>>718のつづき

正しい証明

Wの任意の相異なる2点w_1 ≠ w_2を取る。
A = f^{-1}(w_1) は有限集合（仮定より）。
Zがハウスドルフなので、各点は閉、よってAは閉。
同様、B = f^{-1}(w_2)は有限閉集合。
明らかにA ∩ B = ∅（さもなくばfがw_1 = w_2に写す）。

Zがハウスドルフなので、
各a_i ∈ A（i=1,...,p）と閉集合B（a_i ∉ B）に対して、
a_i ∈ U_i（開）, B ⊂ V_i（開）, U_i ∩ V_i = ∅ が存在する。

U = ∪_{i=1}^p U_i（開, A ⊂ U）と置く。
V = ∩_{i=1}^p V_i（開, B ⊂ V）と置く。
するとU ∩ V = ∪ (U_i ∩ V) ≤ ∪ (U_i ∩ V_i) = ∅
（なぜなら各U_i ∩ V ≤ U_i ∩ V_i = ∅, かつV ⊂ V_i）。
よってU ∩ V = ∅。

次に、Z-Uは閉（U開）。
fが閉写像なのでf(Z-U)はWで閉。
よってO_1 = W-f(Z-U)は開。
同様、O_2 = W-f(Z-V)は開。

w_1 ∈ O_1：
A ⊂ UなのでA ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ f^{-1}(w_1) ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ w_1 ∉ f(Z-U) ⇒ w_1 ∈ O_1。
w_2 ∉ O_1：
B ⊂ V, だがV ⊂ Z-U（U ∩ V = ∅より）⇒ B ⊂ Z-U ⇒ w_2 ∈ f(Z-U) ⇒ w_2 ∉ O_1。

同様に、
w_2 ∈ O_2：
B ⊂ V ⇒ B ∩ (Z-V) = ∅ ⇒ w_2 ∉ f(Z-V) ⇒ w_2 ∈ O_2。
w_1 ∉ O_2：
A ⊂ U ⊂ Z-V（U ∩ V = ∅より）⇒ A ⊂ Z-V ⇒ w_1 ∈ f(Z-V) ⇒ w_1 ∉ O_2。

最後にO_1 ∩ O_2 = ∅を示す：
O_1 ∩ O_2 = W-(f(Z-U) ∪ f(Z-V))。
f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
よってO_1 ∩ O_2 = W \ W = ∅。

したがって、w_1 ∈ O_1, w_2 ∈ O_2（開）, O_1 ∩ O_2 = ∅。
任意のw_1 ≠ w_2を分離できたので、Wはハウスドルフ。

（証明終わり）

これでツッコミの点が解消されます。
最初の簡易版では分離のdisjoint性を閉写像で上手く使っていなかったのがミスでした。
この版は標準的な証明で、教科書（例: MunkresのTopology）でも似た手法が出てきます。
ご指摘ありがとうございます！