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（ニコ） (^^)君さ 宿題できたか？
おれが 証明書くから 赤ペンしてくれ

（前振り）
>>458
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大 R8年度院試
数学 共通問題令和7年8月21日
2
”(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である．”

<合格体験記>https://note.com/normalmath/n/nf464d5418115
”(ii)こっちは逆に真です。ハウスドルフ空間であることの定義より、相異なる2点から出発するのは良いのですが、試験中は問題が解けず焦りまくったせいで解けませんでした。落ち着いて考えれば、相異なる2元を
Z からとってきて、有限集合はハウスドルフ空間上では閉集合であることに加えて、閉写像であることや全体から閉集合を引いたものは開集合みたいな基礎的な事項の組み合わせで示せる問題でした”
にアラ筋がある

多分
W の相異なる2点 a,b を取る
　↓ f^-1
Z の相異なる2点 a',b' が取れる
　↓
Z ハウスドルフ から 相異なる2点 a',b'を分離する 開か閉位相の存在をいう
　↓　f
W の相異なる2点 a,b を分離する 開か閉位相の存在をいう
という流れだろう
”任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合”
をうまく使うのだろう
(引用終り)

さて
<答案>
(ii) は真
<証明>
W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数)
とする
a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは異なる（∵例えば a'1＝b'n ならば 射の定義に反する）
ハウスドルフだから
a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは 開近傍で分離できる
a'1の開近傍をUa'1とし、
b'1,b'2,・・b'n たちの開近傍の和集合をUB1とする
次に a'2と UB1との関係を考える
もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
この小さくした開近傍を UB2とする
このとき a'2にも UB2と分離した 開近傍Ua'2 が取れる（∵ハウスドルフ）
これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
今、a'1,a'2,・・a'm たちの和集合をUAmとする
UAm、UBmとも 開である(∵開近傍の和)
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする。この二つは閉（∵開の補集合）
二つの閉集合 UAm^c、UBm^cを fで Wへ写す。その像は また閉である
この二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る
明らかに （＊ちょっと略している）
一つはaを含みbを含まない
一つはbを含みaを含まない
ゆえに W の任意の相異なる2点 a,b を 開近傍で分離できた
よって Wはハウスドルフであり (ii) は真■　（＾＾

注：＊ ちょっと略したが まあ 時間がないときは この程度でお茶濁すのもありだろう。証明を最後まで書き切ることを優先する