>>785のゴタゴタした箇所をすっきりさせた
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さて W の相異なる2点 a,b を取る

逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n
(n,mは1以上の整数) とする

a'1,a'2,・・a'm たちと
b'1,b'2,・・b'n たちは
互いに異なる
∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾
( a'i,b'j はそれぞれ a bの逆像のどれかを表す )

Zは ハウスドルフだから
a'iと b'j は 開近傍で分離できる
(a'iはa'1〜a'm,b'jはb'1〜b'nとする）

各a'iに対して
開近傍Ua'iと分離可能な
Ub’ijの和集合∪(j＝1〜n)Ub’ij
をUBiとし、
UBiの共通集合∩(i=1〜m)UBi
をUBとする
（UBiはb'1,b'2,・・b'nを含むからUBは空ではない）

一方Ua'iの和集合∪(i=1〜m)Ua'iをUAとする

UA、UBとも 開である(∵開近傍の和)
それぞれの補集合をUA^c、UB^c とする
この二つは閉集合である（∵開の補集合）
分離出来ているので UA∩UB ＝φ（空）である
補集合は UA^c∪UB^c ＝Z である