>>121
（ニコ） (^^)君 よろしくね
今年８月受験生の手本を頼むぞ （＾＾；

つまり
下記 2(2)(i)解答として
成否で 否と書いて
次に 具体的な反例を書く
　>>116 >>112のような抽象的な話は あとの理由付けで使う
つまり、具体的な写像fを作って
そして それが
f は連続な開写像であり しかし Wはハウスドルフ空間ではない
例になっていることを 略証して
（院試答案としてはここまでで十分だが）

さらに
その背景として >>116 >>112のような抽象的な 理由付け
を 今年の受験生向けに 一席ぶつでも良い　（＾＾

(参考)>>30
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大院数学 共通問題R70821
2
(1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか
理由とともに答えよ
(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
　偽であるならば反例をあげ，実際に反例になっていることを証明せよ．
　(i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である
　(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である
　ここで，写像f:Z →Wについて
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう
(引用終り)