γが無理数であると仮定する。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
γ−1/p＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p
　　　　＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p
　　　　＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p
　　　　＝1＋1/2＋…＋1/(p−1)−log(p)
　　　　＞0
であるから、或る2以上の整数kが存在して、任意の p≧k なる整数pに対して
γ−1/p＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p＞1/k≧1/p である
γを無理数と仮定しているから、ディリクレの定理により、
0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす
ような既約有理数 q/p p≧k は無限個存在する
既約有理数 q/p p≧k が 0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たすとする
三角不等式から、0＜|γ−1/p|−|γ−q/p|≦|(q−1)/p|＝|q−1|/p となる
p≧k≧2 から |γ−q/p|＜1/p^2≦1/4 であるから、
γ＞1/4 から qが0以下の整数となることはあり得ない
従って、p＞0 から |q−1|/p＝(q−1)/p であって、
|q−1|/p＞0 に注意すれば (q−1)/p＞0 から q≧2 である
よって、q/p p≧k q≧2 なる無限個の既約有理数 q/p は
0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす
よって、0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| なる
無限個の既約有理数 q/p の分母pと分子qについて p≧k≧2 q≧2 である
任意に n≧k なる整数nを取って、q_{n}/p_{n} p_{n}≧k q_{n}≧2 なる
既約有理数 q_{n}/p_{n} をγの第n次近似分数とする