det(A)をブラックボックスとして扱うのも薄い浅い理解

体Kを成分とするn×n行列Aは　K^nからそれ自身への線形写像である

Aの逆行列が存在する、とは、
Aの核Ker(A)が{0}であって　（つまり単射）
Aの像Im(A)がK^nになる、（つまり全射）
ということ

上記は
Aがn本の列ベクトル全体が線形独立であって
Aのn本の列ベクトル全体からK^nが生成できること
と同値だと分かる

Kは体なので、線形代数の基本定理が成立する。
すなわち
Aのn本の列ベクトル全体が線形独立、
と
Aのn本の列ベクトル全体からK^nが生成できる
は同値である

したがって、行列の成分が体に属する場合
Aに逆行列が存在すること、を示すには
Aのn本の列ベクトル全体が線形独立、を示せばいい

今どきの線形代数のやり方なら
行列の基本変換を使って
Ａを階段形に変換する
そこで全部零の列ができれば線形従属
できなければ線形独立
零でない列の数が行列のランク
それがもっとも直接的

行列式はどう定義しても結局のところ
行列の基本変換のうち、
行もしくは列のスカラー倍でスカラー倍になるほかは不変であるし
その操作を使わなくてもＡを階段形にできる
つまり、階段形への変換の前後で行列式は不変である
そして、線形従属であるときそのときに限り行列式は０
行列のランクに関して
階段形での零でない列の数＝０でない小行列式の最大サイズ
となることもこれで明らかだろう

Aの行列式が０でなければAの逆行列が存在するというのは
線形代数の基本定理と行列式の性質によるのである
そしてその理屈を理解してることが線形代数の理解なのである

どうだ、君、全然分かってなかっただろ？