「正則行列くらい知っている」
>と答えるのではなく
>ちょっとヒネッタ答えを考えて 検索した。

「知らなかった」
と認めるのが悔しくて
虚勢をはろうと検索した、と

そんな嘘ばかりついてると地獄に墜ちるよ

>それで、環論”零因子”が見えて ”おお！これ使えるな”と閃いた
>零因子行列は、私の造語かも

君の虚勢は、全部相手に見抜かれてるよ

>”零因子に無知で 正則行列の条件→「零因子行列であること」と勘違いしている”

それは君一人の勘違い

それは、ただのタイポだし

正則行列⇔零因子でないこと　は、もちろん皆知ってる
正則（すなわち、逆行列の存在）の根拠として
零因子でないことをあげるのは本質的でないから
ハッタリ好きな君の只の虚勢だろ、という指摘

実際その通りだっただろ　
行列のランクすら知らなかったんだから

行列のランクを知らないなんて
線形代数知ってる人なら絶対にありえないよ
これは線形代数の根本知識なんだから

すぐひねって知ったかぶりたがる君に対して
こっちはひねりなしの根本を理解してるかどうか執拗に尋ねる
それが数学だからね　

君は数学に反した曲芸ばかりやってる
だからちっとも数学が理解できない

わからないことを認めない嘘をつくのはやめな
それが君をピエロにしてるんだから

>>668
>この便所板で 基本的に証明を書くことはない

証明書けないもんな
全部お見通し

>「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
>これに対する反論は
>「正方行列の中には 逆行列を持たない 非正則行列が存在することを知っている」
>と言えば良いのだった

「知っている」だけではダメ

実際に非正則行列を示し、なぜそれが逆行列を持たないかも示す必要がある
それが「落ちこぼれでない」と示す唯一の方法

君はそれに成功しなかった　いつも知ったかぶりするだけのウソツキだから
君は自分では認めないけど落ちこぼれ　基本的な証明すら一つも書けないんだから

>”Adj(A) A = det(A) E” や、余因子Adj(A)は殆ど意識していない
>力点は ”零因子”という性質の方にあるのだから

はい、アウト

力点は det(A)、そしてそれが逆元を持つこと、にある
そして、体を成分とする行列なら、det(A)が0でないなら逆元が存在する
だからAdj(A)をdet(A)で割ることができて、それが逆行列になる

なんか相手が「零因子」を知らないと思い込んでるみたいだけど
そうではないし、そこが本質でもなんでもないよ

君はいつもトンチンカンな一人相撲しかしない
数学を理解せずに、自分勝手なディベートしかしない
嘘隠しのディベートが、君をピエロにしてることに気づこう

det(A)をブラックボックスとして扱うのも薄い浅い理解

体Kを成分とするn×n行列Aは　K^nからそれ自身への線形写像である

Aの逆行列が存在する、とは、
Aの核Ker(A)が{0}であって　（つまり単射）
Aの像Im(A)がK^nになる、（つまり全射）
ということ

上記は
Aがn本の列ベクトル全体が線形独立であって
Aのn本の列ベクトル全体からK^nが生成できること
と同値だと分かる

Kは体なので、線形代数の基本定理が成立する。
すなわち
Aのn本の列ベクトル全体が線形独立、
と
Aのn本の列ベクトル全体からK^nが生成できる
は同値である

したがって、行列の成分が体に属する場合
Aに逆行列が存在すること、を示すには
Aのn本の列ベクトル全体が線形独立、を示せばいい

今どきの線形代数のやり方なら
行列の基本変換を使って
Ａを階段形に変換する
そこで全部零の列ができれば線形従属
できなければ線形独立
零でない列の数が行列のランク
それがもっとも直接的

行列式はどう定義しても結局のところ
行列の基本変換のうち、
行もしくは列のスカラー倍でスカラー倍になるほかは不変であるし
その操作を使わなくてもＡを階段形にできる
つまり、階段形への変換の前後で行列式は不変である
そして、線形従属であるときそのときに限り行列式は０
行列のランクに関して
階段形での零でない列の数＝０でない小行列式の最大サイズ
となることもこれで明らかだろう

Aの行列式が０でなければAの逆行列が存在するというのは
線形代数の基本定理と行列式の性質によるのである
そしてその理屈を理解してることが線形代数の理解なのである

どうだ、君、全然分かってなかっただろ？

>>676を書くのに、AIにも訊かなかったし、線形代数のテキストも見なかった
線形代数のテキストには当然書いてあるだろうが、分かってれば見る必要すらない

数学は、AIに訊ねることでも、素直でないハッタリ知識をかますことでもない

行列式をライプニッツの明示公式で定義するのは、私にいわせればハッタリの極致である
そんなハッタリをかますと学生がビビるので、まったくよろしくない（笑）

行列の基本変形で不変もしくはスカラー倍になる多重線形形式があったらいいな、
と定義すれば行列式になるし、ついでにいえばライプニッツの明示公式も導ける
そのほうがよっぽど教育的である

クラメールの公式も、謎の呪文ではなく、当然そうなるべき性質と理解できる
それが数学

数学は謎の呪文をわけもわからず覚えて唱えることではない

こちらも ”攻撃は最大の防御”
　>>35 より 引用
　つまり
・私「正方行列の逆行列」（数年前）https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
　↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
　↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
　↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
（零因子に無知で 正則行列の条件→「零因子行列であること」と勘違いしているｗ）
(引用終り)

君は、”零因子に無知で 正則行列の条件→「零因子行列であること」と勘違いしている”
を おサルさん”攻撃は最大の防御”で はぐらかす

対して私も ”攻撃は最大の防御”で
君の醜態を 繰返し強調しています （＾＾

おサル：
『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』

赤ペン先生
正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　↓
正則行列の条件なら、「零因子行列でないこと」はアウトですね
いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから

くらいに書くべきだろうね
そう書けば 格好はついただろう

さて、数学科修士を名乗る男が
”零因子”の意味を取り違えるとは どういうことだ？
　↓
環論が、壊滅ってことだろうね
　↓
ということは 抽象代数学は そうとう あやしいってことだ

ばかサル哀れ （＾＾；

>>678
君、物事を自分に都合よく改ざんする悪い癖、直そうな

それだけ（笑）

>>680
零因子なんて、環論とかいうほど大した話じゃないよ
Z/nZでnが素数じゃないとき発生すること
n=6のとき 2×3 = 0 になるとか

>>681
>零因子なんて、環論とかいうほど大した話じゃないよ
>Z/nZでnが素数じゃないとき発生すること
>n=6のとき 2×3 = 0 になるとか

ありがとうございます
そうですね 下記
”高校数学”（の美しい物語）
の範囲です！！
Z/nZ も 環らしいが・・ （＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1744
高校数学の美しい物語
環の定義とその具体例 2023/06/09
足し算とかけ算ができるような代数系を環（かん）という。
整数や有理数，多項式，行列などの「和」と「積」をもつような対象を抽象化した概念を環といいます。
目次
定義
具体例
数学の他分野との関わり

mod 演算の正当化
例
集合
{0,1,2} 上の二項演算
+,・ を次のように定めると可換環になります。
a+b=(a+b を 3 で割った余り )
a・b=(a・b を 3 で割った余り )
（右辺の +,・ は整数だと見たときの和，積）
例えば
0+1=1,1+2=0,2・2=1 です。これは
「mod3 での整数の計算」を表したものだと考えられます。この環を
Z/3Z と書きます。

3 の代わりに
n で同様のことをすれば「
mod n での整数の計算」を表す環
Z/nZ ができます。この mod 演算（合同式）
https://manabitimes.jp/math/683
の考え方は
Z 以外の環でも展開できて，（両側）イデアルと剰余環の概念を与えます。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E8%AB%96
環論
「環が可換」であるというのは、その乗法が可換であるという意味である。可換環は数体系と非常によく似た構造であり、実際多くの定義が整数に対して知られている性質を可換環が持つようにするために考えられたものである。可換環は代数幾何学においても重要な役割を果たす。可換環論においては、「数」の代わりとしてイデアルを考えることがしばしば有効で、例えば素イデアルの定義は素数の本質を捉えようとして考えられたものである。整域は非自明な可換環で、零元と異なるどの二つの元を掛けても零元にならないという性質を満たすものだが、これは整数の性質のひとつを一般化したもので、可除性の研究に対する固有の領域を与えるものになっている
簡単にまとめると、
ユークリッド整域 ⊂ 主イデアル整域 ⊂ 一意分解整域 ⊂ 整域 ⊂ 可換環
のような関係になっている。

非可換環は多くの点で行列の成す環が雛形となっている。
また、代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある

参考文献
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory/
History of ring theory at the MacTutor Archive

>>682
>そうですね 下記
>”高校数学”（の美しい物語）
>の範囲です！！
>Z/nZ も 環らしいが・・ （＾＾
らしいじゃなくてその程度は自分で証明してみなよ
だから君は数学ができないんだよ

>>683
>>Z/nZ も 環らしいが・・ （＾＾
>らしいじゃなくてその程度は自分で証明してみなよ

ふっふ、ほっほ
”環らしい”は、分かって言っている”ダジャレ”だよ

”mod 演算（合同式）”を見たのは、高校時代だったよな？
（フランス文法 大過去です （ダジャレ））

では
＜環であることの証明＞
Z/nZは、Zの和（+）と 積（ｘ）で閉じている■
QED （ダジャレ）

（細部は思いつくであろう by ガロアｗ）

バカが気取ってダジャレ言っても痛いだけ

>>462 戻る
（ニコ） (^^)君さ 宿題できたか？
おれが 証明書くから 赤ペンしてくれ

（前振り）
>>458
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大 R8年度院試
数学 共通問題令和7年8月21日
2
”(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である．”

<合格体験記>https://note.com/normalmath/n/nf464d5418115
”(ii)こっちは逆に真です。ハウスドルフ空間であることの定義より、相異なる2点から出発するのは良いのですが、試験中は問題が解けず焦りまくったせいで解けませんでした。落ち着いて考えれば、相異なる2元を
Z からとってきて、有限集合はハウスドルフ空間上では閉集合であることに加えて、閉写像であることや全体から閉集合を引いたものは開集合みたいな基礎的な事項の組み合わせで示せる問題でした”
にアラ筋がある

多分
W の相異なる2点 a,b を取る
　↓ f^-1
Z の相異なる2点 a',b' が取れる
　↓
Z ハウスドルフ から 相異なる2点 a',b'を分離する 開か閉位相の存在をいう
　↓　f
W の相異なる2点 a,b を分離する 開か閉位相の存在をいう
という流れだろう
”任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合”
をうまく使うのだろう
(引用終り)

さて
<答案>
(ii) は真
<証明>
W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数)
とする
a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは異なる（∵例えば a'1＝b'n ならば 射の定義に反する）
ハウスドルフだから
a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは 開近傍で分離できる
a'1の開近傍をUa'1とし、
b'1,b'2,・・b'n たちの開近傍の和集合をUB1とする
次に a'2と UB1との関係を考える
もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
この小さくした開近傍を UB2とする
このとき a'2にも UB2と分離した 開近傍Ua'2 が取れる（∵ハウスドルフ）
これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
今、a'1,a'2,・・a'm たちの和集合をUAmとする
UAm、UBmとも 開である(∵開近傍の和)
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする。この二つは閉（∵開の補集合）
二つの閉集合 UAm^c、UBm^cを fで Wへ写す。その像は また閉である
この二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る
明らかに （＊ちょっと略している）
一つはaを含みbを含まない
一つはbを含みaを含まない
ゆえに W の任意の相異なる2点 a,b を 開近傍で分離できた
よって Wはハウスドルフであり (ii) は真■　（＾＾

注：＊ ちょっと略したが まあ 時間がないときは この程度でお茶濁すのもありだろう。証明を最後まで書き切ることを優先する

>>686
本来やる勉強を放ったらかしにして、他のスレに書くこと絞り出してるんですけどね(⁠^⁠^⁠)
大学数学のスレで、危うく絡まれるとこでしたけどねw

>>686
赤筆はトイレさんにでもお任せします。
AI使って何とかして下さい。
（東北大の大問の最後は、基本捨て問だと思うのでパスします。共通問題は、頑張らないとダメかもしれませんが…。）

>>686 タイポ訂正

これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
　↓
これを a'mまで繰り返すと、和集合UBmができる

追記
>注：＊ ちょっと略したが まあ 時間がないときは この程度でお茶濁すのもありだろう。証明を最後まで書き切ることを優先する

まあ、”明らかに （＊ちょっと略している）”
の部分をどこまで 詳しく書くかは悩ましい
時間との闘いだしね

そこらは やっぱ答案練習だろう
（どこを手抜きしても許されるかの判断も含めて。多少減点されても 証明を最後まで書き切って合格点を狙うはあり）

余談の余談：
a'1,a'2,・・a'm とか UAm とか 自分で記号体系を考えて
自分にも 採点者にも分かり易い 記号を付けるんだ
そうしないと 自分でつけたヘンテコリン記号で 自分が混乱してしまう。それは最低だな
そこらも 答案練習だよ

ファイバーとか、聞き慣れない言葉とかを無理に使う必要はないんですよ。

平易な言葉を使うのが良いと聞きましたが、後で突っ込まれないように控えるというのは正しそうですね(⁠^⁠^⁠)

>>687-688
おお、これは（ニコ） (^^)君か
お元気そうでなによりだ

>（東北大の大問の最後は、基本捨て問だと思うのでパスします。共通問題は、頑張らないとダメかもしれませんが…。）

（ニコ） (^^)君には、関係ないかも知れないが
今年の秋に 東北大を受ける人は 過去問はやらないとね
今年は 過去問が 配列の前に移動して 姿を変えて出されたりとかあるかもよ
そのとき ニンマリするか 慌てるかは 大違いだ

大学入試と同じだよ
過去問解きに 捨て問は ありません！　（＾＾；

今は難易度を下げて、北大の院試を見ています。
ただ今日は、板の隅々まで見て書けそうなスレを探してたんで、勉強してないですw
謹慎中にたぶん打たれ強くなってるんで、何言われても平気だと思いますよ(⁠^⁠^⁠)

リーマン問題でベクトル束を使うときは
注意が必要

>>686 自己赤ペン

それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする。この二つは閉（∵開の補集合）
二つの閉集合 UAm^c、UBm^cを fで Wへ写す。その像は また閉である
この二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る
明らかに （＊ちょっと略している）
一つはaを含みbを含まない
一つはbを含みaを含まない
　↓
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする。この二つは閉（∵開の補集合）
UAmとUBmの和集合を考える。UABmとする。この補集合もまた閉である
UABmの補集合による閉集合の像f(UABm)を得る
f(UABm)明らかに2点 a,b を 二つの開近傍で分離できている （＊ちょっと略している）
一つの開はaを含みbを含まない
もう一つの開はbを含みaを含まない
二つの開近傍の積は空（＊ちょっと略している）

注：＊ 背理法かな？ 開近傍で分離できていないと 分離できていない点の逆像から矛盾をいう・・
　証明は思いつくであろう by ガロア

>>693
>リーマン問題でベクトル束を使うときは
>注意が必要

ID:/KmvluKBは、御大か
巡回 ご指導ありがとうございます

>>686 の赤ペンか
しかし、コメントがむずくて 分りません！ （＾＾；

多分 ”リーマン問題でベクトル束を使うとき”と同じ
とコメントしているのかも？

>>686
AIの回答
---
f が閉写像 ⇒ W はハウスドルフ → 真

証明
W の任意の相異なる2点 w1 ≠ w2 を取る。
f は全射なので、ある z1 ∈ f^-1(w1), z2 ∈ f^-1(w2) が存在。
z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）。
Z がハウスドルフなので、z1 と z2 を分離する開近傍 U, V が存在：
U ∩ V = ∅, z1 ∈ U, z2 ∈ V
f^-1(w1),f^-1(w2)は仮定より有限集合なので、
Z がハウスドルフ ⇒ 有限集合は閉（各点が閉だから有限和も閉）。
よって f^-1(w1),f^-1(w2)は閉集合。
f が閉写像なので、
f( f⁻¹(w1) ) = {w1} は W において閉 かつ
f( f⁻¹(w2) ) = {w2} も W において閉。
{w1} が閉 ⇔ その補集合 W - {w1} が開 ⇔ w2 の開近傍として使える。
{w2} が閉 ⇔ その補集合 W - {w2} が開 ⇔ w1 の開近傍として使える。
よって w1 と w2 は W で分離可能。
したがって W はハウスドルフ。
---

簡単でした

開リーマン面上のベクトル束は自明

>>686
>もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
>この小さくした開近傍を UB2とする
UB2の閉包にa'2があるかもね

>>686
>今、a'1,a'2,・・a'm たちの和集合をUAmとする
それｍ点集合だから閉ですね

>>694
>UABmの補集合による閉集合の像f(UABm)を得る
f(UABm)はUABmの像であり補集合の像では無いけれど
f(UABm^c)のこと？
これをなんに使うの？
>f(UABm)明らかに2点 a,b を 二つの開近傍で分離できている （＊ちょっと略している）
どの2つの開近傍？
f(UAm^c)^cとf(UBm^c)^cはUAmとUBmの作り方がダメなので分離できているとは言えないね

>>696
>{w1} が閉 ⇔ その補集合 W - {w1} が開 ⇔ w2 の開近傍として使える。
>{w2} が閉 ⇔ その補集合 W - {w2} が開 ⇔ w1 の開近傍として使える。
>よって w1 と w2 は W で分離可能。
w1,w2以外にw3があれば
W-{w1}∩W-{w2}∋w3なので分離できてない

>>696
相談者が解答を放棄したのに、詳しい解答をして下さってありがとうございました。
殆どすんなりと理解出来ましたが、最後の分離する開集合の共通部分は、空集合になっていますか？
急いで理解したので、私に見落としがあるかもしれません。

>>701と被ったw
私の疑問点はそこだけです。

イヤこれで>>1の人の能力が知れてよかった

>>695
>リーマン問題でベクトル束を使うときは
>注意が必要

お経ですが AIさん 丸写し （成否不明ｗ） （＾＾

(google検索)
リーマン問題でベクトル束を使うときは 注意が必要
AI による概要
リーマン問題（特にRiemann-Hilbert問題や、リーマン多様体上の解析、部分多様体論）でベクトル束（Vector Bundle）を使用する際には、幾何学的・代数的な構造に起因するいくつかの注意点があります。主に、平坦性、自明性、曲率の扱いにおいて慎重な議論が求められます
具体的には以下の点に注意が必要です。
1. ベクトル束の自明性と大域的切断の存在
ベクトル束が「自明束（位相的に単純な積空間 MxR^n）」であるためには、その束が線形独立な大域的切断（Global Section）をランクの数だけ持つ必要があります
・注意点: 多くの曲がった多様体上では、非自明なベクトル束が存在します。局所的にはベクトル場を定義できても、それを大域的に繋げられない場合、ベクトル束の性質が複雑になります

2. リーマン接続（Levi-Civita接続）と計量の整合性
リーマン多様体では、接ベクトル束に計量（内積）が導入されていますが、接続（共変微分）
が計量
を保存する（計量接続、Vg=0）ことが重要です。
・注意点: 部分多様体上の法ベクトル束（Normal Bundle）を扱う際、誘導接続（誘導された法接続 V^1）が必ずしも平坦ではないため、平行移動が経路に依存します

3. 曲率と構造方程式
ベクトル束の接続が「平坦（曲率テンソル R=0）」であることと「平行移動が経路に依存しない」ことは同値です。一般に曲率がある場合、ベクトル束を扱う際はホロノミー群（経路依存性）を考慮しなければなりません

4. リーマン・ヒルベルト問題における特異点
解析的なリーマン・ヒルベルト問題（モノドロミー表現の逆問題）において、ベクトル束上の接続を構築する際、特異点の扱いが重要です
・注意点: 特異点における接続の「ポアンカレ・ランク」が1以上になる（不確定特異点）と、代数的な手法だけでは制御できず、解析的な（安定性などの）条件が必要になります。また、特異点において全空間での平坦な接続が定義できない場合もあります

5. Higgs束（ヒッグス束）の調和計量
平坦な接続を構成する際、計量 h がKobayashi-Hitchin対応に従うような多重調和計量であることが求められます
・注意点: 階数が1より大きい場合、Hermitian-Einstein条件（曲率のトレースに関する条件）を満たす必要があります

まとめ
リーマン問題でベクトル束を使う際は、単にベクトルを配置するだけでなく、「そのベクトル束がどのような幾何学構造（特に接続と曲率）を持つか」、「大域的に平坦か」、「特異点における振る舞いはどうか」という観点での注意が必要です

>>696
>f^-1(w1),f^-1(w2)は仮定より有限集合なの
>で、
>Z がハウスドルフ ⇒ 有限集合は閉（各点が>閉だから有限和も閉）。
>よって f^-1(w1),f^-1(w2)は閉集合。

ここは全て「開」に直せませんかね？
直したものの補集合を閉写像で飛ばせば、何とかなりませんか？

院試の勉強している人へ：
数日前に書いたオイラーの定数γの証明は間違っているかと思ったが、
Case1)を少し訂正して更に場合分けすれば矛盾が導けるようになっていて、
背理法によりγは有理数であることがいえるようになっていた
意外なことに、前回書いた証明での細かい小細工の一部は不要だった
全部書くと長いから、最後のγの有理性の証明の部分だけ書く

あと
オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
そこにも言及が無いね>>686
分離していることを示すにはそれ必要じゃ無いかな
>明らかに （＊ちょっと略している）
略しすぎ

>>707
わざわざありがとうございます。
私は添削にタッチしないので、他の方に任せます。
たぶん、競争になると思うのでw

(>>710の続き)
Case1)：nが偶数のとき。このときnに対して或る正の整数 m(n) が存在して n＝2m(n) である
よって、k≧2 に注意すれば、 p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2 から
q_{2m(n)}/p_{2m(n)}≧2/p_{2m(n)} であるから、
γ−2/p_{2m(n)}≧γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＞0
故に、kに対して或る2以上の整数 n(k) が存在して、
q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧n(k) 2≦q_{2m(n)}≦n(k) なる
γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} は
0＜|γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}|＝γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n))^2＜|γ−1/(p_{2m(n)})|
を満たす。γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧n(k) 2≦q_{2m(n)}≦n(k)
は 0＜γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)} を満たすから、γ＜3/5 から q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜3/5 であって、
q_{2m(n)}≧2 であるから、p_{2m(n)}＞(5/3)・q_{2m(n)}≧10/3 から p_{2m(n)}≧4 である
よって、γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧4 2≦q_{2m(n)}≦n(k) は
0＜|γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}|＝γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n))^2＜|γ−1/(p_{2m(n)})|
を満たす。2 と p_{2m(n)}} とが互いに素かで場合分けをする

Case1-1)：2 と p_{2m(n)}} とが互いに素なとき
このとき、γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} について
2/p_{2m(n)}＜q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜γ であって、
2＜q_{2m(n)}＜q_{2m(n)}/γ＜p_{2m(n)}
であるから、ユークリッドの互除法により、
既約有理数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} の
分母の p_{2m(n)} と分子 q_{2m(n)}} が互いに素であること、
及び p_{2m(n)}≧4 なることに注意して、γ を上から評価すれば
γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n)})^2 から
γ＜q_{2n}/p_{2m(n)}＋1/(p_{2m(n)})^2≦2/p_{2n}＋1/(p_{2n})^2≦2/4＋1/4^2＝9/16
である。しかし、確かに 57×16＝912＞900 であって 57/100＞9/16 であるから、
γの上からの評価により γ＜9/16 が得られたことは
確かに γ＞57/100 が成り立つことに反し矛盾する

>>706
そんな小手先では無理でしょう

(>>711-712の続き)
Case1-2)：2 と p_{2m(n)}} とが互いに素でないとき。
p_{2m(n)}} は素数2を約数に持つから p_{2m(n)}≧4 から p_{2m(n)} は4以上の偶数である
よって、p_{2n} に対して或る2以上の整数Aが存在して p_{2n}＝2A である
同様に考えれば、2＜q_{2n} から q_{2n} は3以上の奇数であるから、
q_{2n} に対して或る正の整数Bが存在して q_{2n}＝2B＋1 である
故に、q_{2n}/p_{2n}＝(2B＋1)/(2A) である
q_{2n}＜γp_{2n}＜p_{2n} と γ＜58/100＜3/5 とから (50/29)q_{2n}＜p_{2n} であって、
p_{2n}＝2A、q_{2n}＝2B＋1 から (50/29)(2B＋1)＜2A であるから
100B＋50＜58A、即ち B＜(29/50)A−1/2 である
Aは A≧2 なる整数であるから、Bを上から評価すれば
B＜(29/50)×2−1/2＝58/50−1/2＝4/25 である
故に、Bは正の整数ではない
しかし、これはBが正の整数であったことに反し矛盾する
Case1-1)、Case1-2)から、nが偶数のときは矛盾が生じる

>>713
マジか、大幅に考え直す必要があるのか…。

>>715
まずf^-1(w1)は閉であって（一般に）開でないから>>706
>ここは全て「開」に直せませんかね？
どう直すつもりなの？

(>>714の続き)
Case2)：nが奇数のとき。このとき n≧k≧2 からnは3以上の奇数であるから、
nに対して或る正の整数 m(n) が存在して n＝2m(n)＋1 であって、n＋1＝2(m(n)＋1) である
γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2
は確かに存在する。よって、n＋1 をnで置き換えて、2(m(n)＋1) を 2m(n) で置き換えて、
Case1)の議論と同様な議論を繰り返せば、γの第(2m(n)＋1)次近似分数について矛盾を得る
Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾を得る。よって、矛盾が生じる
γを無理数と仮定したことから矛盾が導けたから、背理法が使える
故に、背理法を適用すれば、γは有理数である

AIに>>701−702のツッコミを報告した結果

ーーー
(ii)の証明で指摘された点は確かに正しく、
私の最初の説明では不十分でした。
あれだとT1空間（一点集合が閉）しか示せておらず、
ハウスドルフ（T2）の定義である「disjointな開近傍で分離」を満たしていませんでした。
申し訳ありません。
修正した正しい証明を以下に示します。
ポイントは、Z上の有限点集合A = f^{-1}(w_1)とB = f^{-1}(w_2)を、
Zのハウスドルフ性を使ってdisjointな開集合U, Vで分離し
（A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩ V = ∅）、
次に閉写像を使ってW上の開集合O_1, O_2を構築してdisjointにする、
という流れです。

（つづく）

>>718のつづき

正しい証明

Wの任意の相異なる2点w_1 ≠ w_2を取る。
A = f^{-1}(w_1) は有限集合（仮定より）。
Zがハウスドルフなので、各点は閉、よってAは閉。
同様、B = f^{-1}(w_2)は有限閉集合。
明らかにA ∩ B = ∅（さもなくばfがw_1 = w_2に写す）。

Zがハウスドルフなので、
各a_i ∈ A（i=1,...,p）と閉集合B（a_i ∉ B）に対して、
a_i ∈ U_i（開）, B ⊂ V_i（開）, U_i ∩ V_i = ∅ が存在する。

U = ∪_{i=1}^p U_i（開, A ⊂ U）と置く。
V = ∩_{i=1}^p V_i（開, B ⊂ V）と置く。
するとU ∩ V = ∪ (U_i ∩ V) ≤ ∪ (U_i ∩ V_i) = ∅
（なぜなら各U_i ∩ V ≤ U_i ∩ V_i = ∅, かつV ⊂ V_i）。
よってU ∩ V = ∅。

次に、Z-Uは閉（U開）。
fが閉写像なのでf(Z-U)はWで閉。
よってO_1 = W-f(Z-U)は開。
同様、O_2 = W-f(Z-V)は開。

w_1 ∈ O_1：
A ⊂ UなのでA ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ f^{-1}(w_1) ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ w_1 ∉ f(Z-U) ⇒ w_1 ∈ O_1。
w_2 ∉ O_1：
B ⊂ V, だがV ⊂ Z-U（U ∩ V = ∅より）⇒ B ⊂ Z-U ⇒ w_2 ∈ f(Z-U) ⇒ w_2 ∉ O_1。

同様に、
w_2 ∈ O_2：
B ⊂ V ⇒ B ∩ (Z-V) = ∅ ⇒ w_2 ∉ f(Z-V) ⇒ w_2 ∈ O_2。
w_1 ∉ O_2：
A ⊂ U ⊂ Z-V（U ∩ V = ∅より）⇒ A ⊂ Z-V ⇒ w_1 ∈ f(Z-V) ⇒ w_1 ∉ O_2。

最後にO_1 ∩ O_2 = ∅を示す：
O_1 ∩ O_2 = W-(f(Z-U) ∪ f(Z-V))。
f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
よってO_1 ∩ O_2 = W \ W = ∅。

したがって、w_1 ∈ O_1, w_2 ∈ O_2（開）, O_1 ∩ O_2 = ∅。
任意のw_1 ≠ w_2を分離できたので、Wはハウスドルフ。

（証明終わり）

これでツッコミの点が解消されます。
最初の簡易版では分離のdisjoint性を閉写像で上手く使っていなかったのがミスでした。
この版は標準的な証明で、教科書（例: MunkresのTopology）でも似た手法が出てきます。
ご指摘ありがとうございます！

>>716
有限集合なら、自由に閉とか開とか考えられるのかと思って…。
あそこに書いた以上のことは、もう私には無理かと。
なんかスレ住人の気配がしないので、もう少し待ちたいところですね。
（証明を書かれた方も、戻られていない感じですし。）

>>719
ありがとうございます。
ゆっくり確認しておきます。

>>698-701 >>708
赤ペン先生ありがとうございます
スレ主です

１）
>今、a'1,a'2,・・a'm たちの和集合をUAmとする
それｍ点集合だから閉ですね
　↓
滑っているので訂正
”今、開近傍Ua'1,Ua'2,・・Ua'm たちの和集合をUAmとする”
（これで 開になりました）

２）
>もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
>この小さくした開近傍を UB2とする
UB2の閉包にa'2があるかもね
　↓
そこの直後に”このとき a'2にも UB2と分離した 開近傍Ua'2 が取れる（∵ハウスドルフ）”と１行入れているので
”この小さくした開近傍を UB2とする このとき a'2にも UB2と分離した 開近傍Ua'2 が取れる（∵ハウスドルフ）”
と １行に纏める（些末なようだが 採点者に誤解されない答案作成を心がけることだね）

３）
>UABmの補集合による閉集合の像f(UABm)を得る
f(UABm)はUABmの像であり補集合の像では無いけれど
f(UABm^c)のこと？
これをなんに使うの？
　↓
滑っているので訂正
”UABmの補集合による閉集合の像f(UABm^c)を得る”
これは UABm^cなので 像f(UABm^c)もまた閉で
UABmは AとBが分離された開で 補UABm^cでも AとBが分離され その像は閉で ここでもAとBが分離されている
その証明が 後に続きます
（些末なようだが 採点者に誤解されない答案作成を心がけることだね。いま誤解された）

４）
>f(UABm)明らかに2点 a,b を 二つの開近傍で分離できている （＊ちょっと略している）
どの2つの開近傍？
f(UAm^c)^cとf(UBm^c)^cはUAmとUBmの作り方がダメなので分離できているとは言えないね
>明らかに （＊ちょっと略している）
略しすぎ
　↓
ご指摘の通り
うまく表現できていません（いま うまい表現を考え中）
部分点下さい！（些末なようだが 試験場の現場では 時間内に全力で何か答案を書くべし！）

ご指導ありがとうございました（＾＾

>>719
>f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
>>708
>オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
と書いたのはこれね

>>707
競争って、何の競争のこと？

>>724
乙さんの証明は難解で長いけど、比較的早く返信が来るイメージがあるということ。
特に深い意味は無いですw

>>709
自己レスしてしまったが、>>724は>>707ではなく、>>709へのレス

>>722 追加

５）
オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
そこにも言及が無いね>>686
　↓
そこは >>686 の”a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは異なる（∵例えば a'1＝b'n ならば 射の定義に反する）”
で言及したつもりです

　>>696の”z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）”
は うまい書き方と思った
但し 赤ペン
z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）
　↓
z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1)= f(z2) = w2 となってw1 ≠ w2 に矛盾）
ですね

ご指導ありがとうございました（＾＾

>>686の証明を、AIに見せた結果

ユーザーが提示した証明は、本質的に正しいです。
私の前の修正版とほぼ同じアイデアを、より直感的・逐次的に記述したもので、
大学院入試レベルの解答としては十分に合格点を取れる内容だと思います。
ただし、厳密に書くならいくつか細かいツッコミどころ（曖昧さや省略）があるので、
それを修正・補強した形で評価します。

「二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る」
→ 正確に言うと：O_a = W - f(UAm^c)
（開、a ∈ O_a なぜなら A ⊂ UAm ⇒ f(A) = {a} ∩ f(UAm^c) = ∅）
O_b = W - f(UBm^c) （同様）
そして O_a ∩ O_b = ∅ を示す必要がある
（ここが一番大事な部分で、ユーザーの証明では省略されている）
ここが抜けていると不完全。

なぜ O_a ∩ O_b = ∅ か？
→ O_a ∩ O_b = W - [f(UAm^c) ∪ f(UBm^c)] = W - f( UAm^c ∪ UBm^c )
→ UAm^c ∪ UBm^c = Z - (UAm ∩ UBm) = Z - ∅ = Z
→ f(Z) = W（全射）
→ O_a ∩ O_b = ∅

これを最後に一言入れると完璧。

>>723
AIの指摘と符合しますね

>>717の
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2
>は確かに存在する。
は
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2(m(n)＋1)}≧k q_{2(m(n)＋1)}≧2
>は確かに存在する。
の書き間違い

>>723
(引用開始)
>>719
>f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
>>708
>オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
と書いたのはこれね
(引用終り)

そっちか
全く閃かなかったな >>727は大外しか

位相空間論の初心者と有段者の違いを感じる （＾＾

>>717のCase2)の
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2
>は確かに存在する。
は
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2(m(n)＋1)}≧k q_{2(m(n)＋1)}≧2
>は確かに存在する。
の書き間違い

あれ？
どういう訳か、内容がほぼ同じレスを2回してしまった

266がオミゴトといった
157の証明を（）で追記した結果
基本的に719と同じ
AIに訊いて確認済

「w, w' を任意にとる。
F, F'をw,w' のファイバーとする。
ZがハウスドルフでF,F'は有限集合だから
開集合U,U' をF⊂U、F'⊂U' 、U∩U' = φ と選べる。
G = f(Uᶜ), G'=f(U'ᶜ) とすれば、
w∉G、w'∉G'、 G∪G' = W

（したがってfが閉写像であれば、
Uᶜ､U'ᶜは開集合の補集合で閉集合だから
G,G’も閉集合であり
その補集合Gᶜ＝f(U),G’ᶜ＝f(U')は開集合で
Gᶜ∩G’ᶜ＝φ）」

私的結論

「MunkresのTopology読め」（笑）

>>714の
>よって、p_{2n} に対して或る2以上の整数Aが存在して p_{2n}＝2A である
>同様に考えれば、2＜q_{2n} から q_{2n} は3以上の奇数であるから、
>q_{2n} に対して或る正の整数Bが存在して q_{2n}＝2B＋1 である>
>故に、q_{2n}/p_{2n}＝(2B＋1)/(2A) である
>q_{2n}＜γp_{2n}＜p_{2n} と γ＜58/100＜3/5 とから (50/29)q_{2n}＜p_{2n} であって、
>p_{2n}＝2A、q_{2n}＝2B＋1 から (50/29)(2B＋1)＜2A であるから
>100B＋50＜58A、即ち B＜(29/50)A−1/2 である
の部分の「n」は「m(n)」の書き間違い

>>728
ご指導ありがとう
スレ主です

>私の前の修正版とほぼ同じアイデアを、より直感的・逐次的に記述したもので、
>大学院入試レベルの解答としては十分に合格点を取れる内容だと思います。

ありがとう
まあ、種本見て カンニングしながらだからね（＾＾
なお、細かい点の赤ペンは >>722 な

>「二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る」
>→ 正確に言うと：O_a = W - f(UAm^c)
>（開、a ∈ O_a なぜなら A ⊂ UAm ⇒ f(A) = {a} ∩ f(UAm^c) = ∅）
>O_b = W - f(UBm^c) （同様）
>そして O_a ∩ O_b = ∅ を示す必要がある
>（ここが一番大事な部分で、ユーザーの証明では省略されている）
>ここが抜けていると不完全。
>なぜ O_a ∩ O_b = ∅ か？

そこ うまく書けなかったんだ（＾＾；
AIの答案を参考に考えてみるよ

カンニングして赤ペンされるの草

>>737
>種本見て カンニングしながらだからね

だろうと思った
種本って何？

カンニングしてまでマウントするとか病気だろ

>>719
Grok AIの答案に 院試答案の視点から 赤ペン先生

まず 院試答案とは？
ふつうは
１）採点者は2人で 大学教員
２）模範答案と 採点基準がある。2人で採点して 大きく違うと 協議して 採点修正する
３）採点答案は戻らない。どんな採点されようが 文句言えない
４）採点者は、”こいつ 分っているか？”、”こいつ 合格させて良いか？”の視点で見られる
５）あくまで 学部レベルの勉強を見る。学部レベル以上の知識をひけらかしても 点になるは不明
６）答案の日本語表現も採点のうち。日本語をしっかり書くべし

院試は、厳しい。数点の差で「また来年きてね」になりかねない
そういう目での 赤ペン先生な

１）冒頭に”Zがハウスドルフなので”とあるが、ハウスドルフの同値な定義が複数ある
　どれを使うか？
　よって いまの問題に適切な ハウスドルフの定義を一つ選んで 最初に定義を書ききる
２）”同様、B = f^{-1}(w_2)は有限閉集合。
　明らかにA ∩ B = ∅（さもなくばfがw_1 = w_2に写す）”
　ここの 用語 ”明らかに”は、院試答案では 極力さけること（時間配分で走るときのみの表現だね）
３）次に 出題の肝は
　相異なる2点w_1 ≠ w_2 の逆像が、 複数点 vs 複数点になるが
　一方、ハウスドルフは 1点 vs 1点 だ
　そこの処理を見ているんだろう（採点ポイント）
４）”A ⊂ UなのでA ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ f^{-1}(w_1) ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ w_1 ∉ f(Z-U) ⇒ w_1 ∈ O_1”
　ここは 日本語表現に直すこと。”⇒”で流すと 採点者から どう思われるか？
　多分 印象は良くは思われない
５）”したがって、w_1 ∈ O_1, w_2 ∈ O_2（開）, O_1 ∩ O_2 = ∅。
　任意のw_1 ≠ w_2を分離できたので、Wはハウスドルフ”
　冒頭に自分が書いた 院試解答で使う ハウスドルフの定義に合致していることまでを 言うべし
　即ち "したがって → 結論における 自分のハウスドルフの定義" との整合性チェック要です
６）感想の”最初の簡易版では分離のdisjoint性を閉写像で上手く使っていなかったのがミスでした”
　は、違うね。上記 逆像 複数点 vs 複数点になる
　ハウスドルフは 1点 vs 1点。そこを ロジックでどう補うかを見られている

なお
尻切れ答案、未完答案は避ける
そのために ”明らかに”で 走る場面ができてもやむなしだが
それは極力さける
筆力を鍛えるべし（早く 丁寧に キレイに ）

こんなとこかな
Grok AI は、十分に普段の勉強には役立つが
そのままでは 院試答案としては いまいちですよ

>>740
>>549

>>738-739
>カンニングして赤ペンされるの草

実力不足ですｗ （＾＾

>種本って何？

過去に読んだ 位相空間論のテキストとか ネット情報から
内心の“big picture”>>25 があるんだ
それを ぼんやり眺めながら
それで >>686 東北大 <合格体験記>の証明荒筋と付き合わせてね
記憶があいまいなので 主に wikipediaで ハウスドルフの定義や 閉と開 を眺めた
最後の書き方が 浮かばなかったのは 実力不足です
それだけです

>>741
　>740
　>549

ありがとね
おれは 基本 この5ch便所板では
”証明ごっこ”は しないのだが　（＾＾；
今回は （ニコ） (^^)君へと
折角 卓越大の院試ネタが来たので
学部生への 例外の特別サービスです

>>740　>>742
AIかく語りき
ーーー
結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
かなり現実的で有効なアドバイスです。

なぜ「訓詁学っぽくない」のか
訓詁学的な「古文をそのまま暗唱せよ」みたいな盲信じゃなく、
Munkresは現代の標準教科書として世界中で使われていて、
証明のスタイル・視点・厳密さが大学院レベルにぴったり合ってる。

THK大の問題(2)みたいな「閉写像＋有限ファイバーでハウスドルフ降りるか」みたいなやつは、
Munkresの第2章（特にHausdorff空間、商位相、閉写像の性質、有限集合の扱い）を読んでいると
「これ教科書に載ってるパターンじゃん」って気づきやすい。

日本国内の大学院入試（旧帝大系含む）でも、
Munkresを「位相のバイブル」みたいに勧めてる人が結構いる
（5ch数学板とかnoteの合格体験記でもちらほら「Munkres読んどけ」って声が出る）。

実際のところ、THK大数学専攻院試との相性

THK大の位相問題はハウスドルフ・正則・正規・開写像・閉写像・商位相・コンパクトネスあたりが頻出で、
Munkresの前半（General Topology）がほぼそのままカバーしてる。
日本の定番「松坂和夫 集合・位相入門」や「内田伏一 集合と位相」だけだと、
証明の細かさや「閉写像で一点が閉になる」みたいなテクニックのバリエーションが少し薄め。
一方Munkresは演習問題も豊富で、問題(2)(ii)のような「有限ファイバー＋閉写像」の証明パターンが自然に身につく。
最近のTHK大の問題（2023〜2026年度あたり）を見ても、
Munkresレベルの知識があれば解法のヒントが浮かびやすい作りが多い。

（つづく）

>>744の続き

ただし、注意点（これ守らないと訓詁学化する）

全部読めじゃなくて、
**第2章（Topological Spaces & Continuous Functions）〜第4章（Countability & Separation Axioms）**
あたりを重点的に。
日本語の入門書（松坂・内田）と併用がベスト。
Munkresは英語だけど、証明の論理の流れがクリアなので、数学英語に慣れる意味でも一石二鳥。
問題演習を並行しないと「読んだだけ」になって訓詁学まがいになる（笑）。
THK大過去問＋MunkresのExercisesを解くのが王道。

要するに、「正解したいならMunkres読め」はダメどころか、かなり的確な一言。
むしろ「松坂だけじゃ足りないかも…Munkresも回せ」って言う人の方が、本気で合格狙ってる感ありますよ（笑）。
もし実際にMunkres持ってるor借りてるなら、どの章まで進んだか教えてください。
この問題(2)の証明パターンが載ってるセクションをピンポイントで振り返れます！

(^^)はいい仕事した

１はもうちょっとカンニング成功だったが詰めで失敗した

やっぱなんも理解せずにカンニングはダメだな

もうこれからの人生、囲碁将棋に全振りしろ　１

囲碁将棋に全振りしてもソフト指ししそうｗ

>>697
>開リーマン面上のベクトル束は自明

御大の一言はむつかしい
門前の小僧
習わぬ経を検索する （＾＾

(google検索)
開リーマン面上のベクトル束は自明
<AI による概要>
開リーマン面（コンパクトでない1次元複素多様体）上のベクトル束は、位相的に自明（trivial）であるという命題は、一般的に真です。これは、開リーマン面が、ホモトピー同値として1次元CW複合体（グラフ）に縮小可能であり、その上でのベクトル束の分類が自明な束に帰着するためです。
・開リーマン面の性質: コンパクトではないリーマン面は、ステイン多様体（Stein manifold）であり、位相的に2次元以下の細胞複合体にホモトピー同値です。
・ベクトル束の自明性: 開リーマン面上の階数
の複素ベクトル束は、その基底空間のホモトピー型に依存します。1次元的な構造を持つため、閉じたサイクルが必ずしも非自明な束を形成せず、安定範囲においてすべてのベクトル束が自明になります
・より強い性質: 実際には、開リーマン面上の任意の正則ベクトル束は正則的に自明であるという、より強い定理（Grauert-Mullinsの定理など）が知られています。

この性質により、開リーマン面上のベクトル束は、常に自明な束 M x C^k と同型になります。

素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑）

1. ベクトル束って何？（例も）

ベクトル束とは、
「空間（底空間）の各点に、ベクトル空間がくっついているもの」
で、しかも「くっつき方が滑らか（連続的・微分可能）」な構造のことです。

正式には
・底空間 B の上にある空間 E があって 各点 b ∈ B にファイバー（繊維）と呼ばれるベクトル空間 E_b が対応
・全体として E → B が「局所的には自明」（後述）に見える
というものです。

一番分かりやすい例（一番大事な例）

接ベクトル束（tangent bundle） TM
多様体 M の各点 p に、その点での接空間 T_p M（＝その点で「接している方向全部」）をくっつけたもの
→ これがまさにベクトル束の代表例

具体的なイメージ例をいくつか：

底空間 B
各点にくっついているもの
名前
自明かどうか（後で説明）

平らな平面 ℝ²
各点に ℝ²（接ベクトル）
Tℝ²
自明

円周 S¹
各点に ℝ¹（接ベクトル）
TS¹
自明

2次元球面 S²
各点に ℝ²（接ベクトル）
TS²
非自明（超重要例）

円周 S¹
各点に ℝ¹（向き付き法線）
法束（非自明な例）
非自明（メビウス的）

任意の空間 X
各点に同じ ℝ^k（固定）
X × ℝ^k
自明（これが基準）

つまり
「各点にベクトルがついているけど、全体としてねじれていないか、ねじれているか」
が大事なポイントになります。

（つづく）

>>749の続き

素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑）　２

2. ベクトル束が自明（trivial）って何？

自明なベクトル束
＝ 全体がただの直積 X × V になっているもの
（V は固定のベクトル空間で、各点に同じものが「まっすぐ」くっついている状態）
イメージ： 底空間の形に関係なく、どこを切っても同じベクトル空間が平行に並んでいる
「ねじれ」や「メビウス的な捻じれ」がまったくない

自明な例

ℝ² × ℝ³ → ℝ²　（ただの空間×ベクトルの直積）
円周 S¹ × ℝ² → S¹　（円周の各点にℝ²が平行にくっついている）
任意の多様体 M 上の自明束 M × ℝ^k

自明でない（非自明な）例（有名どころ）

2次元球面 S² の接束 TS²
→ 毛玉の定理により自明化不可能（どこを切ってもゼロベクトル以外で連続な接ベクトル場は存在しない）

円周 S¹ 上のメビウス型直線束（階数1の非自明束）
→ 円を一周するとベクトルが−1倍されて戻ってくる（向きが反転する）

実射影空間 ℝP² の接束など（多くの非自明束が存在）

まとめると：
自明 → 「どこまでも平行にベクトルが並んでいる」
非自明 → 「一周したり動いたりするとベクトルがねじれたり反転したりする」

（つづく）

>>750の続き

素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑）　３

3. 自明かどうか、どうやって判別するの？

初心者レベルで現実的に使える判定方法を優先度順に並べるとこんな感じです。

優先度
方法
使える場面・難易度
コメント

★★★★★
連続な至るところで0でない切断（nowhere zero section）が存在するか
階数1のとき特に強い
存在すれば自明（実数係数の場合）。存在しなければ非自明。例：毛玉の定理

★★★★☆
局所自明化の変換関数（transition function）が定数（または自明化可能）か
定義から直接見る
これが本質。でも計算が大変

★★★★☆
特性類（Stiefel-Whitney類、Chern類、Pontryagin類など）がすべて0か
中級〜上級
全部0なら自明（逆は成り立たない場合もあるが強い判定材料）

★★★☆☆
Euler数・Chern数などが0か
コンパクト向き付け可能多様体
特に接束の場合に有効

★★☆☆☆
並行化可能（parallelizable）か
接束に特化
球面だと S¹, S³, S⁷ だけ平行化可能（他は無理）

初心者におすすめの簡単判定

フローチャート

階数1（直線束）の場合
→ 連続な至るところで0でない切断（nowhere zero section）が存在するか？
→ あれば自明、なければ非自明（実数係数の場合）

接束の場合
→ 至るところで0でないベクトル場がn個（n=次元）線形独立に作れるか？
→ 作れれば自明（平行化可能）、1個でも作れなければ非自明

それ以外
→ とりあえず「毛玉の定理が適用できるか」「モビウス捻じれがありそうか」を考える
→ あとは特性類を（あとで）勉強する

一番最初に覚えておくと便利なフレーズ：
「球面 S² 上に毛が生やせない（＝連続接ベクトル場が至るところ0でないものがない）→ TS² は自明でない」
これがベクトル束の非自明さの最も有名な例です。

（完）

>>749-751を踏まえて

追加質問
空間が１点に収縮可能な場合、そのベクトル束は自明になりますか？

回答
はい、普通に考えている状況（特に微分幾何やトポロジーの文脈でよく出てくるケース）では
「はい、自明になります」 が正しい答えです。
ただし、少しだけ条件や注意点があるので、丁寧に整理します。

標準的な場合（ほぼすべての教科書・講義で成立するケース）
底空間 B が contractible（収縮可能） で、かつ以下のいずれかが成り立つとき：
・B が paracompact（パラコンパクト）である
・B が compact Hausdorff である
・B が CW複体 である
・B が よく振る舞う多様体（有限次元、第二可算など）である
→ すべての（実・複素）ベクトル束は自明（trivial）になります。

なぜそうなるか（直感的な理由）
contractible ＝ 点に連続変形できる（ホモトピー的に点と同じ）
ベクトル束の分類はホモトピー不変（pullback がホモトピーで同型になる）
点の上ではどんなベクトル束も自明（一点しかないので X × ℝ^k しかない）
だから contractible な底空間の上でも「ホモトピー的に点と同じ」→ すべて自明

典型例
ℝ^n （ユークリッド空間） → contractible → 上のどんなベクトル束も自明
開球 D^n → contractible → 同上
Hilbert 空間（無限次元でもOKな場合が多い）
多くの非コンパクトな多様体（ℝ^n 上の開集合など）

例外・注意が必要なケース（レアケース）
極めて病的な空間（non-paracompact で contractible だけど変なもの）では、
非自明なベクトル束が存在する という例が（集合論的・位相的な極端な構成で）知られています。

例：
Long line やその変種のような non-paracompact な contractible 空間
ある種の "weird" な contractible だが paracompact でない空間

ただし：
こういう空間は普通の微分幾何・代数トポロジーの文脈ではほとんど出てこない
実用的・標準的な多様体・CW複体・パラコンパクトハウスドルフ空間では確実に自明

（つづく）

>>752の続き

まとめ（初心者レベルで覚えておくべき結論）

底空間のタイプ
すべてのベクトル束は自明か？
備考

ℝ^n、開球、ユークリッド空間
はい
教科書の標準例

コンパクトな contractible 多様体
はい
例：点、閉球（境界付き）

普通のcontractible 多様体（パラコンパクト）
はい
ほぼすべての実用例

極端に病的な non-paracompact contractible 空間
いいえ（非自明な例が存在）
集合論的・位相的 pathology。普通は無視OK

つまり、あなたが今考えているような「普通の空間」（特に多様体や CW複体）の場合、
「空間が１点に収縮可能な場合、そのベクトル束は自明になります」
→ はい、ほぼ常に正しいです。
（病的な反例は「まあ存在するけど普通は考えなくていいよ」くらいの扱いです）
追加質問への答えとしては「はい、（普通の状況では）自明になります」でOKです！

>>744-745
(引用開始)
AIかく語りき
ーーー
結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
かなり現実的で有効なアドバイスです。
略
Munkresは現代の標準教科書として世界中で使われていて、
証明のスタイル・視点・厳密さが大学院レベルにぴったり合ってる。
略
日本国内の大学院入試（旧帝大系含む）でも、
Munkresを「位相のバイブル」みたいに勧めてる人が結構いる
（5ch数学板とかnoteの合格体験記でもちらほら「Munkres読んどけ」って声が出る）。
略
THK大の位相問題はハウスドルフ・正則・正規・開写像・閉写像・商位相・コンパクトネスあたりが頻出で、
Munkresの前半（General Topology）がほぼそのままカバーしてる。
日本の定番「松坂和夫 集合・位相入門」や「内田伏一 集合と位相」だけだと、
証明の細かさや「閉写像で一点が閉になる」みたいなテクニックのバリエーションが少し薄め。
一方Munkresは演習問題も豊富で、問題(2)(ii)のような「有限ファイバー＋閉写像」の証明パターンが自然に身につく。
最近のTHK大の問題（2023〜2026年度あたり）を見ても、
Munkresレベルの知識があれば解法のヒントが浮かびやすい作りが多い。
(引用終り)

ご苦労さまです
１）Munkresの”Topology”海賊版見つけた
　アマゾンもヒットした。 下記のGoogle ブックスもある
　Prentice Hall, Incorporated, 2000 - 537 ページ ね
　index より 抜粋
　Hausdorff condition , 98
　for box topology, 116
　and cIosedness of diagonal, 100
　and convergent sequences, 99
　for manifbld, 227
　for memc space, 129
２）悪くはない、読めれば・・
　だが、いま3年で今年夏？（8月？）受ける人は タイパと相談だね。書棚の肥やしもあり
　既存の学部テキストを復習するのもありだろう。自分の現状と相談だね

(参考)
Topology - James R. Munkres
Google ブックス
https://books.google.co.jp › about
このページを訳す
This introduction to topology provides separate, in-depth coverage of both general topology and algebraic topology. Includes many examples and figures.

>>755　AIに訊いてみた（こればっか）

Munkresの前半（Part I: General Topology）が、松坂・内田とほぼ重なるコア部分です。

項目
松坂『集合・位相入門』
内田『集合と位相』
Munkres Topology (前半)

集合論・論理の基礎
詳しい
詳しい
最初にしっかり（長い）

位相空間・連続写像
○
○
非常に詳しく・厳密

基・部分空間・積空間・商空間
○
○
詳しく・例多め

連結・経路連結
○
○
詳しく

コンパクトネス（局所コンパクトも）
○
○
とても詳しく・証明丁寧

分離公理（T0〜T4, 正則・正規）
○
○
詳しく・メトリック空間との関係も

計量空間・Urysohnの補題
○
○
詳しく・応用例あり

完備性・Baireのカテゴリ定理
△（軽め）
△
やや詳しい

松坂・内田は日本の学部3〜4年生向けの標準テキストとして設計されていて、コンパクトにまとめられている。
Munkresは一般位相だけで本の半分近くを費やし、証明の細かさ・例の豊富さ・演習問題の質が非常に高い。
松坂・内田：
日本の学部数学のカリキュラムにぴったり。
証明は厳密だが簡潔で、読みやすく、演習も標準的。
大学院入試対策に最適。
Munkres：
アメリカの学部上級〜院入門レベル。
証明が非常に丁寧で、動機付け・直観・例が豊富。
演習問題が難易度高めで質が高い（これを全部解くと数学的成熟度がかなり上がる）。
ただし分厚い（前半だけでも松坂の2倍くらいのページ数）。