>>803をうけて、>>789を修正してみた

逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n
(n,mは1以上の整数) とする

a'1,a'2,・・a'm たちと
b'1,b'2,・・b'n たちは
互いに異なる
∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾
( a'i,b'j はそれぞれ a bの逆像のどれかを表す )

Zは ハウスドルフだから
a'iと b'j は 開近傍で分離できる
(a'iはa'1〜a'm,b'jはb'1〜b'nとする）

a'iとb'jを分離する、それぞれの開近傍をUa'ij,Ub'ijとし
積集合∩(j=1〜n)Ua'ijをUAiとする

UAiはa'iの開近傍の有限積集合だからa'iの開近傍

Ua'ij と交わらない b'j の開近傍Ub’ijの和集合
∪(j＝1〜n)Ub’ijをUBiとし、
a'i とb'1,b'2,・・b'n の開近傍UBiの積集合
∩(i=1〜m)UBiをUBとする
（UBiはすべてb'1,b'2,・・b'nを含むからUBは空ではない）

開近傍UBはどのUAiとも交わらない
UAiの和集合
∪(i=1〜m)UAiをUAとすると
UBはUAとも交わらない

UA=∪(i=1〜m)(∩(j=1〜n)Ua'ij)
UB=∩(i=1〜m)(∪(j=1〜n)Ub'ij)
UA ∩ UB=φ

UA,UBそれぞれの補集合をUA^c、UB^c とする
この二つは閉集合である（∵開の補集合）
UA ∩ UB=φ　だから
UA^c ∪ UB^c＝Z である