>>769
>＞牛刀を使えば
>そういう発想はやめたほうがいいと思うなあ

真逆を言っているんだけど >>768は
手持ちの道具のやりくりで なんとか答案を書く工夫

例えば
(参考)>>159
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大院数学 共通問題R70821
2
(1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか
理由とともに答えよ
(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
　偽であるならば反例をあげ，実際に反例になっていることを証明せよ．
　(i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である
　(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である
　ここで，写像f:Z →Wについて
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう
(引用終り)

＜問題分析＞
１）2 (1)；商位相 数学の風景より「商位相空間とは，位相空間の商集合に定まる位相で，自然な射影を連続写像にする最大・最強の位相です。この時の射影を商写像と言います」 https://mathlandscape.com/quotient-top/
　ここで 問題文の”(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}”
　が目くらましで 後の同値「p =q ∈R＼{0}」を先に書いてくれれば簡単だ。が わざと後にしたようだ
　”(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t)”は 原点{0}のみと解して、原点{0}では同値を やめたということ
　よって 位相空間(Y,OY)は、原点{0}以外は実Rと同じ位相（ハウスドルフ）で、原点{0}は2点に分岐して
　原点{0}は一種の特異点で ハウスドルフが破れる。それを見抜けるかが勝負だ
２）2 (2)(i)；wikipediaより 開写像と閉写像”閉写像補題 (closed map lemma) は次のように述べている。コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y へのすべての連続関数 f : X → Y は閉かつ 固有写像 （すなわちコンパクト集合の逆像はコンパクトである）である。この結果の変種は次のように述べている。局所コンパクトハウスドルフ空間の間の連続関数が proper であれば閉でもある” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%A8%E9%96%89%E5%86%99%E5%83%8F
　この知識で、ハウスドルフと閉写像と相性がよく 開は相性よくないという常識が 問われている？
　常識があれば、開写像は 非ハウスドルフと判断できる（2 (1)の誘導と気付けばなお良い。が 答えだけでも書くべし）
３）2 (2)(ii)は、すでに >>686に書いた通り。手持ちの道具でなんとか 問題に食らいつけ