>>686
AIの回答
---
f が閉写像 ⇒ W はハウスドルフ → 真

証明
W の任意の相異なる2点 w1 ≠ w2 を取る。
f は全射なので、ある z1 ∈ f^-1(w1), z2 ∈ f^-1(w2) が存在。
z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）。
Z がハウスドルフなので、z1 と z2 を分離する開近傍 U, V が存在：
U ∩ V = ∅, z1 ∈ U, z2 ∈ V
f^-1(w1),f^-1(w2)は仮定より有限集合なので、
Z がハウスドルフ ⇒ 有限集合は閉（各点が閉だから有限和も閉）。
よって f^-1(w1),f^-1(w2)は閉集合。
f が閉写像なので、
f( f⁻¹(w1) ) = {w1} は W において閉 かつ
f( f⁻¹(w2) ) = {w2} も W において閉。
{w1} が閉 ⇔ その補集合 W - {w1} が開 ⇔ w2 の開近傍として使える。
{w2} が閉 ⇔ その補集合 W - {w2} が開 ⇔ w1 の開近傍として使える。
よって w1 と w2 は W で分離可能。
したがって W はハウスドルフ。
---

簡単でした