>>749-751を踏まえて

追加質問
空間が１点に収縮可能な場合、そのベクトル束は自明になりますか？

回答
はい、普通に考えている状況（特に微分幾何やトポロジーの文脈でよく出てくるケース）では
「はい、自明になります」 が正しい答えです。
ただし、少しだけ条件や注意点があるので、丁寧に整理します。

標準的な場合（ほぼすべての教科書・講義で成立するケース）
底空間 B が contractible（収縮可能） で、かつ以下のいずれかが成り立つとき：
・B が paracompact（パラコンパクト）である
・B が compact Hausdorff である
・B が CW複体 である
・B が よく振る舞う多様体（有限次元、第二可算など）である
→ すべての（実・複素）ベクトル束は自明（trivial）になります。

なぜそうなるか（直感的な理由）
contractible ＝ 点に連続変形できる（ホモトピー的に点と同じ）
ベクトル束の分類はホモトピー不変（pullback がホモトピーで同型になる）
点の上ではどんなベクトル束も自明（一点しかないので X × ℝ^k しかない）
だから contractible な底空間の上でも「ホモトピー的に点と同じ」→ すべて自明

典型例
ℝ^n （ユークリッド空間） → contractible → 上のどんなベクトル束も自明
開球 D^n → contractible → 同上
Hilbert 空間（無限次元でもOKな場合が多い）
多くの非コンパクトな多様体（ℝ^n 上の開集合など）

例外・注意が必要なケース（レアケース）
極めて病的な空間（non-paracompact で contractible だけど変なもの）では、
非自明なベクトル束が存在する という例が（集合論的・位相的な極端な構成で）知られています。

例：
Long line やその変種のような non-paracompact な contractible 空間
ある種の "weird" な contractible だが paracompact でない空間

ただし：
こういう空間は普通の微分幾何・代数トポロジーの文脈ではほとんど出てこない
実用的・標準的な多様体・CW複体・パラコンパクトハウスドルフ空間では確実に自明

（つづく）