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<答案改訂> (>>722 >>723の赤ペンを入れた訂正版 また >>728のAIを参考にした)
(ii) は真
<証明>
ハウスドルフ空間とは、異なる点がそれらの開近傍によって分離できるような位相空間のことである
さて W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数) とする
a'1,a'2,・・a'm たちと b'1,b'2,・・b'n たちは 互いに異なる
（∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾 ( a'i,b'j はそれぞれ a bの逆像のどれかを表す )）
Zは ハウスドルフだから
a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは 開近傍で分離できる
a'1の開近傍をUa'1とし、
b'1,b'2,・・b'n たちの開近傍の和集合をUB1とする
次に a'2と UB1との関係を考える
もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
この小さくした開近傍を UB2とする
このとき a'2にも UB2と分離した 開近傍Ua'2 が取れる（∵ハウスドルフ）
これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
今、開近傍Ua'1,Ua'2,・・Ua'm たちの和集合をUAmとする
UAm、UBmとも 開である(∵開近傍の和)
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする
この二つは閉集合である（∵開の補集合）
分離出来ているので UAm∩UBm ＝φ（空）である
補集合は UAm^c∪UBm^c ＝Z である

閉写像fを使うと、 全射より f：Z→Wであり
W内に閉集合f(UAm^c)とf(UBm^c)とを得るが
f(UAm^c) U f(UBm^c) = W である
（ もし f(UAm^c) U f(UBm^c) ≠ W とすると f(UAm^c) U f(UBm^c)に含まれないWの点wがとれて その逆像 w'1・・w'k が存在し それらは UAm^c∪UBm^c は複組まれないことになるが UAm^c∪UBm^c ＝Zに矛盾）

この両辺の補集合より
f(UAm^c)^c ∩ f(UBm^c)^c = φ を得る

f(UAm^c)^cは開で UAmの像として 点a を含む
f(UAm^c)は UBmの像を 従って 点bを含むゆえ f(UAm^c)^cは点bを含まない

同様に f(UBm^c)^cは開で UBmの像として 点b を含む
f(UBm^c)は UAmの像を 従って 点aを含むゆえ f(UBm^c)^cは点aを含まない

f(UAm^c)^c ∩ f(UBm^c)^c = φ であったから
W の任意の相異なる2点 a,b を 開集合で分離できた
よって Wはハウスドルフであり (ii) は真■
追記
・>>694 自己赤ペンは うまく書けていないので 取り下げる （＾＾