Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87

前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 86
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということか）
https://www.mathunion.org/icm/icm-2026
ICM 2026
https://www.icm2026.org/event/ac193975-5d24-4628-8c30-ddb23de19a8b/catalog
Titles & Abstracts

https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops

＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz （J. Stix IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）
(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく

>>750の続き

素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑）　３

3. 自明かどうか、どうやって判別するの？

初心者レベルで現実的に使える判定方法を優先度順に並べるとこんな感じです。

優先度
方法
使える場面・難易度
コメント

★★★★★
連続な至るところで0でない切断（nowhere zero section）が存在するか
階数1のとき特に強い
存在すれば自明（実数係数の場合）。存在しなければ非自明。例：毛玉の定理

★★★★☆
局所自明化の変換関数（transition function）が定数（または自明化可能）か
定義から直接見る
これが本質。でも計算が大変

★★★★☆
特性類（Stiefel-Whitney類、Chern類、Pontryagin類など）がすべて0か
中級〜上級
全部0なら自明（逆は成り立たない場合もあるが強い判定材料）

★★★☆☆
Euler数・Chern数などが0か
コンパクト向き付け可能多様体
特に接束の場合に有効

★★☆☆☆
並行化可能（parallelizable）か
接束に特化
球面だと S¹, S³, S⁷ だけ平行化可能（他は無理）

初心者におすすめの簡単判定

フローチャート

階数1（直線束）の場合
→ 連続な至るところで0でない切断（nowhere zero section）が存在するか？
→ あれば自明、なければ非自明（実数係数の場合）

接束の場合
→ 至るところで0でないベクトル場がn個（n=次元）線形独立に作れるか？
→ 作れれば自明（平行化可能）、1個でも作れなければ非自明

それ以外
→ とりあえず「毛玉の定理が適用できるか」「モビウス捻じれがありそうか」を考える
→ あとは特性類を（あとで）勉強する

一番最初に覚えておくと便利なフレーズ：
「球面 S² 上に毛が生やせない（＝連続接ベクトル場が至るところ0でないものがない）→ TS² は自明でない」
これがベクトル束の非自明さの最も有名な例です。

（完）

>>749-751を踏まえて

追加質問
空間が１点に収縮可能な場合、そのベクトル束は自明になりますか？

回答
はい、普通に考えている状況（特に微分幾何やトポロジーの文脈でよく出てくるケース）では
「はい、自明になります」 が正しい答えです。
ただし、少しだけ条件や注意点があるので、丁寧に整理します。

標準的な場合（ほぼすべての教科書・講義で成立するケース）
底空間 B が contractible（収縮可能） で、かつ以下のいずれかが成り立つとき：
・B が paracompact（パラコンパクト）である
・B が compact Hausdorff である
・B が CW複体 である
・B が よく振る舞う多様体（有限次元、第二可算など）である
→ すべての（実・複素）ベクトル束は自明（trivial）になります。

なぜそうなるか（直感的な理由）
contractible ＝ 点に連続変形できる（ホモトピー的に点と同じ）
ベクトル束の分類はホモトピー不変（pullback がホモトピーで同型になる）
点の上ではどんなベクトル束も自明（一点しかないので X × ℝ^k しかない）
だから contractible な底空間の上でも「ホモトピー的に点と同じ」→ すべて自明

典型例
ℝ^n （ユークリッド空間） → contractible → 上のどんなベクトル束も自明
開球 D^n → contractible → 同上
Hilbert 空間（無限次元でもOKな場合が多い）
多くの非コンパクトな多様体（ℝ^n 上の開集合など）

例外・注意が必要なケース（レアケース）
極めて病的な空間（non-paracompact で contractible だけど変なもの）では、
非自明なベクトル束が存在する という例が（集合論的・位相的な極端な構成で）知られています。

例：
Long line やその変種のような non-paracompact な contractible 空間
ある種の "weird" な contractible だが paracompact でない空間

ただし：
こういう空間は普通の微分幾何・代数トポロジーの文脈ではほとんど出てこない
実用的・標準的な多様体・CW複体・パラコンパクトハウスドルフ空間では確実に自明

（つづく）

>>752の続き

まとめ（初心者レベルで覚えておくべき結論）

底空間のタイプ
すべてのベクトル束は自明か？
備考

ℝ^n、開球、ユークリッド空間
はい
教科書の標準例

コンパクトな contractible 多様体
はい
例：点、閉球（境界付き）

普通のcontractible 多様体（パラコンパクト）
はい
ほぼすべての実用例

極端に病的な non-paracompact contractible 空間
いいえ（非自明な例が存在）
集合論的・位相的 pathology。普通は無視OK

つまり、あなたが今考えているような「普通の空間」（特に多様体や CW複体）の場合、
「空間が１点に収縮可能な場合、そのベクトル束は自明になります」
→ はい、ほぼ常に正しいです。
（病的な反例は「まあ存在するけど普通は考えなくていいよ」くらいの扱いです）
追加質問への答えとしては「はい、（普通の状況では）自明になります」でOKです！

>>744-745
(引用開始)
AIかく語りき
ーーー
結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
かなり現実的で有効なアドバイスです。
略
Munkresは現代の標準教科書として世界中で使われていて、
証明のスタイル・視点・厳密さが大学院レベルにぴったり合ってる。
略
日本国内の大学院入試（旧帝大系含む）でも、
Munkresを「位相のバイブル」みたいに勧めてる人が結構いる
（5ch数学板とかnoteの合格体験記でもちらほら「Munkres読んどけ」って声が出る）。
略
THK大の位相問題はハウスドルフ・正則・正規・開写像・閉写像・商位相・コンパクトネスあたりが頻出で、
Munkresの前半（General Topology）がほぼそのままカバーしてる。
日本の定番「松坂和夫 集合・位相入門」や「内田伏一 集合と位相」だけだと、
証明の細かさや「閉写像で一点が閉になる」みたいなテクニックのバリエーションが少し薄め。
一方Munkresは演習問題も豊富で、問題(2)(ii)のような「有限ファイバー＋閉写像」の証明パターンが自然に身につく。
最近のTHK大の問題（2023〜2026年度あたり）を見ても、
Munkresレベルの知識があれば解法のヒントが浮かびやすい作りが多い。
(引用終り)

ご苦労さまです
１）Munkresの”Topology”海賊版見つけた
　アマゾンもヒットした。 下記のGoogle ブックスもある
　Prentice Hall, Incorporated, 2000 - 537 ページ ね
　index より 抜粋
　Hausdorff condition , 98
　for box topology, 116
　and cIosedness of diagonal, 100
　and convergent sequences, 99
　for manifbld, 227
　for memc space, 129
２）悪くはない、読めれば・・
　だが、いま3年で今年夏？（8月？）受ける人は タイパと相談だね。書棚の肥やしもあり
　既存の学部テキストを復習するのもありだろう。自分の現状と相談だね

(参考)
Topology - James R. Munkres
Google ブックス
https://books.google.co.jp › about
このページを訳す
This introduction to topology provides separate, in-depth coverage of both general topology and algebraic topology. Includes many examples and figures.

>>755　AIに訊いてみた（こればっか）

Munkresの前半（Part I: General Topology）が、松坂・内田とほぼ重なるコア部分です。

項目
松坂『集合・位相入門』
内田『集合と位相』
Munkres Topology (前半)

集合論・論理の基礎
詳しい
詳しい
最初にしっかり（長い）

位相空間・連続写像
○
○
非常に詳しく・厳密

基・部分空間・積空間・商空間
○
○
詳しく・例多め

連結・経路連結
○
○
詳しく

コンパクトネス（局所コンパクトも）
○
○
とても詳しく・証明丁寧

分離公理（T0〜T4, 正則・正規）
○
○
詳しく・メトリック空間との関係も

計量空間・Urysohnの補題
○
○
詳しく・応用例あり

完備性・Baireのカテゴリ定理
△（軽め）
△
やや詳しい

松坂・内田は日本の学部3〜4年生向けの標準テキストとして設計されていて、コンパクトにまとめられている。
Munkresは一般位相だけで本の半分近くを費やし、証明の細かさ・例の豊富さ・演習問題の質が非常に高い。
松坂・内田：
日本の学部数学のカリキュラムにぴったり。
証明は厳密だが簡潔で、読みやすく、演習も標準的。
大学院入試対策に最適。
Munkres：
アメリカの学部上級〜院入門レベル。
証明が非常に丁寧で、動機付け・直観・例が豊富。
演習問題が難易度高めで質が高い（これを全部解くと数学的成熟度がかなり上がる）。
ただし分厚い（前半だけでも松坂の2倍くらいのページ数）。

AIかく語りき

James R. Munkres（ジェームズ・レイモンド・マンクレス、1930年生まれ）は、
トポロジストというよりは数学教育者・教科書著者として圧倒的に有名な人です。
専門分野は位相幾何学（特に一般位相と代数トポロジー）ですが、
研究者として超大物というより、MITで長年教鞭をとりながら、
学生に「わかりやすい教科書」を作ることに力を注いだタイプの数学者ですね。

簡単に経歴
1930年生まれ、アメリカ人。
PhDはUniversity of Michigan（ミシガン大学）で1955年頃取得。
1960年からMIT数学学科の教授（2000年頃に名誉教授・Senior Lecturerに）。
MITで学部上級〜大学院入門レベルのトポロジーコースを長年担当。
著書：
Analysis on Manifolds（多変数解析の本）、
Elements of Algebraic Topology（代数トポロジーの本）などもあるけど、
やっぱりTopologyが一番のヒット作。

（つづく）

>>757の続き

なんでこんな本を書いたのか？

本人の直接的なインタビューや「執筆動機」みたいな公式発言はあまり表に出てないんですが、
いろんな情報（Wikipedia、MITのページ、昔の学生の回想、YouTubeの講義動画コメント、書評など）から
推測される理由はだいたいこれ：

当時のトポロジー教科書が学生にとって読みにくかった
1970年代前半（初版1975年頃）は、位相の教科書といえば
Bourbaki風の超抽象的・厳密すぎる本や、
KellyのGeneral Topologyみたいな古典が主流。
でもこれらは「定義→定理→証明」の羅列が多く、
動機付けや直観が薄いと学生から不評だったらしい。

MITの授業で自分で使いたかった
Munkres本人はMITでトポロジーを教えていて、自分の授業ノートを基に本を書いた。
昔の学生の話だと「授業中にページをプリントで配って、3穴パンチでバインダーに綴じて使ってた」
ってエピソードがあるくらい。
つまり**「俺の授業で使う理想の教科書がないから、自分で作っちゃえ」** という実践的な動機が強い。

「わかりやすさ」と「厳密さ」のバランスを狙った
彼のスタイルは「短い動機付け → 定義 → 定理・証明 → 豊富な例・図・演習問題」。
これが当時としては新鮮で、学部生（特にMITみたいなレベルの高いところの4年生） が
「読んで理解できる」本として爆発的に広がった。
結果、「Munkres読めば位相がわかる」 という信頼が生まれ、世界中で標準教科書になった。

Munkresは派手な研究業績や新しい定理をバンバン証明した大トポロジスト というより、
「教育に命をかけた職人タイプ」。だから本の内容も「派手さゼロ、でも隙がない」感じ。
研究寄りの人は「Munkresは教科書屋さん」みたいに軽く言う人もいるけど、
その教科書が50年近く世界一売れてる って事実がすべてを物語ってるよね。

>>755 補足

Munkresさん 下記な
1930生まれか。御大もまだまだ これからだね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/James_Munkres
James Raymond Munkres (born August 18, 1930) is an American mathematician and academic who is professor emeritus of mathematics at MIT[1] and the author of several texts in the area of topology, including Topology (an undergraduate-level text), Analysis on Manifolds, Elements of Algebraic Topology, and Elementary Differential Topology. He is also the author of Elementary Linear Algebra.
Among Munkres' contributions to mathematics is the development of what is sometimes called the Munkres assignment algorithm. A significant contribution in topology is his obstruction theory for the smoothing of homeomorphisms.[3][4] These developments establish a connection between the John Milnor groups of differentiable structures on spheres and the smoothing methods of classical analysis.
He was elected to the 2018 class of fellows of the American Mathematical Society.[5]
Textbooks
Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ペアノ-ジョルダン測度とは、有限次元における、複雑過ぎない図形（集合）の長さ・面積・体積に当たる「大きさ」（ある種の「容積」、いわば有限次元超体積、高次元体積）を考えたもののことである
しかし、与えられた集合が（古典的な意味での「容積」としての）ジョルダン測度を持つには、それが極めて素直（英語版）な性質を持つ必要がある（それでも実用上現れる集合の多くはそれを満足する）ことが分かっており、したがってそのような集合はある意味では限定的である（それゆえ、ジョルダン測度をより大きな集合のクラスに対して拡張したルベーグ測度を用いるのが現在ではより一般的である）。
歴史的に言えば、ジョルダン測度が最初に現れるのは19世紀の終わりにかけてであり、歴史的経緯で「ジョルダン測度」(Jordan measure) の語はすでに浸透した用法となってはいるが、現代的な定義で言えば真の測度 (measure) ではない（ジョルダン可測な集合全体は完全加法族をなさない）ことに注意が必要である。例えば、一点集合 {x} (x ∈ R) は何れもジョルダン測度零であるが、そのような集合の可算和になる Q ∩ [0, 1] はジョルダン可測でない[注釈 1]
注釈
1^ 測度が定義される集合に「可測」と付けるのはよいが、ジョルダン容積（あるいはもっとほかの、有限加法的な「容積」）が定義される集合につけて呼ぶ一般的に受け入れられた呼称は特に存在しない。Munkres (1991)は求長可能な曲線に用いる "rectifiable" を一般にも用いることを提案した（その場合の訳は「求積可能」となるであろう）。他の提案名には、「許容、認容、可容」("admissible": Lang, Zorich); 「被覆可能、敷き詰め可能」("pavable": Hubbard); 「容積を持つ」("have content": Burkill); 「容積付けられた」("contented": Loomis and Sternberg) などがある

>>756-758
ご苦労さまです

(引用開始)
当時のトポロジー教科書が学生にとって読みにくかった
1970年代前半（初版1975年頃）は、位相の教科書といえば
Bourbaki風の超抽象的・厳密すぎる本や、
KellyのGeneral Topologyみたいな古典が主流。
でもこれらは「定義→定理→証明」の羅列が多く、
動機付けや直観が薄いと学生から不評だったらしい。
MITの授業で自分で使いたかった
略
「わかりやすさ」と「厳密さ」のバランスを狙った
彼のスタイルは「短い動機付け → 定義 → 定理・証明 → 豊富な例・図・演習問題」。
これが当時としては新鮮で、学部生（特にMITみたいなレベルの高いところの4年生） が
「読んで理解できる」本として爆発的に広がった。
結果、「Munkres読めば位相がわかる」 という信頼が生まれ、世界中で標準教科書になった。
(引用終り)

これ大事だね
Bourbaki風の超抽象的・厳密すぎる本 ×
「わかりやすさ」と「厳密さ」のバランスを狙った ○

日本でも 1980年代までは
”Bourbaki風の超抽象的・厳密すぎる本”が 主流だったんだよね

それと ”MITみたいなレベルの高いところの4年生”な
日本では 松坂・内田の位相空間は 学部1〜2年だろう
（この学年差は 意識しておいて悪くない）

さらには MIT：マサチューセッツ工科大学（マサチューセッツこうかだいがく、英語: Massachusetts Institute of Technology、MIT）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B5%E3%83%81%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BB%E3%83%83%E3%83%84%E5%B7%A5%E7%A7%91%E5%A4%A7%E5%AD%A6
1865年に設置されたアメリカを代表する名門校のひとつで、コンピューターサイエンスや半導体開発、IT技術、電子工学など先端技術分野で画期的な研究が数多く行われた[10][11]。歴代のノーベル賞受賞者は104人と、工科大学としては世界最多[12]。MITメディアラボなど51の研究機関を擁する

要するに、東大京大のように 数学の大学教員養成機関のテキストというよりも
東工大みたく 工科系大学で 数学を使う側の視点が入っているってことだね
（不肖私と同じどすえ　（＾＾）

それぞれの分野の、名著とかを語っても面白いかもね。
他スレでは和書に厳しく、洋書を有難がる人もいそうだけど。

語れよ

>>759
Munkresの本は厳密性は捨ててないよ
ただ、動機付けとか例とか図解とか
論理以外の点も面倒見てる点で
素晴らしいってことで

Bourbakiは、読みやすくはないけど
基礎からどう詰みあがっているか
再構築したことは評価される

歴史的順序を漫然と踏襲しても
必ずしも分かりやすくはならない
その意味ではrevisionは必要

手始めに、誤植レベルの間違いは良いけど、明らかな誤りは厳しいよね。
そんな本があるのか知らないけど。
（語れるほど知らないから、とりあえず曖昧な話で濁す。あまりネガキャンは趣味じゃないのでw）

>>755
>結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
>むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
>かなり現実的で有効なアドバイスです。

余談だが
思うに 下記
東北大の問題を 分析すると それほど 高度な位相空間の知識は要求していない
むしろ 院試の現場思考ができるかどうかが問われていると思う
つまり、2の(1)は、商位相をOYによる 位相空間(Y,OY)を 試験の現場で きちんと具体例で分析する力が求められている
（商位相のキチンとした理解と その応用力）
2の(1)(i)は、2の(1)からの誘導だと見抜けるか？
そのために、ハウスドルフの開と閉に関する知識
（それはいろいろな例を知っているか？）が必要で
そのような知識があれば、2の(1)でも使える
2の(1)(ii)は、「W はハウスドルフ空間である」さえ分れば
あとは 位相空間の開と閉の基礎知識の組合せにすぎない
（ここでも ”開と閉”。むしろ 皆が手薄な閉を狙った気もする ）

まあ、造りは 東大の大学入試問題似だね
気付きにくい誘導があって、現場思考と分析力を要求している・・、単なる知識でない
東大大学入試問題は、知識に加えて 現場での思考力を見る問題が多い
「Munkresの”Topology”読め」は、学部2年には良いと思うよ
（学部2年で位相空間の講義があるなら サイドリーダーもありか）
学部3年で 今年8月受験なら 本は図書館か買うかで バラと見て あとは自分次第
タイパとの相談だろう
現場思考力を上げることも考えないと・・（＾＾

(参考)>>159より 再録
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
令和8年度東北大学大学院理学研究科数学専攻入学試験問題
数学　共通問題
令和7年8月21日（9時30分から12時まで）
2 以下の問いに答えよ．
(1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの
位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′ ∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか，
理由とともに答えよ．

(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
　偽であるならば反例をあげ，実際に反例になっていることを証明せよ．
　(i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である．
　(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である．
　ここで，写像f:Z →Wについて，
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい，
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう．

>>765
はっきりいうけど、今まで一度も考えたことにないことを
いきなり試験会場で思いつくなんてことは・・・まずないよ

「勉強する」と一言でいうけど
どれだけ事前に経験を積んでいるか
ってことがすべてだよ

研究が大変なのは、新しい結果を出すのに
どれだけ試行錯誤という経験を積む必要があるのか
まったくわからないから

経験積むことすっ飛ばして
検索とかAIでタイパ良くするとか
まあできなくもないだろうけど
まるっきりゼロにはできないだろうねぇ

合格体験記の方は（1）が出来なくても受かったのなら、ボーダーがよく分かりませんね。（専門科目の方で頑張られたか？）

他の合格された方では、専門科目で呆然としていたという動画を見た。

>>765 追加

大学入試当時ね
東大の問題とか ムズすぎでね
大学への数学の学コンも チラ見だけで やった記憶無い
あんなの解ける人は えらいと思うよ

当時の大学への数学に
牛刀を用いて鶏を割くという話と
逆の話があった

要するに 入試問題を 大学レベルの数学の定理の簡単な例から落として
それを 高校範囲の数学で解かせる（誘導つきで）

解説の裏話で、これ 大学数学の定理の例一つで
牛刀を使えば すぐ解けるんだよと

令和8年度東北大の位相空間の問題の作りはそれだろう
自分の数学道具箱の手持ちの道具を増やすこと （Munkresの”Topology”）
と 平行して 手持ちの道具で やりくりして 解く応用力の養成
両方をやらないとね

＞牛刀を使えば

そういう発想はやめたほうがいいと思うなあ

「なんかよくわかんないけどこの呪文を唱えると魔法で解決」
みたいな感じでしょ

そんなことうやってると必ず理解できなくなるから

わけもわからずクラメールの公式
わけもわからずケイリー・ハミルトンの定理

それじゃ線形代数の肝心なところ全部飛ばしてるからさ
実際、ランク知らなかったんでしょ　ヤバいよそれは

わけもわからず箱入り無数目は間違ってるーーーーーー

零因子の件でいうとケイリーハミルトンの定理で
最小多項式まで求まってるんなら、
零因子は証明できるよ

ただ、それって何かキモチ悪くね？

>>771
細かくて申し訳ないですが、「固有」多項式ではなく「最小」多項式ですか？
私は最小多項式の具体的な求め方を、詳しく知りません。
まあ愚直に調べれば、分かりそうですが…。
（行列の次数が高くなると、かなり面倒そうです。）

>>772
零因子の証明をするなら
固有多項式では不十分で
最小多項式まで求める必要があります

ただ、その場合固有多項式の解を求める必要があるので
もう線形代数の範囲を逸脱しまくりで「なにやってんだ俺」
みたいな感じになるので全然おすすめしません（笑）

普通に掃き出し法で証明できるし

>>773
ありがとうございます。
まあ、基礎を大切にですね。

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Slot
🌸🍜🍜
🎴🎰💰
👻🌸💣
(LA: 1.53, 1.32, 1.18)

>>719
ざっと見ましたが、最初の流れは「コンパクトハウスドルフ空間が正規」の証明に近いと思います。
自力では気がつかなかったですね。

>>769
>＞牛刀を使えば
>そういう発想はやめたほうがいいと思うなあ

真逆を言っているんだけど >>768は
手持ちの道具のやりくりで なんとか答案を書く工夫

例えば
(参考)>>159
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大院数学 共通問題R70821
2
(1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか
理由とともに答えよ
(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
　偽であるならば反例をあげ，実際に反例になっていることを証明せよ．
　(i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である
　(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である
　ここで，写像f:Z →Wについて
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう
(引用終り)

＜問題分析＞
１）2 (1)；商位相 数学の風景より「商位相空間とは，位相空間の商集合に定まる位相で，自然な射影を連続写像にする最大・最強の位相です。この時の射影を商写像と言います」 https://mathlandscape.com/quotient-top/
　ここで 問題文の”(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}”
　が目くらましで 後の同値「p =q ∈R＼{0}」を先に書いてくれれば簡単だ。が わざと後にしたようだ
　”(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t)”は 原点{0}のみと解して、原点{0}では同値を やめたということ
　よって 位相空間(Y,OY)は、原点{0}以外は実Rと同じ位相（ハウスドルフ）で、原点{0}は2点に分岐して
　原点{0}は一種の特異点で ハウスドルフが破れる。それを見抜けるかが勝負だ
２）2 (2)(i)；wikipediaより 開写像と閉写像”閉写像補題 (closed map lemma) は次のように述べている。コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y へのすべての連続関数 f : X → Y は閉かつ 固有写像 （すなわちコンパクト集合の逆像はコンパクトである）である。この結果の変種は次のように述べている。局所コンパクトハウスドルフ空間の間の連続関数が proper であれば閉でもある” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%A8%E9%96%89%E5%86%99%E5%83%8F
　この知識で、ハウスドルフと閉写像と相性がよく 開は相性よくないという常識が 問われている？
　常識があれば、開写像は 非ハウスドルフと判断できる（2 (1)の誘導と気付けばなお良い。が 答えだけでも書くべし）
３）2 (2)(ii)は、すでに >>686に書いた通り。手持ちの道具でなんとか 問題に食らいつけ

>>779
＞真逆を言っているんだけど

>>768
＞解説の裏話で、これ 大学数学の定理の例一つで
＞牛刀を使えば すぐ解けるんだよと

矛盾した文章を平気で書ける●違いでしたか

矛盾に気づかない人に数学は絶対理解できない

>>769
ですね

>>780-781
>＞解説の裏話で、これ 大学数学の定理の例一つで
>＞牛刀を使えば すぐ解けるんだよと
>矛盾した文章を平気で書ける●違いでしたか

ｗ大内部進学生には、大学受験の苦労は分らないかも・・（＾＾
典型例が 下記の大学入試の”ロピタルの定理”
たしか 大学への数学誌でも 出てきた記憶あるが

確認用であって
記述試験では使わずに済ます方が無難で 確認用だと
3元連立方程式のクラメール公式も同じ
高校数学の範囲を超えている
確認用だと

そして ロピタルやクラメールは 裏で使って
正規の答案は 高校範囲内での答案を書く

同じことで 学部超えのレベルの数学理論を使って
チョイチョイと解いた答案がどうなのかとなる
（普通 大理論は数十ページの準備の後の大定理とかあるからね）
でも、きっちり書ければ良いのだろうが
そこが果たしてどうか？

逆が、問題を作る方で
だれかが言っていたが EGAやハーツホーンから取っているみたいだと

そこに EGAやハーツホーン通りを暗記した人が
単に暗記を吐き出したような答案を書いたら どう採点されるか？
まあ、良い点は付かないだろうよ

問題を作る方は EGAやハーツホーンから例を取ってきて
それを 院試受験生に解かせる 誘導を付けたりして
その誘導にうまく乗って書く 書ける 現場思考の訓練と アウトプット練習が大事

Munkresの”Topology”読むのは良いよ
でも 院試に合格する勉強も大事だろう
（現場思考とアウトプット）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/748
高校数学の美しい物語
ロピタルの定理の条件と例題 2023/09/02

https://examist.jp/mathematics/limit/lhopital/
受験の月
受験数学最大最強！極限の裏技：ロピタルの定理　記述試験で無断使用できる？

ロピタルの定理を使いたがる人は、易しい解き方に気づいてないだけなんじゃないですかね？
前から思っていたことですが、具体的な問題を探すのを面倒臭がっていたので、実情がよく分かっていません。

>>686 戻る
<答案改訂> (>>722 >>723の赤ペンを入れた訂正版 また >>728のAIを参考にした)
(ii) は真
<証明>
ハウスドルフ空間とは、異なる点がそれらの開近傍によって分離できるような位相空間のことである
さて W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数) とする
a'1,a'2,・・a'm たちと b'1,b'2,・・b'n たちは 互いに異なる
（∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾 ( a'i,b'j はそれぞれ a bの逆像のどれかを表す )）
Zは ハウスドルフだから
a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは 開近傍で分離できる
a'1の開近傍をUa'1とし、
b'1,b'2,・・b'n たちの開近傍の和集合をUB1とする
次に a'2と UB1との関係を考える
もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
この小さくした開近傍を UB2とする
このとき a'2にも UB2と分離した 開近傍Ua'2 が取れる（∵ハウスドルフ）
これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
今、開近傍Ua'1,Ua'2,・・Ua'm たちの和集合をUAmとする
UAm、UBmとも 開である(∵開近傍の和)
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする
この二つは閉集合である（∵開の補集合）
分離出来ているので UAm∩UBm ＝φ（空）である
補集合は UAm^c∪UBm^c ＝Z である

閉写像fを使うと、 全射より f：Z→Wであり
W内に閉集合f(UAm^c)とf(UBm^c)とを得るが
f(UAm^c) U f(UBm^c) = W である
（ もし f(UAm^c) U f(UBm^c) ≠ W とすると f(UAm^c) U f(UBm^c)に含まれないWの点wがとれて その逆像 w'1・・w'k が存在し それらは UAm^c∪UBm^c は複組まれないことになるが UAm^c∪UBm^c ＝Zに矛盾）

この両辺の補集合より
f(UAm^c)^c ∩ f(UBm^c)^c = φ を得る

f(UAm^c)^cは開で UAmの像として 点a を含む
f(UAm^c)は UBmの像を 従って 点bを含むゆえ f(UAm^c)^cは点bを含まない

同様に f(UBm^c)^cは開で UBmの像として 点b を含む
f(UBm^c)は UAmの像を 従って 点aを含むゆえ f(UBm^c)^cは点aを含まない

f(UAm^c)^c ∩ f(UBm^c)^c = φ であったから
W の任意の相異なる2点 a,b を 開集合で分離できた
よって Wはハウスドルフであり (ii) は真■
追記
・>>694 自己赤ペンは うまく書けていないので 取り下げる （＾＾

>>734
>ロピタルの定理を使いたがる人は、易しい解き方に気づいてないだけなんじゃないですかね？
>前から思っていたことですが、具体的な問題を探すのを面倒臭がっていたので、実情がよく分かっていません。

（ニコ） (^^)君か
コメントありがとうございます

１）まず 高校数学と 大学数学に分ける
　大学数学では、ロピタルの定理であろうが その教程内のことは自由につかえる
　高校数学で 計算問題なら 数値が合えば良いから 無問題
　高校数学で ロピタルの定理を使うと 多分 模範解答から外れるのと
　どういう扱いをされるか不明なのと
　まあ、使わずにすませれば 無難ということ
２）その上で、>>783の 受験の月にも書いてあるが
　白紙答案よりは 時間がゆるせば ロピタルの定理でもなんでも使えとなるってことですね
　（白紙答案は0点だが ロピタルでもなんでも使って 正解していれば なにかの点はつく）

f（0）=0のときは分母に-0、分子に-f（0）を加えて0での微分に持っていく解法を見たことがあります。
それを知らない人が、困っているんじゃないかと思います。
（∞/∞のケースは、厄介だと感じますが。）

>>785 タイポ訂正

（ もし f(UAm^c) U f(UBm^c) ≠ W とすると f(UAm^c) U f(UBm^c)に含まれないWの点wがとれて その逆像 w'1・・w'k が存在し それらは UAm^c∪UBm^c は複組まれないことになるが UAm^c∪UBm^c ＝Zに矛盾）
　↓
（ もし f(UAm^c) U f(UBm^c) ≠ W とすると f(UAm^c) U f(UBm^c)に含まれないWの点wがとれて その逆像 w'1・・w'k が存在し それらは UAm^c∪UBm^c は含まれないことになるが UAm^c∪UBm^c ＝Zに矛盾）

>>785のゴタゴタした箇所をすっきりさせた
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
さて W の相異なる2点 a,b を取る

逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n
(n,mは1以上の整数) とする

a'1,a'2,・・a'm たちと
b'1,b'2,・・b'n たちは
互いに異なる
∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾
( a'i,b'j はそれぞれ a bの逆像のどれかを表す )

Zは ハウスドルフだから
a'iと b'j は 開近傍で分離できる
(a'iはa'1〜a'm,b'jはb'1〜b'nとする）

各a'iに対して
開近傍Ua'iと分離可能な
Ub’ijの和集合∪(j＝1〜n)Ub’ij
をUBiとし、
UBiの共通集合∩(i=1〜m)UBi
をUBとする
（UBiはb'1,b'2,・・b'nを含むからUBは空ではない）

一方Ua'iの和集合∪(i=1〜m)Ua'iをUAとする

UA、UBとも 開である(∵開近傍の和)
それぞれの補集合をUA^c、UB^c とする
この二つは閉集合である（∵開の補集合）
分離出来ているので UA∩UB ＝φ（空）である
補集合は UA^c∪UB^c ＝Z である

>>789の続き
ーーーーーーーーーー

fが閉写像ならば
UA^c、UB^cが閉なので
f(UA^c)とf(UB^c)も閉
fは全射なので
f(UA^c) U f(UB^c) = W
（ もし f(UA^c) U f(UB^c) ≠ W とすると
f(UA^c) U f(UB^c)に含まれないWの点wがとれて
その逆像 w'1・・w'k は UA^c∪UB^c の要素でないが
UA^c∪UB^c ＝Z なので 矛盾）
この両辺の補集合より
f(UA^c)^c ∩ f(UB^c)^c = φ を得る

f全射により f(UA^c)^c ⊂ f(UA) したがって a∈f(UA^c)^c
UA^c ⊂ UB により f(UA^c) ⊂ f(UB)
したがって b∈f(UA^c) であり not(b∈f(UA^c)^c)

f全射により f(UB^c)^c ⊂ f(UB) したがって b∈f(UB^c)^c
UB^c ⊂ UA により f(UB^c) ⊂ f(UA)
したがって a∈f(UB^c) であり not(a∈f(UB^c)^c)

f(UA^c)^c ∩ f(UB^c)^c = φ であったから
W の任意の相異なる2点 a,b を 開集合で分離できて
Wはハウスドルフ　よって (ii) は真■

>>783
>内部進学生には、大学受験の苦労は分らないかも
要らない苦労はしないほうがいいかも

「ロピタルの定理」は大学１年の頃のＫ教授から聞いた
なんか大学入試のときにこれを使うのがどうたらこうたらいう話
まあでも高校生にこれが証明できるかといえばできないだろうなぁ
だってなにが前提として許されるか明確でないから

＞3元連立方程式のクラメール公式

そもそも3次正方行列のサラスの公式から知らんかったよ
外積で計算する方法知ってれば一般ｎ次で対応できるし
順番変えるときにいちいちひっくり返せばいい
まあ、長さｎの順列なら最悪ｎ（ｎ−１）／２回の交換で済む
高校生のころはそこまで知らなかったし
そもそも必ず有限回でうまくいくことも分かってなかったけど
（もちろん転倒数が一回の交換で必ず１減ることを使えば証明できる）

ただ消去法を使ったほうが断然早いけどな
クラメールを使う意味がマジでわからん　

>>791
>EGAやハーツホーン通りを暗記した人が
>単に暗記を吐き出したような答案を書いたら

暗記しかできない人は数学やっちゃだめだよ
苦しむだけだから

理解は暗記じゃないのかって？
あくまでも主観だけど違うと思うよ

外積∧は多重線形性を満たす
ei∧ei＝0　ei∧ej＝-ej∧ei　

(a11*e1 + a21*e2 + a31*e3)∧(a12*e1 + a22*e2 + a32*e3)∧(a13*e1 + a23*e2 + a33*e3)
= a11*a22*a33(e1∧e2∧e3)+a11*a32*a23(e1∧e3∧e2)+a21*a12*a33(e2∧e1∧e3)+a21*a32+a13(e2∧e3∧e1)+a31*a12*a23(e3∧e1∧e2)+a31*a22*a13(e3∧e2∧e1)　�@

e1∧e3∧e2
=-e1∧e2∧e3

e2∧e1∧e3
=-e1∧e2∧e3

e2∧e3∧e1
=-e2∧e1∧e3
= e1∧e2∧e3

e3∧e1∧e2
=-e1∧e3∧e2
= e1∧e2∧e3

e3∧e2∧e1
=-e2∧e3∧e1
= e2∧e1∧e3
=-e1∧e2∧e3

したがって
　�@
= (a11*a22*a33-a11*a32*a23-a21*a12*a33+a21*a32+a13+a31*a12*a23-a31*a22*a13) (e1∧e2∧e3)

あああ、あほらし(笑)

まあ、大学入試で外積使うのはナシね
外積の正当化なんか答案に書いてる暇ないし（笑）

>>792
理解とは理解したことを使う方法が自然と出て来ることじゃないかね
単に解ったというだけがその入口
次第に感触が見えてくるようになって
どう使えるか自然と出て来るようになるはず

>>791
>だってなにが前提として許されるか明確でないから
適用できない時に適用してしまう間違いもあるわね

>>789
>
>各a'iに対して
>開近傍Ua'iと分離可能な
Ua'ijね

>>785
>もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
a'2∈UB1ですね
それを小さくする仕方が不明
それは簡単に分かるはず
というか定義の仕方で逐次にする必要もまったくないのでもう少し考えるべき
>これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
小さくするのに和集合？

有限性が使われてないのでアレ？と思わなくてはいけない

>>800
∩(j=1〜n)Ua'ijをUa'iとしてるね
これが空でないのは各Ua'ijは
皆aiを要素とするからだから
これが開なのは有限個しかないから

名前については
UBiと対になるように
UAiとしたほうが
よかったかもね

つまり
UA=∪(i=1〜m)(∩(j=1〜n)Ua'ij)
UB=∩(i=1〜m)(∪(j=1〜n)Ub'ij)

ああ、美しい（笑）

>>785の説明だとUBmは無限和でも問題ないことになる

>>789-790
ありがとう

>>>785のゴタゴタした箇所をすっきりさせた

いろんな意見があっていいが
冒頭の定義”ハウスドルフ空間とは、異なる点がそれらの開近傍によって分離できるような位相空間のことである”
には、大きな意味がある
つまり
・あなたは ”Zは ハウスドルフだから”と”Wはハウスドルフ”と ２回ハウスドルフに言及しているが
　そのハウスドルフの定義がない
　そして ハウスドルフの同値な定義が複数あるのです
　だから、最初にこの解答で使うハウスドルフの定義をうたうんだよ
・その記載が 次の「W の相異なる2点 a,b を取る」に繋がる
　答案に 自然な流れができる
　採点者が、冒頭ハウスドルフの定義を見て ”おっ 合格答案の予感”と思う
　そして 答案の流れにそって 読み進めて 『合格答案！』となるのです （＾＾

それから
『（ もし f(UA^c) U f(UB^c) ≠ W とすると
f(UA^c) U f(UB^c)に含まれないWの点wがとれて
その逆像 w'1・・w'k は UA^c∪UB^c の要素でないが
UA^c∪UB^c ＝Z なので 矛盾）』
の部分は、後知恵だが もっと簡略化できるだろう
つまり
UA^c∪UB^c ＝Z の後に
”左右両辺に写像fを作用させて
　式 f(UA^c) U f(UB^c) ＝ W を得る”
くらいにさらっと書くテクニックで
時間節約するのが良さそうと気付いたよ
院試の場では、時間に追われるから１分で貴重だ

あと蛇足だが
開 UA∩UB ＝φ（空）
　↓↑
閉 UA^c∪UB^c ＝Z （全体集合）
の行き来ね
ずっと思い浮かばなくて 仕方ないから 絵を描いたんだ
そしたら これが浮かんでね
思い返すと 位相空間のテキストにもあった気がするんだ
もっと記憶を辿ると 高校か学部かの集合論の初歩で
あった気もする
ともかく 思いださなかったが
言われてみれば 開←→閉の基本事項だね
（位相空間論の初歩だが こっちも素人だった）

あと蛇足だが
みんなもそうだろうが
位相空間論では 開集合を扱うことが圧倒的なんだよ
層と開集合が相性がいいとか言われてね

それで閉が手薄になっている
そこを 東北大は突いてきたんだね
過去問研究としては
”こいつら あえて 閉を出してきたんだね”だ
位相空間論の勉強になりました （＾＾

>>805
789でハウスドルフの定義を削除したのは
単に字数制限をかわすためと思われる

実際には2点の開近傍が交わらないことしか使ってないけど

＞開 UA∩UB ＝φ（空）
＞　↓↑
＞閉 UA^c∪UB^c ＝Z （全体集合）

ここはただのド・モルガンの法則の適用

＞ずっと思い浮かばなくて
＞ともかく 思いださなかったが

位相とは無関係の集合論の基本
思い出さない＝集合論分かってない
ということなので集合論の初歩から
やりなおしな

＞UA^c∪UB^c ＝Z の後に
＞”左右両辺に写像fを作用させて
＞式 f(UA^c) U f(UB^c) ＝ W を得る”

任意の写像ｆではダメだよ
ｆが全射じゃないと成立しない

いちいち必要な条件が抜けるのは
論理的に考えてない証拠

それじゃ落ちるよ
大学院に行っても数学の研究できないから
間違った証明で論文書いても査読通らない

試験時間内に証明を書くには
あらかじめ想定される問題は
解いておくのが最適

その場で思いつけると思ってるならおめでたい

>>803
完璧ですね

>>801-802
ありがとうございます。
スレ主です

>>もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
>a'2∈UB1ですね

そうかな？
１）記号の濫用として a'2 ⊂UB1が ありか どうか？ ありでは？
２）院試採点として a'2 ⊂UB1が減点されるか否か？ 減点されるば 記号の濫用と書くか ⊂の意味の拡張を冒頭で断るか

>それを小さくする仕方が不明

具体的な仕方は不要。ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。その一言を省いた

>というか定義の仕方で逐次にする必要もまったくないのでもう少し考えるべき

”逐次にする必要もまったくない”は ありかも知れないが
試験場の現場では 答案が書けるかどうかが 全てです
”逐次にする必要もまったくない”答案があるなら それ書いて （＾＾

>小さくするのに和集合？

"小さく"は、まあ自然語ですが 位相空間論では 許容範囲と思う

>有限性が使われてないのでアレ？と思わなくてはいけない

　>>779 東北大院数学 共通問題R70821 より
”任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする”
で 下記 有限集合：集合が有限であるとはその濃度（元の個数）が自然数である場合にいう
ですね 使ってますよ ”aの逆像を a'1,a'2,・・a'm”と >>785

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
集合が有限であるとはその濃度（元の個数）が自然数である場合にいう

いろいろ残念な答弁です
ただ本人も理解はできたでしょうから
今後はぐたぐたすることもありますまい

>>804
>>>785の説明だとUBmは無限和でも問題ないことになる

ありがとうございます。
スレ主です

１）いまは 問題設定上 UBmは ある点を含む開近傍の和
　即ち 問題設定 >>785 より
　”bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数) とする”としたので
　このn個の点による 開近傍の和
２）そして この開近傍の和と 任意の点aがあって
　それが b'1,b'2,・・b'n のどれとも異なるならば ハウスドルフなので 開近傍で分離可能
　というだけの話
３）”無限和”？ なるほど
　ある点aがあって 列 b'1,b'2,・・b'n・・ → a (n→∞) のときどうか？
　そういうご指摘ね
　だが、それが 問題設定上 はじかれていｂ驍ﾁてことか
　良くできていますね〜 （＾＾

>>811

スレ主です
コメントありがとう

>>810
>具体的な仕方は不要。ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。その一言を省いた
ああここは指摘しておこっと
どう分離するかがこの手の問題のキモなので
何も書かない>>785は採点者を大いに悩ませるでしょうし
>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言
ハウスドルフだからと書いたとしたら
正則との違いを理解してない？と思われるだけかも

ファイバーが有限集合なので
結論は正しいのですが説明は
いろいろ残念というわけです

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>>806-808
>789でハウスドルフの定義を削除したのは
>単に字数制限をかわすためと思われる
>実際には2点の開近傍が交わらないことしか使ってないけど

そうなんだけどね
でも >>686 東北大 R8年度院試の問題文において 定義を省いて 専門用語をぶつけている
但し
”fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
　fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう”
と ここだけ 定義を書いてくれた意図が不明だが
ともかく 位相空間論の用語常識は 分かっているよね？ということで
”ハウスドルフの定義 分かってます”というアピールは可だ。時間もそれほど取らない
但し、定義は正確に書くことね（＾＾

>任意の写像ｆではダメだよ
>ｆが全射じゃないと成立しない

確かに 元のままでも減点されないだろうが
”UA^c∪UB^c ＝Z に
左右両辺に全射fを作用させて
式 f(UA^c) U f(UB^c) ＝ W を得る”
が 正解だろう（普段からきちんと書く習慣をつけるべし）

>試験時間内に証明を書くには
>あらかじめ想定される問題は
>解いておくのが最適

そこ 正に位相空間論の応用だよ
つまり
過去問を点で終わらせずに
点→開集合 に太らせるんだ
過去問分析をやって
点：全く同じ問題が出たら解ける
ではなく
開：類似問題が出たら解ける
にレベルアップさせる
かつ 開を大きく膨らますべし （＾＾
これぞ 真の過去問研究

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>>810
>>もし a'2 ⊂UB1 であれば
>a'2∈UB1ですね
>>記号の濫用として a'2 ⊂UB1 はありでは？

>>UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる
>小さくする仕方が不明
>>具体的な仕方は不要。
>>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。

>>811
>いろいろ残念な答弁です

全く同意

まず∈と⊂を区別しない粗雑な精神の持ち主は
大学院には要りませんね

あと
「ハウスドルフだから 小さくして 分離可能」
はただの呪文なので、何も言ってないのと同じですね

実際は719　789（および803）に述べている通りかと
803はもうこれ以上ないくらい
馬鹿丁寧に書いてるので
ケチのつけようもありませんね
ま、AI使ってカンニングしてるんだから
このくらい書けて当然ですが（笑）

>>778
これがいきなり理解できなければ、ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合の理解から、始めれば良いと思います。

>>814
(引用開始)
>具体的な仕方は不要。ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。その一言を省いた
ああここは指摘しておこっと
どう分離するかがこの手の問題のキモなので
何も書かない>>785は採点者を大いに悩ませるでしょうし
>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言
ハウスドルフだからと書いたとしたら
正則との違いを理解してない？と思われるだけかも
(引用終り)

このスレには
位相空間論の初学者もいると思うので
はっきり否定させてもらうが
１）ハウスドルフは 空間の公理として普通に指定されるケースが多い
２）ハウスドルフ性は、良い性質を持つ
３）その肝が 分離性で 分離可能の一言 でだいたい片付くよ

ハウスドルフ 勉強してね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間

院試とかそういうことを抜きにして
当然ながら聞かれたら即座に打ち返せるのが理想です
ゼミで教授から尋ねられてると思ってやってくださいね
勉強してることをアピールするとかいう言い訳は無用

東大教授時代の小松彦三郎氏だったらこういいますよ
「勉強してそんなんじゃ無駄だから数学やめたほうがいいよ」

ちなみに勉強してない場合だと
「勉強する気ないんなら数学やめたほうがいいよ」

まあ、できない時点で「数学やめたほうがいいよ」は同じってことです（笑）

>>823
＞このスレには位相空間論の初学者もいると思うので

君ね

位相空間論のところを、
集合論・実数論・線形代数理論・群論・ガロア理論…
のどれに置き換えても同じことがいえる

>>824
>当然ながら聞かれたら即座に打ち返せるのが理想です

同意ですね 即座に打ち返したよ >>823
東北大の出題に即して 打ち返し頼むよｗｗ　（＾＾

>東大教授時代の小松彦三郎氏だったらこういいますよ
>「勉強してそんなんじゃ無駄だから数学やめたほうがいいよ」

下記の >>31 飯高語録だね（＾＾
囲碁将棋で プロ棋士を目指す人
冷や水を浴びせる
「ｘｘへのあこがれにはなるべく早く冷水を浴びせ，どんなに冷たくされても，這い上がってくる者だけを相手にしよう」と思っていました

しかし 「プロを養成するにはそれでよかったのですが，学習院に来てからは教育に熱心になって，8割の学生がわかるようにということを目標にして，なるべく丁寧にやりました」

(参考)
http://math.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/?action=common_download_main&upload_id=1374
飯高茂先生に聞く
さくらインターネット 2013/11/22

P4
3 大学の教員となって
—学習院の前は東大で教えていましたね
大学院できちんと論文を書き上げると助手になり，数年経ったら専任講師になり，結局，18 年間東大で教えていました。
東大では，「わからない人は早く大学院をやめたほうがいい。」「数学へのあこがれにはなるべく早く冷水を浴びせ，どんなに冷たくされても，這い上がってくる者だけを相手にしよう」と思っていました。
研究者を養成するにはそれでよかったのですが，学習院に来てからは教育に熱心になって，8割の学生がわかるようにということを目標にして，なるべく丁寧にやりました
補足：過去スレ 線形代数講義について https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/894

>>826
＞即座に打ち返したよ

中身ゼロなのでアウト

>>827
来た球が 中身ゼロ
ゆえに 打ち返した玉も 中身ゼロｗｗｗｗｗ　（＾＾

東大はともかく、某私大では大学院修士まではお客様なので

●●の鉄則で有名なＴ教授の研究室は
名目上代数学講座になってるけど
実際やってるのはＣＡＩシステム

まあ、某君はここでの仕事で
（数学じゃないけど）
教授になったようなもんだし

>>761
例えば線形代数で同時三角化の話は、かなり頑張って長谷川先生ので見つかったはず。
厚い本には載っているんじゃないかという、辞書的な安心感はある。

>>830
AB=BAの場合に同じ行列Pを使って
P^-1APとP^-1BPが同時三角化できる
って話ですよね？

>>831
そうです。
その話はネットでも殆ど無かったから、わざわざ図書館で調べました。
同時対角化なら、もう少し見つけやすいかもしれませんが。

>>819 自己赤ペン先生

(引用開始)
>任意の写像ｆではダメだよ
>ｆが全射じゃないと成立しない
確かに 元のままでも減点されないだろうが
”UA^c∪UB^c ＝Z に
左右両辺に全射fを作用させて
式 f(UA^c) U f(UB^c) ＝ W を得る”
が 正解だろう（普段からきちんと書く習慣をつけるべし）
(引用終り)

ここちょっと思ったが
”UA^c∪UB^c ＝Z に
左右両辺に全射fを作用させて
f( UA^c∪UB^c ) ＝f(Z) ＝W
を得る
fは 閉写像で UA^c と UB^c が 閉集合であることに注意して
式 f(UA^c) U f(UB^c) ＝ W を得る
ここに f(UA^c) と f(UB^c) は、閉集合である”
くらいか
元の背理法で矛盾を導くのもありだが 試験の現場答案としては 長いか・・
ゼミなら ツッコミにそなえて 背理法論証を用意だろう

>>833
すみませんね、私の赤ペン待ちの書き込みのせいで（汗）
院試のことは取り下げで良いと思いますよ。
（どこかで書かれていたような気がしますが。）

それより姿焼きの方とか、線形代数とかをキッチリして頂きたいですねw

>>821
>「ハウスドルフだから 小さくして 分離可能」
>はただの呪文なので、何も言ってないのと同じですね
ですね
出題でわざわざハウスドルフをテーマにしていて
「ハウスドルフだから」でその使い方を書かずに解答を進めるのは
理解できていると判断するのに躊躇してしまうかも

>>835
ハウスドルフだから2点それぞれの近傍でその交わりが空なものが存在する
と書けば「ああ、それがハウスドルフ空間の定義でしたっけ」ってことになる

院試の（2）の（i）が偽な理由は、>>719の記号を借りるとU−f｛−1｝(w_1)とV−f｛−1｝(w_2)の行き先が、同じになってしまうとマズイということだと思う。
それが実際に、同一視しているところで起きてしまっているのだと感じる。

>>834
>すみませんね、私の赤ペン待ちの書き込みのせいで（汗）
>院試のことは取り下げで良いと思いますよ。
>（どこかで書かれていたような気がしますが。）

これは（ニコ） (^^)君か
ご苦労様です
スレ主です

まだ私の赤ペン先生は 終わってない
もうすぐ終わるだろうが

いま>>789に戻る
これ 考えていたんだ

”各a'iに対して
開近傍Ua'iと分離可能な
Ub’ijの和集合∪(j＝1〜n)Ub’ij
をUBiとし、
UBiの共通集合∩(i=1〜m)UBi
をUBとする
（UBiはb'1,b'2,・・b'nを含むからUBは空ではない）”
は、なるほど これはうまい手筋のような気がする

で、そうすると細かいが
UA、UBとも 開である(∵開近傍の和)
　↓
UA、UBとも 開である(∵UAは開近傍の和、UBは有限個の開近傍の積)
が正解だね

だから
UBiの共通集合∩(i=1〜m)UBi
　↓
UBiの積集合∩(i=1〜m)UBi
として 和と平仄を会すのがいいだろう
（積集合と書いておけば ”有限個の開近傍の積”には、気づいたと思われる）

あとは、なんとなく良さそうだね

>>838
コンパクトハウスドルフ空間は正規空間である証明を、コピペして終わりで良いと思いますよw
院試の話は、やっと落ちついた感じがします。

＞なるほど これはうまい手筋のような気がする

まだテスジなんて自分語使ってんのか

だからマリグナントナルシストはイヤなんだ

>>835-836
前にも書いたが
ハウスドルフは 1点 vs １点の分離しか言っていない
出題は 多点 vs 多点 の分離をどう処理するのか？

そこが出題の眼目なワケで
だから
冒頭には ハウスドルフの定義をビシと書いて
”1点 vs １点の分離”をうたう

そして 答案の 多点 vs 多点 の分離に続ける
それが 流れが良い答案なんだよ

>>839
>コンパクトハウスドルフ空間は正規空間である証明を、コピペして終わりで良いと思いますよw
>院試の話は、やっと落ちついた感じがします。

（ニコ） (^^)君か
スレ主です

やっと エンジンが温まったかい？
結構なことです

では、”良いと思います”という あなたの答案を
ここに 書いて
そうすれば 大団円だよ （＾＾

>>836
ハウスドルフは2点なのでね
屋上屋を重ねるようにするくらいなら>>157
>ZがハウスドルフでF,F'は有限集合だから開集合U,U' をF⊂U、F'⊂U' 、U∩U' = φ と選べる。
で十分取り方の意図は伝わる
>>157は要点押さえたオミゴトな解答だからこそ
最初飛ばしていても理解して飛ばしているんだろうと推測できる

>>840
>＞なるほど これはうまい手筋のような気がする
>まだテスジなんて自分語使ってんのか

数学手筋ありま〜す！ 〇ボちゃん
プロ数学者の御大に聞いてみなｗ （＾＾；

>>842
院試の話は個人的に出尽くしたと思うので、他の話題に移った方が良いんじゃないかと思います。
せっかく名著の話とかも、振ってるんですから。

>>843
(引用開始)
ハウスドルフは2点なのでね
屋上屋を重ねるようにするくらいなら>>157
>ZがハウスドルフでF,F'は有限集合だから開集合U,U' をF⊂U、F'⊂U' 、U∩U' = φ と選べる。
で十分取り方の意図は伝わる
>>157は要点押さえたオミゴトな解答だからこそ
最初飛ばしていても理解して飛ばしているんだろうと推測できる
(引用終り)

分かってないね
それこそが 牛刀を使う話だよ>>768
出題者は 院の受験生に対して
a)ちゃんと位相空間論のハウスドルフを理解して 使いこなせるか？を見ている
b)だから ちゃんと理解して 使いこなせています！ が 伝わる答案が合格答案なんだよ

>>845
？
なら >>839の
>コンパクトハウスドルフ空間は正規空間である証明を、コピペして終わりで良いと思いますよw
は 取下げておくれ

”良いと思います”という あなたの答案を
ここに 書くか
あるいは 取り下げるか

２択問題だよ

>>719と>>837でもう十分なんじゃないですか？（自分で書いたところは、あまり自信がありませんが。）
まあ、気が済むまでやっちゃって下さい(⁠^⁠^⁠)

>>848
>>>719と>>837でもう十分なんじゃないですか？（自分で書いたところは、あまり自信がありませんが。）

意味が分からない
院試答案として書いてね
とお願いしている
つまり 問題には
コンパクト
正規
の２条件なしだよね
これを 院試問題とどう整合させるのか？

>まあ、気が済むまでやっちゃって下さい(⁠^⁠^⁠)

ええ （ニコ） (^^)君 あなたのために　（＾＾；

まあ、書かない
書けない
なら
取下げとみなします