Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 88

前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということか）
https://www.mathunion.org/icm/icm-2026
ICM 2026
https://www.icm2026.org/event/ac193975-5d24-4628-8c30-ddb23de19a8b/catalog
Titles & Abstracts

https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops

＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz （J. Stix IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）
(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく

つづき
math_jinさん 情報早いな 尊敬しています
https://x.com/math_jin/
math_jin
ICM2030招致委員会
ICM2030 (International Congress of Mathematicians 2030) の招致・開催に向けて設置されました．本ページでは招致に向けた活動について情報共有を行います．
https://mathsoc.jp
午前11:26 · 2025年7月30日

(参考)
応援スレ67 ://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1653712154/794
>二つの直線が交わるということが起こりながら交わらないとか。
>本来だったら矛盾が起こるようなことを、活用できないかと考えた

例えば、（下記）クラインの壺
3次元空間内では交わる
しかし、次元を上げ、4次元あるいは5次元なら交わらない

と、同様に、従来の数学では実現出来ないことが
望月の圏論幾何で実現できているってことでしょ

Hiraku Nakajima、Masaki Kashiwara, Akio Tamagawa氏らは分かっているんじゃない？
それを、不毛な対立を解いて、一般数学者に分かるようにするのが、新総裁の役割でもあるでしょ （＾＾

（参考）
://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%A3%BA
クラインの壺（クラインのつぼ、英: Klein bottle、独: Kleinsche Flasche）は、境界も表裏の区別も持たない（2次元）曲面の一種で、主に位相幾何学で扱われる。

ユークリッド空間に埋め込むには4次元、曲率0とすると5次元が必要である。3次元空間には通常の方法では埋め込み不可能だが、射影して強引に埋め込むと、自己交差する3次元空間内の曲面になる。その形を壺になぞらえたものである。
(引用終り)
つづく

つづき
(参考)
応援スレ67 ://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1653712154/866
>【検証】どうして望月新一はICM2022で何の賞もなかったの？
>「100%の自信をもって」アクセプトしたんだよね？
>「アリの這い出る隙間もないほど完璧な」査読を行ったんだよね？

１）囲碁将棋に例えると、難しい詰将棋があるとして、囲碁の人に説明しても理解されないが如し
（あるいは、逆に将棋の人に難しい詰碁を説明するが如し）
（一つ一つのロジックは単純でも、数十手以上とか長手数になると、その道のプロ以外には理解が難しいってこと）
２）21世紀の数学は専門が細分化されているから、遠アーベルというゲームのルールに疎いおっさん（ショルツェ氏）は
　遠アーベルの難しい詰将棋が理解できなかったんだ
　もっと言えば、説明の途中で時間切れになって、おっさん”プッツン”したんだ
（怒らせたやつが居たらしいね。どっちが先か知らんけどｗ）
３）で、中島氏は数年にわたる時間を、査読編集委員としてかけて、ようやく理解したんじゃないの？
　これを疑問に思うやつ、直接聞くか、聞ける知人にヒアリングしてもらえよ！ｗ
４）遠アーベルというゲームを、世界の一般数学者に分かってもらう努力が、求められる
　せめて、IUTの入口まで。そして、IUTに対する評価を確立すること
　これをオーガナイズするのが、中島総裁の仕事の一つだろう。それも含めての人選と見ている
追伸
・日本数学会が、5人論文に論文賞を！ 日本がリーダーシップ発揮を！！

つづく

つづき
://mainichi.jp/articles/20200403/k00/00m/040/295000c
望月教授「ABC予想」証明　斬新理論で数学界に「革命」　京大数理研「完全な論文」【松本光樹、福富智】毎日新聞2020年4月3日
(抜粋)
://cdn.mainichi.jp/vol1/2020/04/03/20200403k0000m040296000p/6.jpg
会見には同研究所の柏原正樹特任教授と、玉川安騎男教授が出席。
2018年にはピーター・ショルツ独ボン大教授が望月論文に疑義を唱え、その行方に注目が集まった。玉川教授は「望月教授自身が反論もしており、（ショルツ教授からの）再反論もない」などとし、論文の価値判断に影響はないとの認識を示した。
玉川教授は「全く新しい理論で、さらなるインパクトを生み出す可能性がある。この研究所を中心として世界的に研究が活性化すれば喜ばしい」と胸を張った。
://www.youtube.com/watch?v=7BnxK_NMwaQ
数学の難問ABC予想　京大教授が証明　30年以上未解決 2020/04/03 FNNプライムオンライン

＜IUT国際会議 2つのシリーズ＞
1．
://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-schedule.html
RIMS
Promenade in Inter-Universal Teichmüller Theory
Org.: Collas (RIMS); Dèbes, Fresse (Lille).
The seminar takes place every two weeks on Thursday for 2 hours by Zoom 17:30-19:30, JP time (9:30-11:30, UK time; 10:30-12:30 FR time) — we refer to the Programme for descriptions of the talks and associated references. ://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf

://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/project-2021-japanese.html
宇宙際タイヒミューラー理論の拡がり
（４回とも無事終了です）
なお、東大の重鎮 Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan)先生
8月末〜9月初めの二つのIUT会議に出席したようです
つづく

つづき
参考
://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/iut1.html
宇宙際タイヒミューラー理論への誘い（いざない）2021-08-31?2021-09-03
Confirmed participants include:
Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan),

://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/iut2.html
宇宙際タイヒミューラー理論サミット２０２１ 2021-09-07?2021-09-10
Confirmed participants include:
Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan),

://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月 過去と現在の研究
://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Invitation%20to%20view%20IUT%20workshop%20videos.pdf
20211117
世界の数学者に向けた、今年度の宇宙際タイヒミューラー理論関連集会のビデオ閲覧の招待状を掲載。

ここでの議論のために、用語を整理しましょう
宇宙：素朴集合論ベン図の宇宙Uを Uven、基礎論の宇宙をUfnd、望月氏独自用語の宇宙Umtz
（fnd：Foundations of mathematics）
＜以下 望月氏独自用語の宇宙Umtz について＞
https://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
ANABELIANARITHMETICGEOMETRY-ANEWGEOMETRYOF FORMSANDNUMBERS:Inter-universalTeichmüllertheoryor “beyondGrothendieck’svision” BenjaminCollas‡Version12/04/2024
P13 Fig. 13. Inter-universal Teichmüller theory.
注）Fig. 13の 右の端の図で 浮き輪が二つある。 間をθ-link がつなぐのです
この 左右浮き輪が 二つの宇宙で θ-link がつなぐから 宇宙際らしい（どこか別の文献にもあった気がするが 見つからないので これで代用）
同P13 で
”The category-theoretic approach of inter-universal Teichmüller geometry results in a rich and evocative language for guiding mathematical thinking25: objects exists in étale-like and Frobeniuslike flavors– depending on whether one regards an object as anabelianly reconstructed, e.g., from Galois groups, or, alternatively, as an object that is only defined relative to a particular ring or monoid structure.”
とあって、”category-theoretic approach”圏論やってます だね

つづく

つづき

なお
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF
P1
§1 圏のIU幾何
§1.1 Motivation
"F1上のキカが必要"
　↓
"「属性方程式」a∈aを解きたい"
→”通常の集合論を拡大する必要が有る”
§1.2 IUキカによる「解消」：一言でいうと 宇宙(universe)の拡大を使ってラベルを貼る

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体（いちげんたい、英: field with one element）あるいは標数 1 の体 (field of characteristic one) とは、「ただひとつの元からなる有限体」と呼んでもおかしくない程に有限体と類似の性質を持つ数学的対象を示唆する仮想的な呼称である。しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す。通常の抽象代数学的な意味での「ただひとつの元からなる体」は存在せず、「一元体」の呼称や「F1」といった表示はあくまで示唆的なものでしかないということには留意すべきである。その代わり、F1 の概念は、抽象代数学を形作る旧来の材料である「集合と作用」が、もっとほかのより柔軟な数学的対象で置き換わるべきといった方法論を提供するものと考えられている。そういった新しい枠組みにおける理論で一元体を実現しているようなものは未だ存在していないが、標数 1 の体に類似した対象についてはいくつか知られており、それらの対象もやはり用語を流用して象徴的に一元体 F1 と呼ばれている。なお、一元体上の数学は日本の黒川信重ら一部の数学者によって、絶対数学と呼ばれている

つづく

つづき
新一の「心の一票」 - 楽天ブログ shinichi0329/ （URLが通らないので検索たのむ）
math jin：（IUTT情報サイト）ツイッター math_jin （URLが通らないので検索たのむ）

(参考)（この中村博昭は、必読基礎文献です）
https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp18_files/houkokusyu/09-Nakamura.pdf
グロタンディーク・タイヒミュラー理論の話題から
中村博昭（大阪大学理学研究科）
第63回代数学シンポジウム（於東京工業大学，2018年9月）報告集所収
1.Introduction
代数曲線やそのモジュライ空間のエタール基本群を通じて，数体の絶対ガロア群の数論幾何的な働きが大きく映し出される現象が，１９８０年代に等により指摘されて以来，数論的基本群を中心に，遠アーベル幾何学，ガロアの逆問題などの問題群の理解も深められてきた．
1.2道草(復元の話）
筆者が最初に代数学シンポジウムで話をさせて頂いたのは，北大で1989年に開催された第35回代数学シンポジウムであった．代数学シンポジウム報告集は，現時点で電子的に２００４年以降のものは代数分科会のホームページで入手可能だが，それ以前のものは紙媒体で大学毎の数学図書室に所蔵されているものが(ただし所蔵状態は所によりまちまちのようで)ある．幸いにして，筆者の上記の報告集の記事は英訳を[29]として出版する機会を得た（20年後の2009年にケンブリッジの研究所で行った遠アーベル幾何の入門講義の報告を兼ねている．このときの主な内容はGrothendieckの遠アーベル幾何の基本予想「数論的基本群の純群論的構造から双曲型代数曲線を復元する」を，種数0の場合と，楕円曲線ひく1点の場合に解決したことの報告であった．
円分指標の有用性を理解するのに好適な題材であるので，ここで簡単に種数0の点抜きの射影直線の場合に素描しよう．問題は，Uλ:= P1・・（略）とすると
略す

https://www.mathsoc.jp/~topology/topsymp/2017/ts2017all.pdf
第64回トポロジーシンポジウム 2017年
https://www.mathsoc.jp/~topology/topsymp/2017/ts2017Miyachi.pdf
第64回トポロジーシンポジウム 2017年
宮地 秀樹 (大阪大学)
タイヒミュラー空間論の位相幾何学的側面と複素解析的側面の一意化に向けて
— ここでは,タイヒミュラー空間論の位相幾何学側面の中でも無限遠境界を描写す. る Thurston 理論について復習する. 3.1. 考え方. 例 1.2 を用いてタイヒミュラー空間の無限 ...
略

https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmüller space
In mathematics, the Teichmüller space
T(S) of a (real) topological (or differential) surface
S is a space that parametrizes complex structures on
S up to the action of homeomorphisms that are isotopic to the identity homeomorphism. Teichmüller spaces are named after Oswald Teichmüller.
The sub-field of mathematics that studies the Teichmüller space is called Teichmüller theory.

つづく

つづき

History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826–1866), who knew that
6g−6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g≥2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).

The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.

https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
p進タイヒミュラー理論
p進タイヒミュラー理論（ピーしんタイヒミュラーりろん）は、数学者の望月新一によって開発された数学の理論である。この理論は、古典的なタイヒミュラー理論をp進数体の世界に拡張したもので、p進曲線とその構造を決定する係数の「一意化」を扱う理論である。
通常の宇宙際タイヒミュラー理論は、リーマン面を研究対象とし、そのフクシアン一意化、すなわちリーマン面を上半平面から普遍被覆空間への等角写像によって記述することを目指す。この一意化は、リーマン面上の特別な性質を持つ線束（正準固有束）の存在と密接に関係している。この線束は、複素共役によって不変であり、モノドロミー表現が準フクシアンであるという特徴を持つ。
p進タイヒミュラー理論では、古典的なアイデアがp進曲線の文脈で再構築され。具体的には、リーマン面における複素共役の役割は、p進曲線の理論ではフロベニウス自己準同型が担う。同様に、準フクシアンという条件は、積分条件によって置き換えられる。
(引用終り)
つづく

つづき
(参考)
https://hiroyukikojima.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/20130424/1366809361
hiroyukikojima’s blog
2013-04-24
ＡＢＣ予想入門
今回、皆さんにお勧めしたい本は、黒川さんと小山信也さんの共著『ABC予想入門』PHPサイエンス・ワールド新書である。
黒川先生発案の絶対数学(F1スキーム理論）が、数学者コンヌを中心に大きく発展した。第二の進展は、京都大学数理解析研究所の望月新一氏によるabc予想解決宣言である。黒川さんによれば、望月氏もF1数学を使っているとのこと

(参考)＜追加 数論幾何入門の必読参考書＞
https://www.morikita.co.jp/books/mid/007891
数論幾何入門 森北出版
モジュラー曲線から大定理・大予想へ
東京大学准教授 博士（数理科学） 三枝洋一 (著)
《数論幾何学の世界をめぐるための格好のガイドブック》
整数論の問題を幾何学的手法で解く――それが数論幾何学と呼ばれる代数学の分野です。フェルマー予想をはじめ、志村-谷山予想、ラングランズ予想、佐藤-テイト予想、BSD予想、ヴェイユ予想といった魅力的な大定理・大予想を数多く備えながらも、その理論は非常に抽象的かつ難解であるがゆえに、これまで初学者への門戸は開かれていませんでした。
本書は、そんな数論幾何学の世界に足を踏み入れるための入門書です。抽象的な一般論ではなく、「モジュラー曲線」と呼ばれる具体例を軸に解説されているので、特別な予備知識がなくても数論幾何学の考え方が理解できます。
前半では主にモジュラー曲線について解説し、後半では上記の大定理・大予想の内容の理解を目指します。

つづく

つづき

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
星裕一郎 2010
p11
「“輸送” の例を観察するために,
§2 で考察した (Gk ↷ O▷kの同型物である) フロベニオイドを 2 つ
†G ↷ †M,‡G ↷ ‡M 用意しましょう. あえて大袈裟に言えば,
†G ↷ †Mや ‡G ↷ ‡M は, それぞれ 1 つの “数学の世界/宇宙” です.
“p 進局所体の乗法的な数論の研究” とは, 大雑把には,
この †G ↷ †M や ‡G ↷ ‡M の構造の研究に他なりません.
ここで, この独立した 2 つの “数学の世界/宇宙” の間に, エタール的な関連付け,
例えば, 位相群としての同型 α:†G∼→ ‡G を与えましょう.
この2 つの “数学の世界/宇宙”†G ↷ †M,‡G ↷ ‡M と
その間のエタール的な結び付き α:†G∼→ ‡Gというデータが,
“遠アーベル幾何学を用いたエタール的な結び付きによる対象の輸送”
という操作の, 典型的な設定となります. 」

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月新一 出張・講演
[12] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　（京都大学数理解析研究所 2012年12月） PDF
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai.pdf
宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い 望月新一（京大数理研）
P8
Θ-Link:
数体F のbadnonarch. な v においてΘ-linkの両側（＝定義域と値域）のそれぞれの環構造は、環準同型とならない（！）形で関連付けられる：
注: 「抽象的なモノイド等」を扱うようにしないと、log-, Θ-linkのような（通常の環・スキーム論の環構造に対する）「壁＝障壁」を定義することすらできない！
P9
注: 一方、対数・テータ格子の数論的基本群・ガロア群的な部分で構成される´etale-picture に登場する対象たちは、これらの「壁」をすり抜ける力がある！（下図を参照！）
P10
§4. 宇宙際性と遠アーベル幾何
log-link 及び Θ-link
略
は、定義域・値域の環構造と両立しないため、
環構造から生じるスキーム論的な「基点」や、
ガロア群　（　⊆Autfield(k) ！！　）
と、本質的に両立しない！　つまり、log-,Θ-linkの「向こう側」に移行するとき、
“Πv” や “Gv”
は、抽象的な位相群としてしか、「向こう側」のスキーム論に通用しない！
=⇒定義域・値域双方の環構造の間の関係を計算するためには、遠アーベル幾何を活用するしかない！
主定理：　Θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。
P11
主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、
§1で解説したように次のような帰結が得られる。
系:　「Szpiro 予想」（⇐⇒ 「ABC予想」）
つづく

つづき

５）さらに Joshi氏 は、ショルツエ氏の Perfectoids を使った 新証明 Mochizuki's Corollary 3.12 を提案している（望月はダメだが、これが良いのだと）
（でも、ショルツエ氏と望月氏 両者から ダメ出しがあるらしい）
https://math.arizona.edu/~kirti/
Preprints
5 arXiv:2401.13508 [pdf, ps, other] math.AG math.NT
Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces III: A `Rosetta Stone' and a proof of Mochizuki's Corollary 3.12
Authors: Kirti Joshi
Submitted 24 February, 2025; v1 submitted 24 January, 2024; originally announced January 2024.
例えば
10.4 Perfect Frobenioids and Perfectoids . . . 132

ともかく、これらを 理解できる出来ないは別として
チラ見くらいはして 議論すべきですよ
そうしないと 議論が上滑りです
以上

つづく

つづき
＜icm 2026＞
https://arxiv.org/search/?query=icm+2026&searchtype=all&source=header
Showing 1–41 of 41 results for all: icm 2026

＜2012-09-21 檜山正幸さん、さすが 全然古くない＞
https://m-hiyama.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/20120921/1348209872
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 2012-09-21
・テレンス・タオのコメント
圏論的、位相的な手法による対象の比較だけでなく、モデル論的な手法も有効なんじゃないか、といった話です。なんでここでモデル論が出てくるかと言うと、件の論文 Inter-universal Teichmuller Theory IV の第3節がモデル論っぽい内容だからです。
しかし、タオは次のようにも述べています
So perhaps all the set and model theory here is in fact something of a red herring as far as the application to ABC is concerned, and are primarily relevant for further development of Mochizuki's inter-universal geometry instead? (Among other things, this would render the issue of the non-conservative nature of Grothendieck set theory somewhat moot.)
"red herring" て何だ？ と辞書（英辞郎）を引いたら「人の気をそらすもの［情報］、おとり」。えっ？
・不思議な第3節
テレンス・タオが "red herring" と言った第3節、ここは不思議に読めます。ほんとに不思議な感じなんですが、第3節は、実例を除けば数論の知識は不要です。公理的集合論と圏論の基本的な知識があれば（おそらく）読み進めることができます。って、僕は結局ちゃんと読んでませんが、時間をかければ読めそうな感じがあります。
この第3節は、書きかけの教科書の一部のように唐突に終わってしまいます。
・Inter-universal理論と圏の幾何学
Inter-universalのuniverse（宇宙）とは何なのか、正確なところはわかりませんが、グロタンディーク宇宙かそれに近いものでしょう。
ある命題が、単一の宇宙だけでなく複数の宇宙で成立していることが分かれば、特定の宇宙においてよく知られた命題を他の宇宙でも主張することができ、それは新しい発見かもしれません。あるいは、宇宙Uで成立する命題は宇宙Wでも成立することが保証されれば、宇宙Uの固有の事実や知見を使って証明した命題がWでも使えることになります。
… って、レストランのドアが開いたときにただよってきた匂いを根拠にそのレストランのコース料理の紹介をするような真似をしているので、これ以上はやめます(苦笑)。
でも、望月新一さんが、数論の特定問題にアタックするための道具以上のナニカを開発しているのは確かでしょう。2005年に玉川安騎男さんによって書かれた「望月新一さんの数学」（http://mathsoc.jp/publication/tushin/1001/tamagawa2.pdf）のなかに：
最近の望月さんは, 自身のホッジ・アラケロフ理論の研究を大きく展開（転回？）させて, 圏論を基礎とする全く新しい幾何学の壮大な理論の構築とその数論的応用を精力的に研究されています.
と書かれています
・未来から来た理論
テレンス・タオがコメントをつけていたブログは、Jordan S. Ellenberg （http://www.math.wisc.edu/~ellenber/）が書いているQuomodocumque（http://quomodocumque.wordpress.com/）ですが、その記事に次の文章があります。
略す
つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%87%BB%E8%A3%BD%E3%83%8B%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%99%9A%E5%81%BD
燻製ニシンの虚偽（くんせいニシンのきょぎ）、またはレッド・ヘリング（英語: red herring）は、本来の問題から注意をそらし、論点をすり替える論理的誤謬を指す用語である。また、ミステリーや探偵小説などで、読者や登場人物を誤った結論へ導くために用いられる文学的手法を指す語でもある[1] [2]。
論理的誤謬
非形式的誤謬としての「燻製ニシンの虚偽」は関連性の誤謬の一形態である。相手に反論する際に、本来の問題（論点）から他の問題へと注意をそらしたり、無関係な論点を導入して推論を行う誤り[3] [4] [5]。「論点変更の虚偽」（Mutatio Elenchi）の同義語

勝手な Simplification
勝手な略図を作って「ここに、ギャップあり」で「元の論文の証明でも、ギャップがある」と
冷静に考えれば、勝手な略図でギャップを論じても 元の論文の証明がどうかは 全く別の話
ドイツの若き天才数学者は、この単純な ストローマン論法 に無知だった。若いから・・
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_Teichm%C3%BCller_inter-universale
Teoria di Teichmüller inter-universale 宇宙間タイヒミュラー
(機械訳)
ショルツとスティックスとの論争と出版
2018年7月16日、ショルツとスティックスはボン大学のウェブサイトに「なぜabcは依然として予想なのか」という報告書を掲載し、彼らの見解では望月の不等式がなぜ誤りなのかを説明しています。
望月の不等式は、IUTの基本的な結果および構成要素の一つです。望月によれば、この不等式を導いた系 3.12 のステップ XI (図 3.8 の下) の計算 (二重の和) 中に、彼は誤ってスカラー係数j 2を右辺に挿入したため、最終結果は全く異なる本質的に内容のない不等式となり、abc 予想の証明につながるアルゴリズムでは使用できません
略
この図では、同型性によれば、抽象シータパイロットオブジェクトはシータ因子の算術次数を一切エンコードしない。望月はグラフの左側にスカラー因子j 2を挿入しようとしたが、この挿入はモノドロミーにつながり、ひいては根本的な矛盾が生じる。ショルツとスティックスによれば、IUTにおける実数のコピーの一貫した同一視は、このスカラー因子を許容できない。たとえこのスカラー因子を保持できたとしても、この図は少なくとも O( l 2 ) 倍の交換性を持つため、系3.12の不等式は役に立たず、abc予想や類似の予想の証明全体が誤りであり、修復不能である

つづく

つづき

不等式の反証は、2人の学者が重要ではないと指摘した IUT のいくつかの単純化にも依存しています。そのいくつかは粗雑で、ホッジ劇場を双曲曲線Xに抽象的に同型のより単純な曲線に置き換えたり、同一のオブジェクトを異なるものと見なす代わりにそれらの間の方程式を使用したりしています。特に、ホッジ劇場は、原点がないため、一度穴があいた楕円曲線から派生したデータのセットに過ぎません。2 人の学者はまた、彼らの意見では、基本群を扱うことが必須となる点はないため、IUT の多くの部分に対する遠アーベル幾何学は群論と等価であると付け加えました。次に、エタールのようなデータ ( D ) を、内部自己同型を除いて群として考えられる抽象的な位相群 π1 ( X )によって提供されるデータとほぼ定義しました。さらに、フロベニウス的な描像は、本質的に位相群π 1 (X)とモノイドへの作用から構成されるため、エタール的な描像の改良版であると大まかに説明されている。望月は過度の単純化は許されないと主張したが、二人の学者は彼の反論に納得できないと反論した
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3
ストローマンは、議論において、相手の考え・意見を歪めて引用し、その歪められた主張に対してさらに反論するという間違っている論法のこと

＜grokipedia IUTにおける”宇宙”説明抜粋＞ （これ面白いぞ）
https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
Inter-universal Teichmüller theory
(google訳)
l≥5[ 1]この理論は算術構造の標準的変形に焦点を当て、非アルキメデス的対数シータ格子と遠ベル的再構成法を導入することで、スキーム理論的なホッジ・アラケロフ理論の限界を克服し、幾何学的オブジェクトの互換性のない「宇宙」間でデータを比較します。[2]この理論の核となる革新性は、「ホッジ劇場」の構築にあります。これは、多重放射表現と宇宙間同型性を容易にし、ディオファントス設定における高さと値を正確に制御することを可能にします。[1]

導入
定義と概要
IUTの重要な特徴は、その「宇宙間」特性である。これは、非アルキメデス的かつ遠アーベル的な手法を用いて、異なる算術データの「宇宙」（本質的には同一の基礎構造の異なるラベル付けまたは表現）間に、シータリンクなどの同型性を確立することを包含する。 [1]これらのリンクは、フロベニオイド理論的要素と対数シータ格子要素を橋渡しし、これらの宇宙間で算術的正則構造を比較することを可能にする。[1]

歴史的発展
望月氏の貢献
3部構成のシリーズ「絶対遠アーベル幾何学の話題」（2012年から2015年にかけてのRIMSプレプリント）で詳述されている。これは、数体上の真双曲曲線の基底体、関数体、および尖点化データを、それらのエタール基本群から復元するためのアルゴリズム的手法を提供する。これらの定理は、解ける閉包の全体的再構成アルゴリズムによって例示され、数論幾何 学への「モノ遠アーベル」アプローチを可能にし、IUT の宇宙間構造の直接の前身として、数体上の標準的な持ち上げと変形を強調しました。

つづく

つづき
IUTの概念自体は、p進理論、モノアーベル再構成、ホッジ・アラケロフ構成におけるこれまでの革新を統合し、数体のための統一的な算術的タイヒミュラー枠組みを構築した2006年から2010年頃に誕生しました。この時期には、「宇宙間」変形、すなわち異なる算術データの「宇宙」が正準同型によって結び付けられる変形の徹底的な探究が行われ、2012年にはIUTを正式に定義する4つの画期的なプレプリントが発表されました。対数シータ格子とアーベルアルゴリズムを統合することで数体間の変形を可能にし、アーベル算術幾何学の軌跡の頂点を成すものでした

p進タイヒミュラー理論
この古典的なp進枠組みは、複数のp進付値が相互作用する設定に変形を拡張することで、宇宙間タイヒミュラー理論への橋渡しとなり、剛性特性を維持しながら、異なる算術構造間での「宇宙間」比較を可能にする。これは、p進解析的データとエタール基本群再構成を混成することで、遠アーベル再構成に簡潔に結びつく

理論的枠組み
インターユニバーサリティ
宇宙際タイヒミュラー理論において、「宇宙」という基本概念は、ホッジシアター内の初期データと終端データのペアを指し、ガロア圏を備えたスキームや、単位群や値群を含む局所体の組合せ論的次元や算術的次元といった、異なる数学的構造を包含する。[9]これらの宇宙は、素数によって厳密に分離されている。素数によって、局所体の変化や数体の完備化を反映することで、異なるp進位における算術的性質が定義され、それによって、大域的埋め込みに依存しない局所-大域的分離が保証される。この分離は、素数を抽象的な位相群として扱い、理論の本質的な焦点を維持するために従来のガロア群構造に依存することを回避している
宇宙間変形のメカニズムはIUTの橋渡し哲学の中核を成し、グローバル座標を呼び出さずに一つの宇宙から別の宇宙を再構築することを可能にする。抽象的な位相群上で動作する遠アーベルアルゴリズムを活用し、対数リンクやクンマー理論を介したΘ-およびq-絡み合いなどのツールを利用して、宇宙の構造的完全性を維持しながら変形を達成する。意図的に、これらの変形は宇宙間の算術情報の転送を容易にし、統一された座標系を前提とすることなく、異なる算術領域にわたって互換性のあるデータを確立する

IUTにおける宇宙間写像は、同期共役性と切断クンマー理論を通じて構造の同時正則表現可能性を維持しながら、p進位をまたぐ算術正則性の保存の例である。これらの写像は、ログ体積不変性や多重ラジアル表現などの主要な算術特性が変形プロセス中に維持されることを保証し、それによって宇宙間の橋渡しをしながら、さまざまな素数の値での正則特性を保存する。シータリンクは、互換性に必要な論理関係を強制することにより、これらの橋渡しを実現する上で補助的な役割を果たす

多重放射表現
より広い枠組みでは、多重放射表現は、図の可換性を保証するために、対数殻のテンソルパケットのコンテナを構築します。
Θ-パイロット、評価ラベルに依存しない
Fℓ±F ℓ± -対称性。双円錐形 F×μF × μ -プライムストリップは、対数-シータ格子の水平および垂直の矢印の両方に対して不変であり
Θ×μΘ × μ LGPリンクとlog -Kummer対応は、シータリンクと宇宙間写像をまたいで共役を同期させる論理AND関係を生み出す
つづく

つづき

応用と影響
ABC予想の証明
{θj}固定パラメータに対する相対値
qこの比較から、ラジカルが
ラジアン( ab c )素因数の「多重放射状」分布を符号化する
a、b、c グローバルシータリンクは、これらの因子の対数体積が宇宙間変形の下で両立することを保証する。マルチラジアルアルゴリズムを適用してシータ値を並べ替えながら全体的なプロファイルを維持することにより、主張されている証明はこれらの評価の矛盾を制限し、それらを直接的に大きさに結び付けている。

この導出は、シータリンク領域における不確定性を制御するために、宇宙間枠組みに依存している。[28]

他の推測への影響
シータリンクを介したエタール基本群の標準分割を構築することにより、理論は数体上の双曲曲線上の有理点の高さに一様な境界を課し、ヴォイタの高さ不等式と一致し、固定種数の曲線に対して数値的に有効なバージョンを提供する。これらの進歩は、完全な切断予想を仮定せずに profinite 完備化の切断を再構成する宇宙間フレームワークに由来し、それによって次元 1 におけるヴォイタの予測の部分的な確認を提供する。
(引用終り)
以上
つづく

つづき

＜過去スレより再録＞
スレ46 ://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589677271/273
アンチのみなさん、幼稚すぎ
小学生なみ
そういう議論は、本スレが アンチでお願いしますよ
ここでは、大人の議論をしましょうね

１．まず、論文の不正は、「医学・生命科学系の論文」に多い。だが、数学では、いまだ寡聞にして知らず。おそらく、これからも無いでしょう
２．「医学・生命科学系の論文」は、実験結果や診療の結果が記載されるのが普通で、ここは論文執筆者が、やろうと思えば捏造可能だ。しかし、数学では捏造の余地が皆無
　（これは、数学科学部卒でも同意してくれるだろう。同意できないのは、小学生です。どうぞ、本スレが アンチへ）
３．数学では捏造の余地が皆無で、もし意図して不自然なことをしても、すぐバレル。「おまえ、アホやなー」です
　あるいは、「わざと、ワケワカに書く」と小学生はいう。しかし、これも、誰も読めないなら、やっぱ「おまえ、アホやなー」です
４．査読者や、柏原・玉川がグルだとか、小学生はいう
　しかし、そんなことをしても、見る人が見れば、やっぱ「おまえら、アホやなー」です

ワケワカ小学生は、どうぞ相応しいスレへ お願いしますｗｗ（＾＾；
（蕎麦屋さん、数理論理君も、どうぞそちらへｗ）

スレ46 ://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589677271/883
１．RIMSを まず 普通の論文と見れば良いと思うのだが？　つまり、「ちゃんと査読された」ということを認める
２．21世紀の数学は、高度に専門家されているので、専門外の先端の論文を理解するのは一苦労する。ショルツ氏も例外ではない
３．数学の検証に終りがない。査読は一次の通過でしかない。掲載論文のさらなる 拡張 あるいは一般化が検討されるのが普通。あるいは、他の分野への応用とか。その過程で、論文の真偽は常に検証されるものだ
そういう普通の視点で考えれば宜しいのではないですかね？
応援スレだが、この普通のことしか言ってないけどねｗ（＾＾

アンチが
・査読が終わったのは、RIMS内部の陰謀だとか、内部でデタラメをやっているとか
・果ては、数学でSTAPもどきの捏造数学論文事件で、関係者が全員グルだとか

笑える幼稚な議論
それは、別スレでやれよｗ（＾＾；
つづく

つづき
://www.youtube.com/watch?v=0VaEAVbTwhw
【世界で2番目のIUT理論研究拠点 誕生】新しいオンライン大学「ZEN大学」設立に関する発表会｜IUGC 宇宙際幾何学センター
N高等学校・S高等学校 2023/06/06

公益財団法人日本財団と株式会社ドワンゴは、新しいオンライン大学「ZEN大学」を設立します。
2023年6月6日（火）に発表された『IUT理論研究拠点の設立』をご紹介する動画です。

◆Inter Universal Geometry Center
（所長：加藤文元／副所長：イヴァン・フェセンコ）
日本発の世界的な数学理論であるIUT理論を推進・普及し、数学の未来を切り開いていくための研究施設「IUGC（宇宙際幾何学センター）」を設立します。全てのコースに合格すれば、世界中のあらゆる大学の数学科の学生よりもIUT理論の知識が備わります。また、世界初となる、IUT理論を理解する数学者の裾野を広げるためのオリジナル入門講座も開設します。

◆ZEN大学とは
ZEN大学は、すべての人たちを対象にした、グローバル社会で活躍するための素養や教養を身に付けることができる “日本発の本格的なオンライン大学” です。
最先端のテクノロジーと最前線で活躍するプロフェッショナルの教員によって創り出される、質の高いオンデマンド授業を自分のペースで学べ、オンラインだけで大学卒業資格を取得することができます。
また、地域･企業と連携したフィールドワークや国際交流など多様なプログラム活動もあり、実社会で活躍するための実践力を養えます。
ZEN大学 公式サイト：://zen-univ.jp

://www.icbs.cn/en/web/index/18009_1553670__
ICBS Satellite Conference on Algebraic and Arithmetic Geometry
2023 July 12th

Ivan Fesenko (Warwick University and Tsinghua University)
Higher adelic approach to the Tate-BSD conjecture
I will first present basics of two adelic structures on relative elliptic surfaces over Spec of the ring of integers of a number field or a smooth projective irreducible curve over a finite field and of the higher adelic zeta integral. Then I will concentrate on the higher adelic program to prove the equality of the arithmetic and analytic ranks of the generic fibre.

つづく

つづき
＜厳密だけが、数学ではない＞
＜数学と厳密＞
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである

つづく

つづき

数学成熟度 Mathematical maturity https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_maturity
(google訳)
"タオは次のようにアドバイスしています。
厳密な数学的思考に十分慣れたら、その主題に関する直感を再検討し、新しい思考スキルを使用して、直感を捨てるのではなくテストし、改良する必要があります。
厳密さと理論の確固たるスキルを身につけた数学の学生は、視点が数学に対するより包括的なパノラマ的見方へと移り、最終段階へと移行します"

謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗ これでしょうね ；ｐ）
(参考)＜いまリンク切れだが＞
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Henri Poincaré
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Value_of_Science
The Value of Science (French: La Valeur de la Science) is a book by the French mathematician, physicist, and philosopher Henri Poincaré. It was published in 1904. The book deals with questions in the philosophy of science and adds detail to the topics addressed by Poincaré's previous book, Science and Hypothesis (1902).
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学 の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。
つづく

つづき
(参考) （ワンコラさん 細かいところに拘りすぎでしたね。次の seoさん書評ご参照）
https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q?t=1
僕がたどり着いた数学の勉強の仕方…わんこら式数学の勉強法はこうやって生まれた
わんこらチャンネル 2020/05/30
留年繰り返して7年で大学卒業した後
ニートになった僕ですが
そんな僕が挫折を繰り返してきた歴史と、たどり着いた数学の勉強の仕方について動画にしました
この勉強法がわんこら式と呼ばれるようになりました
大学の数学の専門書、解析入門1を使って
数学の勉強法について話します
色々な人の参考になれば嬉しいです

＜文字起こし＞
0:11
この解析入門1
0:14
これで僕は人生が無茶苦茶になりました
0:18
これで
0:19
何回も何回も挫折して
0:22
家に引きこもって
0:24
そして留年しまくって

19:54
分からぬままに授業に入って
19:56
でそれね単位をとって
19:59
ね何とかあの一通り全部
20:02
そういうことをやって行ってから
20:04
こういう問題を見ると あ
20:06
その問題はあの本で見たとか
20:10
この問題はこの考え方は
20:13
あの本の事を 言ってるのかっていうふうに少し先のこと勉強したら結構分かってきたん
20:17
ですよ
20:19
でまぁ逆に言うと先のこと勉強して分からない奴についてはそんなにあの
20:24
別にそんな あの別に いいんで 合格
20:29
するんですよ

20:31
ここはそのあの数理解析系っていうまあ京都大学にその
20:37
ある数理解析研究所ってあるんですけれどもそこのあの
20:41
筆記試験だけそうなんとかパスしたんですけど

つづく

つづき

＜アマゾン書評＞（ seoさん 「様々な数学的分野は互いに互いを前提とする必要があるので、縦割りに順番に習得するものではなく、混じり合い行ったり来たりしながら学ぶものです」 これ至言です。噛みしめましょう！ （＾＾）
解析入門 (1) 単行本 – 1980/3/31
杉浦 光夫 (著)東京大学出版会
書評
seo
5つ星のうち3.0 入門書としては☆ひとつ
2018年6月30日
解析学という書名で良いと思います。
入門とわざわざ付けることは非合理的で、何も良いことはありません。
様々な数学的分野は互いに互いを前提とする必要があるので、縦割りに順番に習得するものではなく、混じり合い行ったり来たりしながら学ぶものです。
よって本書が要求するある程度以上の数学的知識の前提を満たす者は、ある程度解析学にも触れているでしょう。
そういう意味では、本書は解析学の入門者を対象にしておらず、解析学も含めたある程度の数学的形式が頭の中にすでに存在する人を対象にしています。
前提とするものを最小限にし、かつ理解しやすさと厳密性を可能な限り両立させる事ができている本、それがいわゆる良い入門書だと思います。
厳密性と網羅性が優れている本が良い入門書とは思えません。

つづく

つづき
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770118812/833
アインシュタインの物理的な ”直観”が間違っていたのだが
”直観”を捨ててはいけない。修正するんだ

ここから、渕野先生の
＜厳密だけが、数学ではない＞という話につながる
”数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである”

私の数学勉強法は、 Terence Tao“big picture”、加藤文元 メンタルピクチャー を重視する
一冊の数学テキストを読むとき 一つの定理や定義を ジグソーパズルの一つの部品と考えて
どういう絵なのか？ 人物の顔か 風景か？ それを想像しながら 読むってこと
数学ジグソーパズルを解くための“big picture”をつかむ”数学的直観”を鍛える
”数学的直観”は、ヘボはしばしば間違う。それでも良い。”数学的直観”を修正し 鍛え上げていく
それは 将棋や囲碁の勉強法と全く同じだ （＾＾；
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770118812/570

話は真逆だよ
１）高等数学のような対象は、多面的かついろんな切り口（複数の）で理解すべし
　数学史 タイムラインは その一つだ
２）謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
　自分で絵に落とす。見えない物をあえて絵にしてみる

つまり、私見ですが
自分の“big picture”を作るべしです （＾＾

(参考)
(google検索)
謎の数学者 の ”数学に向かない人”
AI による概要
「謎の数学者」として知られるメディアやSNSのコンテンツ（YouTube等）で語られる、「数学に向かない人」の主な特徴は以下の通りです。数学を「暗記」や「計算力」だけで捉え、考えるプロセスを放棄する人が向いていないとされています。
具体的には、以下の3つの特徴が挙げられています。
1. 数学を「暗記」で乗り切ろうとする
・丸暗記に走る: 定理や公式の意味を理解せず、ただ覚えるだけで問題を解こうとする。これは武器を持たずに戦場に行くようなもので、応用が利かない。
・解法を覚えるだけ: 解説の答えをそのまま写して「理解したつもり」になる。なぜその式が導かれるのか、という過程を軽視する。
2. 計算負荷が高すぎて「考える」前に疲れる
・計算が苦痛: 計算力そのものが未熟で、問題の論理構成（考える部分）に到達する前に脳が疲れてしまう。
3. 公式の意味（本質）を理解していない
・目的意識の欠如: なぜその公式を使うのか、その公式が何を表しているのかを理解しようとしない。
・不自然な数値への無関心: 計算ミスで明らかに矛盾した結果が出ても、疑問を持たずにそのまま進んでしまう。

数学力を向上させるためのポイント
謎の数学者は、以下の方法で「向いていない状態」から脱却できるとしています。
・公式の意味を理解する: なぜその式が出てくるのか、考える。
・類題を複数解く: 1つの問題からテーマを見抜くのが苦手な場合、同じテーマの類題を10個ほど解いてデータベースを作る。
・小さな時間から考える習慣をつける: 計算に慣れ、計算負荷を下げてから、論理的な思考に時間を割く
つづく

つづき

(参考)
http://math.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/?action=common_download_main&upload_id=1374
飯高茂先生に聞く
さくらインターネット 2013/11/22
P2
2 大学時代
あるとき，先生が「数列とは何か?」と質問されたのですが，そのとき，私は「自然数から数への写像でしょう」と答えたのです。すると先生は「その通り」と言いました。私は数列の定義を覚えていたわけではなかったのですが，高校時代の勉強で，大学の数学の勉強の方法や考え方が身についていて，自然に答えたのだと思います。

P4
3 大学の教員となって
—学習院の前は東大で教えていましたね
大学院できちんと論文を書き上げると助手になり，数年経ったら専任講師になり，結局，18 年間東大で教えていました。
東大では，「わからない人は早く大学院をやめたほうがいい。」「数学へのあこがれにはなるべく早く冷水を浴びせ，どんなに冷たくされても，這い上がってくる者だけを相手にしよう」と思っていました。
研究者を養成するにはそれでよかったのですが，学習院に来てからは教育に熱心になって，8割の学生がわかるようにということを目標にして，なるべく丁寧にやりました
補足：過去スレ 線形代数講義について https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/894

つづく

つづき

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1769304207/700
(まとめ 再投稿)
https://imgur.com/5pDCNKY
「図解 関数の連続・不連続とε-δ」
拙い図ですが （＾＾

１）図解にあるように
　逆像を考える意味は
　もし 関数y=f(x)が不連続ならば
　象y軸上で 不連続部分 例えばy0として そこのギャップを見つけて
　y0の近傍では 逆像に 不連続の証拠が出る（ε-δ論法を満たせない）
　ということ
２）要するに 不連続とは？ 象y軸上にギャップがあることだが
　しかし、これでは 数学の定義としては いまいちで
　数学的にスッキリした表現として コーシーが ε-δ論法を導入した
３）そこから 位相空間での 写像の連続の定義で
　開集合を 用いた表現が作られた

実関数 y=f(x)で 点(x0,y0)で連続の定義

位相空間論 開集合を使うと
y0の周りに開集合が取れて
　↓ 逆像f^-1
x0の開集合

これから、コーシーの”ε-δ論法”：
”任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：
∀ε >0, ∃δ >0 s.t. ∀x ;[ |x-x0|<δ → |f(x)-f(x0)|<ε]”
を構成するとしよう

y0の周りに開集合→ |f(x)-f(x0)|<ε ∀ε >0 （正のεは任意に小さくできる＝∀）
　↑ f ( "逆像f^-1" を使わず表現する)
x0の開集合 → |x-x0|<δ （あるδが取れる。Rは完備距離空間なので δによる開集合は 自明）

蛇足だが ギリシャ文字 εとδは、アルファベットの e と ｄに対応して
この順が y と x の 語順と整合している

だから
位相空間論
y0の周りに開集合が取れて
　↓ 逆像f^-1
x0の開集合
これだけを覚えておけば

あとは、自然に
上記コーシーの”ε-δ論法”
が すらすらと再構成できる
（お経として コーシーの”ε-δ論法”を暗唱する必要なし！ ）
つづく

つづき
私のつくった下手くそな図
https://imgur.com/5pDCNKY
「図解 関数の連続・不連続とε-δ」
とほぼ同じ図が 下記動画で出てきます （＾＾

下記より
”ユークリッド空間R上の連続関数の同値条件
[定理]連続関数の同値条件
関数 f:R→Rに対して、次は同値である
�@fはR上で（ε-δ論法の定義により）連続である
�A任意の通常の開集合U⊂Rに対し、f^-1(U)はRの通
　常の開集合である”
とあります
（動画で ちょっと 細かい点で 気になるところはありますが いまはスルー （＾＾ ）

(動画解説) 再録
https://youtu.be/919lmVmSqOA?t=575
実数の関数fの連続性を位相空間上に一般化したい！位相空間 ...
YouTube · 速習大学数学【山本拓人】 2025/03/30
24:59
この関数の連続性を一般の位相空間上に拡張することを考えます． 結論としては「位相空間X,Yに対して写像f:X→Yが連続であるとは，任意の開集合U⊂Yに対して，逆像f⁻¹(U)⊂Xが開集合であること」と定義します． この動

あと、収束関連で
フィルター (数学) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
有向点族 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%82%B9%E6%97%8F
も 一緒に勉強しましょう
（類似概念を 混乱しないように うまく学習することも 数学のコツです）
”河野玄斗の言葉 自分で勉強するのが一番効率がいい”(シン応援スレ 84) https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1769304207/190

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/777
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~joe/math/symp/index.html
大沢健夫先生集中講義 神本 丈のホームページ2019 九州大学
タイトル: 解析接続の問題に現れる解析と幾何
講義録 https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~joe/math/symp/ohsawa.pdf
数学はやればやるほど簡単になるはずであり、組み合わせの数は無限であっても、
行き詰るはずはないのである。 岡潔　『一葉舟』(角川ソフィア文庫　 2016)

スレ87 （ニコ） (^^)君 令和8年度東北大 研究科数学専攻入試 投下
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/779-856

つづく

つづき
なお、
おサル＝サイコパス＊）のピエロ、不遇な「一石」、“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶり男で、アナーキストのアホ男です。
なお、IUTスレでは、「維新さん」と呼ばれることもあります。（突然“維新〜！”と絶叫したりするからです（＾＾；　）
( ://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）

1980年代にＷ大数学科に入学するも、初日に（飯高先生みたく）数学科の冷や水を 頭から浴びせられる 洗礼で
即日 詰んだ男。お情けで学部は卒業するも 修士は 情報系に。就職は コンピュータ関係らしいが

就職が 多分ブラックな仕事で 統合失調症の薬を飲むようになったようだ
下記 ”統合失調症では知能低下と脳容積の減少がみられることが知られている”とある
おそらくは 数学”イップス”になったのだろう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%97%E3%82%B9
高等数学の議論が出来なくなったんだ・・ 彼は

(参考)
https://www.carenet.com/news/general/carenet/40333
統合失調症、脳容積とIQの関連
提供元：ケアネット
公開日：2015/07/17
　統合失調症では知能低下と脳容積の減少がみられることが知られている。オランダ・ユトレヒト大学医療センターの久保田 学氏らは、統合失調症患者のIQと脳容積との関連について調査し、統合失調症における進行性の脳組織減少が、発症初期における相対的な認知機能低下と関連している可能性があることを報告した。JAMA Psychiatry誌オンライン版2015年6月17日号の掲載報告。

＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
://kotowaza-allguide.com/to/torinakisatonokoumori.html#:~:text=%E9%B3%A5%E3%81%AA%E3%81%8D%E9%87%8C%E3%81%AE%E8%9D%99%E8%9D%A0%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%81%E3%81%99%E3%81%90%E3%82%8C%E3%81%9F%E8%80%85,%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%81%A8%E3%81%88%E3%80%82
鳥なき里の蝙蝠 故事ことわざ辞典
【読み】 とりなきさとのこうもり
【意味】 鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。
追記
オチコボレ サイコパスおサルの 連れの 落ちコボレさん が、もう一匹います。
「箱入り無数目 (あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)」の連れです https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/
つづく

つづき
＜サイコパスのおサルのバカ発言＞

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/625-
2023年の古新聞を検索したので 下記貼るよ
アホサル は、私が「零因子行列のことだろ？知っているよ」と切り返したら
自爆して 即詰みになった。さすがに アホですなｗｗ　（＾＾；
（次からテンプレへ入れる）

(参考)
＜ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2＞より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/946
946１３２人目の素数さん
2023/04/06(木) 18:03:57.25ID:0vPZ1NRI
ありがとう
棚から牡丹餅というかｗ

つまり
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
　↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
　↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
　↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』

（零因子に無知で 正則行列の条件→「零因子行列であること」と勘違いしているｗ）

確かに「正方行列の逆行列」という表現は、ツッコミどころではあった
（行列という言葉を知らない人のために、あえて正則行列を避けただけの単純な話だったのだが）
それが、おサルの暴発をさそって
『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』まで行けばｗ
怪我の功名というか
こちらとしては、大きな収穫であったｗｗ

（なお、正則行列は線形代数を学べばすぐ分かる話ではあります。用語使いとして正確ではないのだが）
(引用終り)

さらに Grok AI の余因子行列のハルシネーションを解説する ばかサル下記 （＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/185
Grok AI 余因子行列の説明への 赤ペン先生
（Grok AI）；"なぜなら：adj(A) が零行列でないとは限らない むしろ det(A) = 0 のとき、ほとんどの場合 adj(A) = O になる"

つづく

つづき

過去スレ55 ://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/813
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/06/24(木) 20:41:12.45 ID:mlJli1k0 [7/7]
(引用開始)
数学における日本とかいう野蛮な島のジコチュウ●チガイの系譜
オカ、シムラ、モチヅキ
＞"intellectual debt"
確かにモチヅキは数学界に対して「知的負債」を負ってるね
自分の思いつきが論理的に正しいことを示す、という負債をね
(引用終り)
1．「数学における日本とかいう野蛮な島のジコチュウ●チガイの系譜 オカ、シムラ、モチヅキ」
　てめえ、何様のつもりだ？ 5ｃｈ数学板で便所の落書きしている数学落ちこぼれさんでしょ
　何をえらそうに！
2．「確かにモチヅキは数学界に対して「知的負債」を負ってるね
　自分の思いつきが論理的に正しいことを示す、という負債をね」
　てめえ、何様のつもりだ？
　論文書いて、査読してもらって、真摯に対応して査読を通してもらって出版してもらう
　ここまでは、終わったのです（＾＾
3．そして、今年6月末から4回の国際会議で、
　IUT普及の義務を果たします
4．おサルが理解できるように？
　それは無理！
　”（スレ55 ://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623558298/158より）
　＜上昇列　０＜・・・＜ω　が有限列にしかなり得ない
　ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
などという
　これじゃ。三歳児レベルの知能じゃんかｗ
　このおサルには、IUTは百年早いぜｗ（＾＾；
(引用終り)

つづく

つづき

一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）
不勉強、言い訳だけは、いちょまえ
オチコボレ、言い訳だけは、一流だ （追加）
不遇な「一石」“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶりの、アナーキストのアホ男

「ごーまんかましてよかですか?」
「アホな同僚や相手に構うことほど、人生ムダなことはないよね」
by レトリカ・ブログ （学院長 川上貴裕）
百回音読しましょう！ｗ

(参考)
https://dic.pixiv.net/a/%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%82%BA%E3%83%A0%E5%AE%A3%E8%A8%80
ピクシブ百科事典
ゴーマニズム宣言
『ゴーマニズム』とは、『傲慢』から作られた小林氏による造語で、各回の文末には「ごーまんかましてよかですか?」というキメ台詞

https://note.com/dcrg7mgm/n/n3eeb06fd35d0
アホな同僚や相手に構うことほど、人生ムダなことはないよね。
レトリカ・ブログ （学院長 川上貴裕）
2024年11月2日

どうしようもない人（以下、アホ）に限って、「どういうメンタルしているんだ？」、「なんでこんなやつが正規で受かってるんだ！」と思うほど、平然とした顔で、のさばり続けているのですよね。

世の中、理不尽なことばかりです。
略す
上記のように嫌みをこぼす、アホな同僚が、おそらく、皆さんの周りにもいることでしょう。

でも、こんな愚かなアホのせいで、自分の心が疲弊したり、病んだり、最悪の場合、教職を諦めてしまうことになることほど、理不尽なことはありませんよね。

では、こんなアホには、どう対抗すればいいのか。

いえいえ、今日はそんな話ではないのです。

マザーテレサの名言に、
「愛の反対は、憎しみではなく、無関心です。」
という言葉があります。

まさにその通りです。
アホに対して、憎しみをもったり、エネルギーを費やしたり、感情的になったり、帰宅後も脳裏に思い出したりすることほど、人生を無駄にしていることはないのです。
略す
また、田村耕太郎さんの『頭に来てもアホとは戦うな！』という書籍も、おすすめです！ぜひ、読まれてみてください！
(引用終り)

なお、
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
低脳で幼稚なカキコ

上記は、お断りです！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

テンプレは、以上です

>記号の濫用として a'2 ⊂UB1が ありか どうか？ ありでは？

>>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言
>ハウスドルフだからと書いたとしたら
>正則との違いを理解してない？と思われるだけかも
>(引用終り)
>
>このスレには
>位相空間論の初学者もいると思うので
>はっきり否定させてもらうが
>１）ハウスドルフは 空間の公理として普通に指定されるケースが多い
>２）ハウスドルフ性は、良い性質を持つ
>３）その肝が 分離性で 分離可能の一言 でだいたい片付くよ

>>UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる
>小さくする仕方が不明
>>具体的な仕方は不要。
>>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。

>・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
>　↓
>・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」

>「正則行列くらい知っている」と平凡に答えずに
>ひねって 「零因子行列のことだろ？知っているよ」にした

惨めな人ですね

＞記号の濫用として a'2 ⊂UB1・・・ありでは？

a∈{a,b}　で　{a}⊂{a,b}　だが　a⊂{a,b}　ではない

これわかんない人は、集合論わかってない

>>「正則行列くらい知っている」
>>と平凡に答えずにひねって
>>「零因子行列のことだろ？知っているよ」
>>にした

そのせいで階数（ランク）知らないとバレたヌケサク

>>43
>惨めな人ですね

数学を理解できないことは、惨めではないが
数学を理解できないのに理解したと嘘ついて
聞きかじりの知識を吹聴するのは、惨め

学校教育は、学問に興味ないのに、
賢いと社会で認められる、というだけで
中味もないのに利口ぶる残念な人々を
大量に生産してしまった点で罪深い

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/990
990１３２人目の素数さん ID:i+lzYXly
2026/03/10(火) 06:48:24.29
>線形代数ばかりだったから、
>このまましばらく位相を漂っていて良いかも。

ということで、AIに訊いてみた（そればっか）

ーーー
位相（一般位相空間論）で本当によく出る・本質的に重要な事柄を、重要度順にまとめます。
初級〜中級レベルを想定しています。

位相で本当に大事な10項目（ほぼこの順で理解度が決まる）

順位　項目
なぜ重要か（一言）
頻出度

1位　開集合・閉集合の定義と性質
位相の土台そのもの
★★★★★

2位　近傍・近傍系・基本近傍系
「近く」という概念をどう定義するか
★★★★☆

3位　連続写像の3つの同値な定義
位相を扱う最大の目的
★★★★★

4位　部分空間位相・商位相・積位相
具体的な位相空間のほとんどがこれで作られる
★★★★☆

5位　閉包・内部・境界
集合の「中身・外・境目」を正確に捉える
★★★★☆

6位　連結性・弧状連結性
「切れ目がない」ことの本質
★★★★☆

7位　コンパクト性（開被覆定義）
有限性・極値の存在・一様連続などにつながる
★★★★★

8位　第一可算・第二可算・分離公理
空間の「良さ」の尺度
★★★☆☆

9位　ハウスドルフ性（T₂）
「点が分離できる」最も基本的な分離公理
★★★★☆

10位　コンパクト ⇒ 閉有界（Rⁿでは）
Heine-Borelの定理（Rⁿでは同値）
★★★☆☆

>>48の続き　重要概念ごとに良い演習問題例（実際に手を動かして欲しいもの）

1. 開集合・閉集合・近傍

問題A
実数直線ℝ上で通常の位相を考えたとき、集合 A = (0,1] ∪ {2} は
(a) 開か？閉か？どちらでもないか？
(b) 内部 Int(A) と閉包 Cl(A) を求めよ。

問題B
Xを任意の集合、O = {∅, X}（密着位相）とする。
このとき、Xの任意の部分集合はすべて閉集合でもあることを示せ。

2. 連続写像

問題C （これが一番重要かも）
f : X → Y が連続であることと、次の3条件が同値であることを示せ：
・任意の開集合 V ⊂ Y に対して f⁻¹(V) が X で開
・任意の閉集合 F ⊂ Y に対して f⁻¹(F) が X で閉
・任意の x ∈ X と y ∈ Y について、y が f(x) の近傍なら、x の近傍 W が存在して f(W) ⊂ V

3. 部分空間・積空間・商空間

問題D
ℝ²の部分集合 X = {(x,y) | xy = 0} （十字架＝x軸∪y軸）
このXに部分空間位相を入れたとき、Xは連結か？弧状連結か？

問題E （定番良問）
ℝの通常位相と、ℝの両端を同一視した商空間（つまり円周S¹）は同相でないことを示せ。

4. 連結性

問題F
実数直線ℝから点1個を取り除いた空間 ℝ \ {0} は連結か？弧状連結か？

問題G
集合 A = [0,1) ∪ (1,2] ∪ {3} （実数直線上の部分集合・部分空間位相）
Aは連結か？

5. コンパクト性

問題H （超重要）
[0,1] がコンパクトであることを、
「開被覆から有限部分被覆が取れる」定義を用いて直接証明せよ。（ε-δ論法ではなく）

問題I
ℝはコンパクトでないことを、具体的な開被覆を構成して示せ。

問題J （頻出）
単位円 S¹ = {(x,y) ∈ ℝ² | x² + y² = 1} はコンパクトか？
（ヒント：Heine-Borelでもよいが、開被覆で直接やってもよい）

6. 分離公理・可算公理

問題K
実数直線ℝ（通常位相）は第二可算であることを示せ。
（可算な開基を具体的に構成せよ）

問題L
密着位相（O = {∅, X}）の空間はハウスドルフか？T₁か？

>>47
(引用開始)
学校教育は、学問に興味ないのに、
賢いと社会で認められる、というだけで
中味もないのに利口ぶる残念な人々を
大量に生産してしまった点で罪深い
(引用終り)

違うよ
１）昔 読み書きソロバンと言った
　ソロバンが算数でね
　戦前は、義務教育は小学校までで 算数で終わり
　戦後は、義務教育は中学校までで 数学が加わる
　そして、今は殆どが高校へ進学する。ちょっと高度な数学を学ぶ
２）なんでそうなるの？
　それは、社会が高度化しているからだ
　つまり、江戸時代とか戦前とか 社会で使われる学問レベルが低い
　いまは、社会で使われる学問レベルが高い
　高校で学ぶレベルでは足りない
　大学で学ぶレベルでは足りないだろう
　社会人になっても 学びは必要
３）プロの養成と 一般アマの教育とは違う
　>>28 飯高茂先生に聞く
”—学習院の前は東大で教えていましたね
大学院できちんと論文を書き上げると助手になり，数年経ったら専任講師になり，結局，18 年間東大で教えていました。
東大では，「わからない人は早く大学院をやめたほうがいい。」「数学へのあこがれにはなるべく早く冷水を浴びせ，どんなに冷たくされても，這い上がってくる者だけを相手にしよう」と思っていました。
研究者を養成するにはそれでよかったのですが，学習院に来てからは教育に熱心になって，8割の学生がわかるようにということを目標にして，なるべく丁寧にやりました”
　つまり、プロ＝数学で給料を貰える アカデミックポストは限られる
　あたかも 囲碁将棋のプロと同じ。食えるプロになるのは大変だ
　が、アマは気楽で良い＝学習院での教育

>>50
＞違うよ
違わんよ

＞・・・でね
そのキモチワルイ喋り、直せよ
おまえ、歳いくつだよ

＞いまは、社会で使われる学問レベルが高い
＞高校で学ぶレベルでは足りない
＞大学で学ぶレベルでは足りないだろう
そういうおまえ、大学１年レベルに到達してないじゃん
それで、ン十年のサラリーマン生活困った？困んなかっただろ？
だったら足りてるじゃん（笑）

＞社会人になっても 学びは必要
学んてない人がいっても説得力ゼロ（笑）

＞プロの養成と 一般アマの教育とは違う
＞プロ＝数学で給料を貰える アカデミックポストは限られるが、
＞アマは気楽で良い
そうやって自分を甘やかす人は何も学べないから
学問とか口にするの一切やめて
囲碁将棋でもやってなさい（笑）

１の数学は、高校の三角関数の加法定理で終わりました

R.I.P.

AIの発言をお伝えします

「∈と⊂間違えるレベルで『大学でも足りない』とか草」

AI「煽ってみ？ 絶対反応くるよ」

AI・・・悪い奴だ（笑）

ちなみに>>49の問題はひっかけがあるので注意ね（笑）

まず、問題Bの密着位相は、離散位相が正しい

ついでにいうと、問題Dはどうも
「連結だが弧状連結でない例」のつもりらしいけど
これじゃ、連結かつ弧状連結になっちゃいます

まず原点を抜いて弧状連結でなくする必要がありますが
このままだと連結でもなくなるので、
弧状連結でないまま連結にする必要があります
どうすればそうなるでしょう？（ニターリ）

>>54
せっかく作問されているので、ひっかけについて言及。
問題Lでハウスドルフは普通2点の関係について考えますが、1点からなる集合ならどう判定するのかということです。

>>49
ご苦労様です

（ニコ） (^^)君 見てるか？
君のための位相空間の話題だよ

君の位相空間の知識の “big picture” ひどいね
　テンプレ>>30 に入れたが
スレ87 （ニコ） (^^)君 令和8年度東北大 研究科数学専攻入試 投下
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/779-856
議論に全然参加できなかったろ？
このスレ使って ちょっと勉強してさ
君の位相空間の知識の“big picture”に 自分なりの絵を追加しなよ！ （＾＾
おれも 一緒にやるから・・（＾＾

余談
因みに 御大は 中学時代に 当時の指導者から
「高校数学終わったら 吉田 「点集合論」読め」と言われたそうな
東北大の院試程度なら 中学で解いたかも（＾＾；

＜アマゾン＞
点集合論入門 (1960年) (新数学シリーズ〈第17〉)
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本書は 吉田洋一（1898−1989） 『点集合論入門』（培風館 1960） です。 本書初版から半世紀以上経て 「点集合論」というコトバじたい 死語（？）になってしまいました。
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https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96
位相空間論
点集合トポロジー（point-set topology）などの名称で言及されることもある。

>>49
問題A
実数直線ℝ上で通常の位相を考えたとき、集合 A = (0,1] ∪ {2} は
(a) 開か？閉か？どちらでもないか？
(b) 内部 Int(A) と閉包 Cl(A) を求めよ。

解答
(a) どちらでもない  ∵半開区間(0,1]は どちらでもない
(b)  Int(A)=(0,1) 最大の開集合, Cl(A)= [0,1] ∪ {2}

＜カンニング＞（＾＾
(google検索)
内部 Int(A)
AI による概要
内部(開核)・外部・境界について詳しく図解〜距離空間・位相空間 ...
位相空間における集合
の内部（Interior, Int(A) または A*）は、A
に含まれるすべての内点（開近傍を持つ点）の集合であり、​​A
に含まれる最大の開集合です。境界を含まない「内側」の部分を指し、閉じた区間 [0.1]
の内部は開いた区間 (0,1)
となるなど、境界が除外される特徴があります
略
主な性質
開集合性: Int(A) は必ず開集合になります。
最大性: A に含まれる最大の開集合です。
等価性: A が開集合であることと、A＝Int(A)
であることは同値です。

>>57
>（ニコ） (^^)君 見てるか？
> 君のための位相空間の話題だよ
> 君の位相空間の知識の “big picture” ひどいね
> 君の位相空間の知識の “big picture” に 自分なりの絵を追加しなよ！

自分の惨状は棚に上げて
院試問題をぶっこんだ(^^)へ
ありったけの憎悪をぶつける１

こんなやつだよ、１は
自分に恥を書かせた奴は
みなブチのめすんだと（嘲）

１はまず無能で怠惰な自分を
ブチのめせよ（笑）　

>>57
私は>>56です(⁠^⁠^⁠)
院試の（2）の（i）が偽になる理由の考察は、頑張って書いたつもりですよ。

問題Kは典型問題だと思うので、すぐコピペ出来ると思います。（ただ、R^nで考えているものが多いので、nは取り払う必要がありそうです。）

>>49
問題B
Xを任意の集合、O = {∅, X}（密着位相）とする。
このとき、Xの任意の部分集合はすべて閉集合でもあることを示せ。

解答
Xの任意の真部分集合は閉集合ではない ∵位相は密着位相で O = {∅, X}の二つのみ

＜カンニング＞
(google検索)
密着位相での 任意の部分集合は閉集合か？
AI による概要
密着位相（indiscrete topology）において、任意の部分集合が閉集合であるというのは誤りです。閉集合は空集合
と全体集合
のみであり、それ以外の部分集合は閉集合ではありません。
詳細な解説は以下の通りです。
略す
∅, X 以外の部分集合 A の補集合 A^c は ∅ でもなく X でもないため、開集合ではありません。
したがって、A は閉集合ではありません。
なお、すべての部分集合が閉集合となるのは「離散位相」の場合です。

>>60
>私は>>56です(⁠^⁠^⁠)
>院試の（2）の（i）が偽になる理由の考察は、頑張って書いたつもりですよ。
>問題Kは典型問題だと思うので、すぐコピペ出来ると思います。（ただ、R^nで考えているものが多いので、nは取り払う必要がありそうです。）

そうか
それは悪かった

が、そもそも 東北大院試の（2）の（ii）の 反例が見つからないだったよね
で、原文を見ると 正しくない場合は 反例を 正しい場合は 証明をだったよね

で、前スレ 686より
<合格体験記>https://note.com/normalmath/n/nf464d5418115
”(ii)こっちは逆に真です。ハウスドルフ空間であることの定義より、相異なる2点から出発するのは良いのですが、試験中は問題が解けず焦りまくったせいで解けませんでした。落ち着いて考えれば、相異なる2元を
Z からとってきて、有限集合はハウスドルフ空間上では閉集合であることに加えて、閉写像であることや全体から閉集合を引いたものは開集合みたいな基礎的な事項の組み合わせで示せる問題でした”
にアラ筋がある

しかしだ、数学というのは きちんと証明が示されるまでは 真偽は確定しないのでしょ？
この 合格体験記を 真に受けたのはなぜ？

で、過去問は 前年出来の悪かった問題が 形を変えてまた出されることがあるんだ
難しい問題ほど ちゃんとやらないと 過去問やる意味ないよ

カンニングしても赤ペンされたオチコボレさんがなぜか説教してて草

>>62
719で大体OKかと思ったんですよね。
そして、一から書いていくとさすがに分量が多い（汗）
だから、肉付け方式でやった方が楽だと感じたんですよ。

いろいろ院試を見ていてZ/nZの乗法群の自己同型が、巡回群にならないnを求めよっていう問題が興味深かったので、一応書いておきます。
（元の院試問題を見失ったので、ちょっと変かもしれません。）

問題Kは半径が正の有理数で、中心が有理点になるような開球の集合を考えれば良さそうです。

>>64
>719で大体OKかと思ったんですよね。
>そして、一から書いていくとさすがに分量が多い（汗）
>だから、肉付け方式でやった方が楽だと感じたんですよ。

ご苦労様です スレ主です
大体OKか 大体なｗｗｗ　（＾＾
前スレ 719 に赤ペン先生するよ（右に←で赤ペンを書く）
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/719
<正しい証明>
Wの任意の相異なる2点w_1 ≠ w_2を取る
A = f^{-1}(w_1) は有限集合（仮定より）← ここで B = f^{-1}(w_1) も併記すべし（時間節約）
Zがハウスドルフなので、各点は閉、よってAは閉 ← ”ハウスドルフなので”は不要？ ”各点は閉”自明で不要。 よってAは閉も不要。この１行不要？
同様、B = f^{-1}(w_2)は有限閉集合。← 上に纏めて１行で書ける
明らかにA ∩ B = ∅（さもなくばfがw_1 = w_2に写す）。← 前スレ 789 "互いに異なる ∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾"の方が良い

Zがハウスドルフなので、
各a_i ∈ A（i=1,...,p）と閉集合B（a_i ∉ B）に対して、←閉集合くどい。意図不明。有限集合Bで良い。”（a_i ∉ B）”は 既述ゆえ省ける。pは素数用でやめれ。mとかnのクセつけれ！
a_i ∈ U_i（開）, B ⊂ V_i（開）, U_i ∩ V_i = ∅ が存在する。

U = ∪_{i=1}^p U_i（開, A ⊂ U）と置く。← 式が雑。まあ、５ｃｈだからしかたないが Tex崩れか
V = ∩_{i=1}^p V_i（開, B ⊂ V）と置く。← 式が雑。まあ、５ｃｈだからしかたないが Tex崩れか なお ここで ∩ がヘンでは？
するとU ∩ V = ∪ (U_i ∩ V) ≤ ∪ (U_i ∩ V_i) = ∅
（なぜなら各U_i ∩ V ≤ U_i ∩ V_i = ∅, かつV ⊂ V_i）。
よってU ∩ V = ∅。← ちょっともたついている気がするよ（後述*）

つづく

つづき

次に、Z-Uは閉（U開）。
fが閉写像なのでf(Z-U)はWで閉。
よってO_1 = W-f(Z-U)は開。
同様、O_2 = W-f(Z-V)は開。

w_1 ∈ O_1：
A ⊂ UなのでA ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ f^{-1}(w_1) ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ w_1 ∉ f(Z-U) ⇒ w_1 ∈ O_1。
w_2 ∉ O_1：
B ⊂ V, だがV ⊂ Z-U（U ∩ V = ∅より）⇒ B ⊂ Z-U ⇒ w_2 ∈ f(Z-U) ⇒ w_2 ∉ O_1。

同様に、
w_2 ∈ O_2：
B ⊂ V ⇒ B ∩ (Z-V) = ∅ ⇒ w_2 ∉ f(Z-V) ⇒ w_2 ∈ O_2。
w_1 ∉ O_2：
A ⊂ U ⊂ Z-V（U ∩ V = ∅より）⇒ A ⊂ Z-V ⇒ w_1 ∈ f(Z-V) ⇒ w_1 ∉ O_2。

最後にO_1 ∩ O_2 = ∅を示す：←ここは 上記 U ∩ V = ∅ → 補集合 U^c ∩ V^c = Z を先に導いておいて 各補集合は閉集合でこれをｆでＷに送って ”任意のw_1 ≠ w_2 分離”をいうのがスマートだよ 前スレ 789-790 ご参照
O_1 ∩ O_2 = W-(f(Z-U) ∪ f(Z-V))。
f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
よってO_1 ∩ O_2 = W \ W = ∅。← W \ Wは、ご愛敬

したがって、w_1 ∈ O_1, w_2 ∈ O_2（開）, O_1 ∩ O_2 = ∅。
任意のw_1 ≠ w_2を分離できたので、Wはハウスドルフ。
（証明終わり）

注：* いま ハウスドルフZにおいて 有限n個の点で 互いに 開近傍分離可能を認める **)
つまり 最初から a1,a2,・・am, b1,b2,・・bn たちを すべてが互いに 開近傍で分離できているようにできる
その開近傍を ua1,ua2,・・uam, ub1,ub2,・・ubn として
二つの組の和集合
∪ai と ∪bi を作れば この二つは交わりを持たない

**)これは 数学的帰納法を使えば良いだろう。証明は思いつくであろう by ガロア
証明をスマート書く時間があればいいが なければ 略証をチョコと書いて逃げるのも 現場答案のテクニックだろうね。部分点狙い （＾＾

チャレンジングな精神ですね、応援します(⁠^⁠^⁠)
ただ、難解な場合は何のフォローもしないので、宜しくお願いしますw

>>64
>719で大体OKかと思ったんですよね。
>そして、一から書いていくとさすがに分量が多い（汗）
>だから、肉付け方式でやった方が楽だと感じたんですよ。

ご苦労様です スレ主です
大体OKか 大体なｗｗｗ　（＾＾
前スレ 719 に赤ペン先生するよ（右に←で赤ペンを書く）
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/719
<正しい証明>
Wの任意の相異なる2点w_1 ≠ w_2を取る
A = f^{-1}(w_1) は有限集合（仮定より）← ここで B = f^{-1}(w_1) も併記すべし（時間節約）
Zがハウスドルフなので、各点は閉、よってAは閉 ← ”ハウスドルフなので”は不要？ ”各点は閉”自明で不要。 よってAは閉も不要。この１行不要？
同様、B = f^{-1}(w_2)は有限閉集合。← 上に纏めて１行で書ける
明らかにA ∩ B = ∅（さもなくばfがw_1 = w_2に写す）。← 前スレ 789 "互いに異なる ∵もしa'i＝b'j ならば a=f(a'i)=f(b'j)=bとなり矛盾"の方が良い

Zがハウスドルフなので、
各a_i ∈ A（i=1,...,p）と閉集合B（a_i ∉ B）に対して、←閉集合くどい。意図不明。有限集合Bで良い。”（a_i ∉ B）”は 既述ゆえ省ける。pは素数用でやめれ。mとかnのクセつけれ！
a_i ∈ U_i（開）, B ⊂ V_i（開）, U_i ∩ V_i = ∅ が存在する。

U = ∪_{i=1}^p U_i（開, A ⊂ U）と置く。← 式が雑。まあ、５ｃｈだからしかたないが Tex崩れか
V = ∩_{i=1}^p V_i（開, B ⊂ V）と置く。← 式が雑。まあ、５ｃｈだからしかたないが Tex崩れか なお ここで ∩ がヘンでは？
するとU ∩ V = ∪ (U_i ∩ V) ≤ ∪ (U_i ∩ V_i) = ∅
（なぜなら各U_i ∩ V ≤ U_i ∩ V_i = ∅, かつV ⊂ V_i）。
よってU ∩ V = ∅。← ちょっともたついている気がするよ（後述*）

つづく


>>67 タイポ訂正

よってO_1 ∩ O_2 = W \ W = ∅。← W \ Wは、ご愛敬
　↓
よってO_1 ∩ O_2 = W \ W = ∅。
に戻す 赤ペン取り消す

\ が 文字化けで 円マークなんだが バックスラッシュだったか
5chにアップすると バックスラッシュ ＼ なのかい （＾＾
5chで 証明ゴッコなど やるもんじゃないね　（＾＾；

ありゃ 前半の文が残った
まあ ご愛敬だね （＾＾

>>69
これは （ニコ） (^^)君か
レスありがとう
ここに 何を書くのも自由だが
数学的に間違ったことは書くな！
というのが スレ主の方針でね

Grok AIの吐き出した
クソ証明を 無批判に真に受けるやつがいるから
「まゆに つばしろ！」と言っているのですｗ （＾＾

>>63
>カンニングしても赤ペンされたオチコボレさんがなぜか説教してて草
１はつねに自分が一番上で他人に説教してないと精神崩壊するmalignant narcissist

>Z/nZの乗法群の自己同型が、巡回群にならないn

n=12

5^2=25=2*12+1
7^2=49=4*12+1
11^2=121=10*12+1

>>71
>数学的に間違ったことは書くな！
>というのが・・・方針でね

ただし１はいくら数学的に間違ったこと書いても許される

自分にはとことん甘いダブスタ野郎　それが１

どうでもいいが「でね」とか幼稚な語尾つけるな

貴様は五歳児か（嘲）

Grokは数学が苦手らしい
xy＝0のグラフが連結だが弧状連結じゃないとかいいだした（笑）

>>73
うお、n=12ですか（汗）
ネットではn=8が紹介されていて、それが最小なのかと思っていました(⁠^⁠^⁠)

>>71
なら君は一切書かないことだ

＞各a_i ∈ A（i=1,...,p）と閉集合B（a_i ∉ B）に対して、
＞a_i ∈ U_i（開）, B ⊂ V_i（開）, U_i ∩ V_i = ∅ が存在する。
＞U = ∪_{i=1〜p} U_i（開, A ⊂ U）と置く
＞V = ∩_{i=1〜p} V_i（開, B ⊂ V）と置く。←　なお ここで ∩ がヘンでは？

考えない馬鹿１の毎度恒例のオウンゴール発言

前スレ855を理解できるまで読め
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/855

>>76

3^2=8+1
5^2=3*8+1
7^2=6*8+1

ほんとだ（笑）

開集合では無限の共通部分を取るのがマズいので、気をつけましょう。

>>79
まあ、別に正解なんですけどねw
とりあえず、nが素数になるもの以外を考えれば、いずれ正解に出会う問題なんでしょう、きっと。

>>80
＞開集合では無限の共通部分を取るのがマズいので、気をつけましょう。

0のすべての1/n開近傍の共通部分は・・・0だけ（笑）

>>81
Z/nZの自己同型群がなんだかはもちろん知ってるよね

１は絶対知らんに決まってるから訊かない（笑）
まあ、あとから知ってたわーいとか
あとだしジャンケンするにきまってるけど（笑）

１は後だしジャンケンもヘタクソ

「正方行列の群」と言っちゃったときだって

「行列式が０でない、と打つつもりでうっかりリターンキーおしちゃった」
とかいえばいいものを、なんかひねらないと馬鹿にされるとかつまんないこと考えて
「零因子だろ」とかいったせいでさらに突っ込まれて
クラメールの式をだしたら、それじゃ必ず零因子だって証明できるわけじゃないじゃんと
さらに墓穴を掘ることになった　要するに例外を無視する粗雑工学部脳（笑）

粗雑工学部脳の世界
・任意の正方行列は、逆行列を持つ（✕、行列式が０なら逆行列無し）
・逆行列を持つ任意の正方行列は、行の順序を変えない掃き出し法で三角化できる（✕、行の順序入れ替えが必要な場合あり）
・零行列でない任意の正方行列は、その余因子行列が零行列でない（✕　ｎ×ｎでランクがｎ−２以下なら零行列）

もちろん、ほとんどすべての行列で上記は成り立つが例外は必ず存在する。

問題文がそもそもうろ覚えでよくなかったので、きちんと載せておきます。
（いろいろ院試を見ていたので、何処にいったのか全然分からなくなっていました。）

Aut(Z/nZ) が巡回群ではない n をひとつ答え、その n について Aut(Z/nZ) が巡回群ではないことを示せ。

乗法群とか、問題文に載ってないことを書いてますね（汗）
自己同型はきちんとやるのなら、f（a）f（b）=f（ab）からしっかり考えないといけないですかね？

>>84
>Aut(Z/nZ) が巡回群ではない n
Z/nの乗法群ってのでZ/nを環だと思ってその乗法群って何かなと思ったけど可逆元の全体かなとか想像してました

>>86
すみません、復帰直後なので結構焦ってましてね…。
とりあえず、今後は元ネタをきちんと探してから投稿します。
いろいろ紛らわしいですから。

Z/nZは、nで割った余りによる同値類の加法群ですよね

乗法群は、nで割った余りに乗法を適用した場合の0と零因子を除いたものです
nが素数なら零因子はないですよね

で、Z/nzの自己同型はZ/nzの各元にZ/nz×の元を掛けることになります

nが5だとした場合、

　0,1,2,3,4
→0,2,4,1,3 (×2)
→0,4,3,2,1（×2×2＝×4)
→0,3,1,4,2（×2×2×2＝×8＝×3)
→0,1,2,3,4（×2×2×2×2＝×3×2＝×6＝×1)

>>88
ご丁寧にありがとうございます。
Z/nZの自己同型群は、その乗法群と同型になるという結果だけよく見ますが、一からやっているものをあまり見ないので、ちょっと困ってしまいました。

>>89
いえいえ、自分は円分多項式のガロア群による作用を
理解しようと思っていろいろ愚直に計算したもんで
小学校以来、単に計算好きというのはありますけど（笑）

>>90
私はオイラーのφ関数あたりまでの話くらいしか、分からないですね。
まあ、ちょっと位相の問題でも眺めときます。
院試に弧状連結の話は出ないので、今やるしかないのかとw

弧状連結の話は上位の大学には出ているかもしれませんが、そこまでは見てないですね。

>>67 自己レス
>注：* いま ハウスドルフZにおいて 有限n個の点で 互いに 開近傍分離可能を認める **)
>**)これは 数学的帰納法を使えば良いだろう。証明は思いつくであろう by ガロア
>証明をスマート書く時間があればいいが なければ 略証をチョコと書いて逃げるのも 現場答案のテクニックだろうね。部分点狙い （＾＾

＜ちょっと思いついたので書く＞
命題：ハウスドルフ空間において 有限2以上のn個の点は 互いに 開近傍で分離可能
証明
数学的帰納法による
n=2の場合、ハウスドルフの分離公理より自明
n>2 で n個の点は 互いに 開近傍で分離可能と仮定する
これを p1,p2,・・pnとする
p1,p2,・・pnを分離する開近傍を
u1,u2,・・unとする

n個のどれとも異なる点pn+1と取る
まず p2,・・pn,pn+1のn個の点は 仮定より 開近傍で分離可能なので
その開近傍を u'2,・・u'n,un+1 と書く
さらに p1とpn+1を分離する開近傍が存在するので u'1,u'n+1が取れる

いま pn+1の近傍の積集合 un+1∩u'n+1を考えると
これにより p2,・・pnたちとは 開近傍 u'2,・・u'nで分離されている
また p1とも 近傍u'1で分離されている
そこで 各点の二つの開近傍の積集合をとる
u1∩u'1,u2∩u'2,・・un∩u'n,un+1∩u'n+1 として
これらの開近傍により n+1個の点は 互いに
上記の開近傍により分離されている■
注）この ”二つの開近傍の積集合をとる”が、手筋です （＾＾
（どこにでも書いてそうな平凡な証明ですが 平凡も大事ですよね）

ここから n個を 任意 n'個とn''個 (n'+n''=n)の二つの組に分けて
n'個の点の組の開近傍の和集合と
n''個の点の組の開近傍の和集合とが
分離されていると言えるはずですが・・（＾＾

>>93
君、目的見失っとるやろ（ｗ）

証明するのは、
ハウスドルフ空間Ｚ上の点の有限集合ＡとＢがあるときの
ＡとＢを分離するＺ上の開集合の存在な

>>94
>君、目的見失っとるやろ（ｗ）
>証明するのは、
>ハウスドルフ空間Ｚ上の点の有限集合ＡとＢがあるときの
>ＡとＢを分離するＺ上の開集合の存在な

いやいや
話は真逆だよ
m、n有限の自然数として

Ａがm個の異なる点
Ｂがn個の異なる点
全体で m+n個の異なる点
がある

ハウスドルフ空間であれば
　>>93に示したように
有限個の異なる点を おのおのの開近傍で任意2点が分離できる
さすれば
Ａのm個の異なる点の組の開近傍の和集合と
Ｂのn個の異なる点の組の開近傍の和集合と
は 開集合で分離されたということ
（つまりは この二つの和集合の積集合はφ（空）ということ■）

>>49
(引用開始)
2. 連続写像
問題C （これが一番重要かも）
f : X → Y が連続であることと、次の3条件が同値であることを示せ：
・任意の開集合 V ⊂ Y に対して f⁻¹(V) が X で開
・任意の閉集合 F ⊂ Y に対して f⁻¹(F) が X で閉
・任意の x ∈ X と y ∈ Y について、y が f(x) の近傍なら、x の近傍 W が存在して f(W) ⊂ V
(引用終り)

ホイヨ
大学講義テキストpdfを検索
(google検索)
位相空間論 連続写像 pdf 大学
AI による概要
位相空間の連続写像は、開集合の逆像が開集合になること（f^-1(V)←→V が
が開集合）と定義され、距離空間のε-δ 論法を一般化したものです。合成写像の連続性やハウスドルフ空間への写像の閉グラフ性などの重要性質を持ち、大学の講義ノートで基礎が学べます

大学講義のPDF資料
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/edu/16W/yanagida-2W16-11.pdf
名古屋大学
位相空間の間の連続写像
2017/06/05 — 距離空間の間の連続写像のみたす性質に注目し, 位相空間の間の写像の連続性を定めること ができる. 定義 X, Y を位相...

http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2017-2021/2017/st2/170605st2.pdf
関西大学 2017/06/05
2.2 連続写像
( X , O X ) , ( Y , O Y ) を位相空間とし、 f : X → Y を写像とする。 写像 f が連...

>>95
>いやいや 話は真逆だよ
いやいや、話は同じだよ

>m、n有限の自然数として
>Ａがm個の異なる点
>Ｂがn個の異なる点
>全体で m+n個の異なる点がある

これは
「ハウスドルフ空間Ｚ上の点の有限集合ＡとＢがある」
と同じ

>ハウスドルフ空間であれば
>有限個の異なる点を おのおのの開近傍で任意2点が分離できる
>さすれば
>Ａのm個の異なる点の組の開近傍の和集合と
>Ｂのn個の異なる点の組の開近傍の和集合とは
>開集合で分離されたということ
>（つまりは この二つの和集合の積集合はφ（空）ということ■）

これは
「ＡとＢを分離するＺ上の開集合」
が存在するというのと同じ

１は話がわかってないから
同じことを違うと言い張って自爆

１は論理が分かってないから
大学数学が理解できない

論理の理解からやりなおせ

ということで本スレッドは終了いたしました

（完）

>>97
仰るとおりだよ
（ニコ） (^^)君 聞いているか？

W側の1点と Z側のある有限集合とが
　>>30の東北大院試問題にあるように 写像fの逆像で結びつく
それが分りますか？ という問題だったのだ

（ニコ） (^^)君 きみは それが全く分らなかった
私も 自慢じゃないが 全く分らなかった （＾＾

お互い この機会に 位相空間論を 勉強しようじゃないか　（＾＾

>>93 補足
＞命題：ハウスドルフ空間において 有限2以上のn個の点は 互いに 開近傍で分離可能

老婆心ながら
あくまで 有限の場合
可算無限だと
ある点aに収束する 点列 b1,b2,・・・が作れるから
それが上記命題の反例になる■

>>101
線形代数で飽き飽きしていたので、心機一転で頑張りますよ(⁠^⁠^⁠)

初歩的な話からでも良いんじゃないですか？
確か要素が3つの集合上の位相は、かなり多くの場合があったような気がします。

位相の個数は要素が1個の集合は1個、2個は4個、3個は29個、4個は355個、5個は6942個らしいです。

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/834
>それより姿焼きの方とか、線形代数とかをキッチリして頂きたいですねw
朗報。姿焼きの方は24時間以内に最終決着することになりました。

>>106
>>それより姿焼きの方とか、線形代数とかをキッチリして頂きたいですねw
>朗報。姿焼きの方は24時間以内に最終決着することになりました。

ご苦労様です
では、24時間放置します
はてさてどうなるか？
予想：トランプのイラン戦争と同じ
そのこころは？：イラン戦争はトランプの思う通りにならない！！ｗｗ

では自動的にあなたは間違いを認めることになります
スレ削除依頼出してください　約束は守りましょうね

１は高市早苗と同じウソツキ

誤　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
正　現代数学の落伍者 ◆yH25M02vWFhP

>>103
>線形代数で飽き飽きしていたので、心機一転で頑張りますよ(⁠^⁠^⁠)

良い心がけだ
では、宿題を与える
下記の 2 (2) (i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である
については、答えは否定で 反例が 2 (1)の誘導だという種明かしが
東北大合格体験記と東北大のページとに上がっている

そこで さらに進んで
問 2： (2) (i) が ”2 (1)の誘導”と気づかないとき
しかし、否定だとカンが働いたときに どう反例を構成するか？
2 (1)は、いかにも作り物ッぽいよね。でも試験場の現場では仕方ない
なので、手作りで 作り物ッぽくても仕方ない反例と
自分が考え得る自然な反例と
２例答えよ （＾＾

まあ、そう睨むな
おれも いま考えているから　ｗ（＾＾；

>>111
>反例
f(UAm^c)^c
f(UBm^c)^c
が開集合でないものを構成すればいい

＞おれも いま考えているから

大学１年の数学で落第したエテ公に
考えることなどできまい

ヒトの脳がないのだから

>>100
そうなると目出度いですね

>>114
まったくだ

この世に愚は栄えない

>>97
>>ハウスドルフ空間であれば
>>有限個の異なる点を おのおのの開近傍で任意2点が分離できる
おのおのの開近傍をUAij, UBjiとしUAij∩UBji=φfor all i,j
>>さすれば
>>Ａのm個の異なる点の組の開近傍の和集合と
>>Ｂのn個の異なる点の組の開近傍の和集合とは
この文章からは∪UAijと∪UBjiを意図していると読めますね
>>開集合で分離されたということ
>>（つまりは この二つの和集合の積集合はφ（空）ということ■）
さすればこれは偽
分かったろうと思っていたのにそうではなかったようです

>>114
>そうなると目出度いですね

全くだね
おめでたトランプさんについて書いておくと

１）おれ はだかの王様 えらいんだ イランはいらん 攻撃する
２）攻撃は成功したんだろう 軍事的にはね
　だが、政治的には？ 成功していない。逆効果
３）おめでたトランプさんが、どう取り繕うか？
　おそらくは 「攻撃は軍事的には大成功したから これで幕引きします」だろうね
４）その後はどうなるかは、私には和からないが
　政治的には 成功していない以上 今年11月中間選挙で負けそうだな （＾＾

このスレも同じだよ
トランプさんは 口先でゴマカスが
現実は 口先のゴマカしは通用しないだろう

以上

>>116 >>112
ヒントありがとね
おーい （ニコ） (^^)君　>>103
ヒントが二つ出たぞ
がんばって >>111を 先に ちゃんと解いてねｗ　（＾＾

>>111
いま出題に気がつきました(⁠^⁠^⁠)
これから2時間くらい所用があります。
その間に誰か先に解いて下さいw
（頭の中では考えておきます。）

ヒントはヒトツなのに・・・

ヒントって>>112ですかね。
同一視を利用せずにできたら綺麗ですね。
とりあえず、所用をゆっくりと済ませてきますw（3時間くらいかかるかも。）

>>121
（ニコ） (^^)君 よろしくね
今年８月受験生の手本を頼むぞ （＾＾；

つまり
下記 2(2)(i)解答として
成否で 否と書いて
次に 具体的な反例を書く
　>>116 >>112のような抽象的な話は あとの理由付けで使う
つまり、具体的な写像fを作って
そして それが
f は連続な開写像であり しかし Wはハウスドルフ空間ではない
例になっていることを 略証して
（院試答案としてはここまでで十分だが）

さらに
その背景として >>116 >>112のような抽象的な 理由付け
を 今年の受験生向けに 一席ぶつでも良い　（＾＾

(参考)>>30
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大院数学 共通問題R70821
2
(1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか
理由とともに答えよ
(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
　偽であるならば反例をあげ，実際に反例になっていることを証明せよ．
　(i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である
　(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である
　ここで，写像f:Z →Wについて
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう
(引用終り)

>>116
>>ハウスドルフ空間であれば
>>有限個の異なる点を おのおのの開近傍で任意2点が分離できる
>おのおのの開近傍を UAij, UBji とし UAij∩UBji=φ for all i,j

正確に書けばそうなりますね

>>さすれば
>>Ａのm個の異なる点の組の開近傍の和集合と
>>Ｂのn個の異なる点の組の開近傍の和集合とは
>この文章からは∪UAijと∪UBjiを意図していると読めますね

でも、それだとダメですね

まず
点aiの開近傍UAijの共通集合UAi＝∩(j=1〜n)UAij
点bjの開近傍UBjの共通集合UBj＝∩(i=1〜m)UBij
を構成する　これらがそれぞれ
Ａの点aiとBの点すべてを分離するaiの開近傍
Ｂの点bjとAの点すべてを分離するbjの開近傍
になりますね

有限個の開近傍の共通集合なので開近傍です
無限個だったらアウトですけどね

そしてその各Uaiの和集合として
UA＝∪(i＝1〜m)UAi
UB＝∪(j＝1〜n)UBj
を構成する

開集合の和集合だから有限個の制限抜きで開集合

>>開集合で分離されたということ
>>（つまりは この二つの和集合の積集合はφ（空）ということ■）
さすればこれは偽　分かったろうと思っていたのにそうではなかったようです

単純に和集合だけとったらアウトです
なぜ有限個なのかの意味が全くなくなりますから
私は分かってますが１はそうではないですね

>>97で、ここまで丁寧に書かなかったのは
１に自力で書かせたかったからですが
やっぱり１は全く考えないから無理でしたね

残念！

実のところ
UAi＝∩(j=1〜n)UAij
UA＝∪(i＝1〜m)UAi
とするんなら
U'Bi＝∪(j=1〜n)UBij
U'B＝∩(i=1〜m)U'Bi
でも分離できますけどね

いっときますが
Aでも同じことやってU'Aつくっても、
U'AとU'Bが交わらない保証はないですよ

＞具体的な反例を書く
＞つまり、具体的な写像fを作って
＞そして それが連続な開写像であり しかし
＞Wはハウスドルフ空間ではない例になっていること・・・

逆じゃね？
つくるのはWじゃね？

全射でf^(-1)(｛w｝)が有限集合であることもお忘れなく。（念のため）

test

まあ、ヤングの不等式でやってみるわ

>>128
わざわざありがとうございます。
どなたか添削をお願い致しますw
（私は今から、何処かに眠っている集合・位相入門を引っ張り出しますので。）

何だかここ2、3日5チャンが閉鎖されて
書き込めなくなっているようだが、
それじゃ、寝る

私はアプリを入れたら、無料で書き込めるようになりました。
知恵袋で困っている人達に、アドバイスしたりもしましたよ(⁠^⁠^⁠)

いや～、考えれば考えるほど同一視に頼りたくなりますねw
ある意味、問題の作られ方が理解できて良かったです(⁠^⁠^⁠)

>>128
ちゃんと証明になってるって確認してから書いて

証明が上手くいかなかった報告は、してもらえると有難いかもしれません(⁠^⁠^⁠)

>>130
（ニコ） (^^)君か
ご苦労さまです

＞（私は今から、何処かに眠っている集合・位相入門を引っ張り出しますので。）

よろしくね
それで、御大が前スレで
二つ呪文を書いた

>> 695
> リーマン問題でベクトル束を使うときは
> 注意が必要
>> 697
>開リーマン面上のベクトル束は自明

正直全くのお経だが 数学科出身の君なら分るだろうｗ （＾＾；
なんか ”リーマン面を考えてみろ”みたいな

それで、>>122より
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2026_R8_kyotsu.pdf
東北大院数学 共通問題R70821
2
(1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか
理由とともに答えよ
(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
　り，かつ，任意のw∈W に対しf−1({w})が有限集合であるとする．このとき，以
　下の(i), (ii) の命題はそれぞれ真であるか．真であるならばそのことを証明せよ．
　偽であるならば反例をあげ，実際に反例になっていることを証明せよ．
　(i) f が連続な開写像であるならば，Wはハウスドルフ空間である
　(ii) f が閉写像であるならば，W はハウスドルフ空間である
　ここで，写像f:Z →Wについて
fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう
(引用終り)

さて
ここで、(2)(i)は 偽で 2の(1)がその反例そのものという
この2の(1)を見ると 要するに 原点0以外のR＼{0}では 2点{1,−1}を同値とみて1点で
従って 標準代表は[r]として 位相は 普通の実数Rの位相を引き継ぐ
原点{0}のみは 同値をやめて (0,1) (0,-1) 2点分岐(そのまま)
この原点{0}は、一種の特異点だね
この特異点のところが 非ハウスドルフだ
それ以外は 普通の実数Rの位相ままで ハウスドルフ
標準的射影 π:X → Y は、連続なのだろう （＾＾
開写像ではあるが 特異点のところが 閉写像ではないか

これを リーマン面で考えると w=√Z みたいな関数を考えて
こいつは リーマン面で分岐があるらしい
これをうまく使って (2)(1)同様の反例が構成できるかも・・
と考えたが うまく纏まらない

（ニコ） (^^)君
君もがんばってくれ
こっちも何か思いついたら書くよ

>>136 タイポ訂正

これをうまく使って (2)(1)同様の反例が構成できるかも・・
　↓
これをうまく使って 2(1)同様の反例が構成できるかも・・

>>136
私にとってもお経ですね（汗）
まあ、位相の基礎から頑張れば良いと思います。

>>138
（ニコ） (^^)君
ありがとうございます
スレ主です

では、肩慣らしで
　>>136の東北大で
(2)(i)の反例に (1)が使えるという誘導問らしい
が、院試答案としては
(1)の標準的射影をπ:X → Y が
１）連続である
２）開写像である
ことを示さないといけない
加えて
３）閉写像でない は、院試答案では不要だが 過去問研究としてはいるよね （＾＾；

なので、軽くやってくれないか？
標準的射影で >>135で書いたが 原点0以外の標準代表は[r]は 普通の実数Rの位相で良いとして（院試では一言ですます）
原点0において 連続と 開写像は 示す必要ありだ
この５ｃｈ便所板では、軽く書いてくれればいい
コテコテと厳密に無く必要なし 適当な略証で可です
よろしくお願いいたします。（＾＾

>>136
>さて、反例を見ると
>要するに 原点0以外のR＼{0}では 2点{1,−1}を同値とみて1点で
>従って 標準代表は[r]として 位相は 普通の実数Rの位相を引き継ぐ
>原点{0}のみは 同値をやめて (0,1) (0,-1) 2点分岐(そのまま)
>だから一種の特異点だね
>この特異点のところが 非ハウスドルフで
>それ以外は 普通の実数Rの位相ままで ハウスドルフ
>標準的射影 π:X → Y は、連続なのだろう

>これを w=√Z みたいな関数を考えて
>こいつは リーマン面で分岐があるらしいから
>うまく使って 反例が構成できるかも・・
>と考えたが うまく纏まらない

ド素人１の考え休むに似たり

反例のW
原点が(0,1)と(0,-1)の２点（分岐）
それ以外のR＼{0}は１点（非分岐）

w=√Zの像
Zの原点の像は１点（非分岐）
それ以外のR＼{0}ではwが正と負の２点（分岐）

つまり、全く逆（笑）
まったく逆のものを同じと思う時点でヤバいよ

>（標準的射影 π:X → Y は）開写像ではあるが
>特異点のところが 閉写像ではないか

相変わらず舌足らず

１、一人への問題

例えばZの閉集合[0,1]×{1}を
標準的射影でWに移した先の集合は
閉集合ですか？

Yes/Noとその証明を書きなさい

>>139
これは>>140に答えられたらということで…w
一つ前のスレを見たいのですが、新しいアプリにして過去ログの見方が分からなくなっているので、それも兼ねてお待ち下さい。

過去スレ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/

そもそも Doubled origin 以外の反例を出すなら W は Housedorff でない空間をださないといけない。もうその時点でちょっとへんなのだすしかない

>>142
わざわざどうも

>>139
これの解答拒否の交渉として、>>140のヒントをw
Yes/Noの2択は既に言及済みではありませんか？
問題はその理由だと思うので、頑張って下さい！
（これで私はもう答えませんw）

>>145
１が>>140に答えることは必須ですよ

まあ、Noなんですけど
１はNoの証明ができますか、ってことです

証明できないレベルなら何言ったって理解できないでしょ？

私？　もちろん、できますよ

ヒントだけいいますよ
「補集合が開集合でないことをどう示しますか」

ああ、もうこれほぼ答えだな
ここまでいってわかんないなら、
もう数学板に書くのはやめな、っていうレベル

>>146
私が前スレを見たかったのは、533のレスを探したかったからなんですよ。
前スレのやり取りを見れば、色々とヒントになると思います。

前スレ544
その通り　分離できないから一方だけ含むのだと閉にならない

ただこれだけだと証明にならない

幸い、近傍による開集合の定義を知っているなら証明できる
両方含んだら　補集合が開集合になることも明らか

ああ、またヒント書いちゃったよ（笑）

前スレの513もヒントになりますかね。
これだけ喋ったので、>>139は無視しますよw

>>149
無視していいよ　ド素人の甘えたお願いなんか（笑）

大体もとのWだって、反例じゃない空間の幅の極限として実現できるけどな

0の1/n近傍の共通集合は{0}でしょ

>>145
ご苦労様です
スレ主です

院試答案や口頭試問と同じでね
ここは便所板だが 書かれた発言が全てだ
そこに出ていることから 実力が判断される

　>>139に戻る
院試答案としては
(1)の標準的射影 π:X → Y が
１）連続である
２）開写像である
ことを示さないといけない

だったね
　全文再録すると
東北大院数学 共通問題R70821
2 (1) OR をRのユークリッド位相の開集合系とする．X =R×{1,−1}とする．Xの位相OXを
OX ={(U ×{1})∪(U′×{−1}) | U,U′∈ OR}
と定める．X上の同値関係∼を，p,q∈R,s,t∈{1,−1}に対し
(p, s) ∼ (q,t) ⇔ (p,s) = (q,t) または p =q ∈R＼{0}
と定める．Y = X/∼とおき，標準的射影をπ:X → Y とおく．πの定めるY
上の商位相をOY とおく．位相空間(Y,OY)はハウスドルフ空間であるかどうか
(引用終り)

まず、問題文の”暗号” 解読から
１）商位相：商位相空間 wikipedia 定義 X を位相空間とし、"〜" を X 上の同値関係とする
X/~ に属する同値類からなる X/~ の部分集合が開集合であることを、（それら同値類を X の部分集合と見ての）その和集合が X における開集合となることとして定義する。これを商集合 X/~ 上の商位相 (quotient topology) と呼ぶ
　商集合 X/~ 上の商位相とは q を連続にする最強の位相（英語版）（最も細かい位相）である https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%95%86%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
　いまの場合は、ほぼ普通の実Rの位相を受け継いだと思えば良い
２）標準的射影：”的”がにくいねｗ（＾＾
　原点{0}で小細工しているんだ。そこ以外は 標準射影 つまり 実Rと同一視していい
３）そこで、”開写像である”については
　商位相の定義から Xの位相OX内の開集合から誘導される以上の へんてこな開集合は、OYには出来ない
　逆に OX内の開集合は 標準的射影π:X → Y で OY内に開集合の元像があるはず
　これをうまく言えば良いだけだ。原点{0}以外は自明。原点{0}は、いま考えている （＾＾
４）π”開写像である”が言えれば、”連続である”は殆ど終りだ
　Yの開集合の逆射が Xの開集合 を言えば良いだけだ 多分なｗｗ　（＾＾

（ニコ） (^^)君
思いついたら書いていいよ （＾＾

>>151
私と一緒に基礎からやりませんか？
私が一番独学で困ったのは、位相でしたからね。
院試の流れで大変な思いをしたので、私は難易度を下げる方向で基本行きますw

>>152
>私と一緒に基礎からやりませんか？
>私が一番独学で困ったのは、位相でしたからね。

いいよ
付き合うよ
それからさ なにかAI使えよ
なんでもいいよ
Googleとか マイクロソフトのCopilot でも なんでもね （＾＾；

3つの集合上の位相の話をしましたが、密着・離散位相以外を作るのも勉強になると思います。
初歩すぎると思われる方は、丁度良さそうなレベルの話でも投下して頂けると助かります(⁠^⁠^⁠)

>>154
まあ、主にトイレさんに流れを委ねることになるかもしれません。
>>139は結構からは、結構基本に付き合って下さる雰囲気がしています。
（ただ、扱っている位相にかなりクセがあるので、ちょっと嫌らしいですがw）

>>155
早めにその辺は切り上げて先に進むのがいいですよ

>>157
分かりました。
出来れば、たまに話題を下さいw

東北大の別の年度の位相空間問題を掘ったらどうよ？

なるほど

ホイヨ
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大
HOME入学希望の方へ | 過去の大学院入試問題

http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2025_R7_kyotsu.pdf
2025(令和7)年度
数学共通問題

2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(1) (I,O)は位相空間となることを示せ．
(2)位相空間(I,O)はハウスドルフ空間であるかどうか，理由とともに答えよ．
(3)写像f: (I,O)→(I,O),f(x) = -4x^2 + 4x は連続写像であるかどうか，理由とともに答えよ．
(4)写像g: (I,O)→(I,O),9(x) = x^2は連続写像であるかどうか，理由とともに答えよ．

http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2025_R7_purpose.pdf
出題意図

出題意図みると 基本問題だってさ （＾＾

おれは 試験場では手も足もでないかな
だが、ここはカンニングありです （＾＾

>>159
１、自分がひねくりだした問題
相手に投げ返されたので
回答できずあっさりポイ捨て（笑）

高卒素人に大学数学は無理　諦めろ

>>163
全く勉強しない素人にはカンニングも無理（嘲）

AI使ってなんとかしてw

全く勉強しない素人はAIもうまく使えない

しかし、あの年度は酷かった（汗）

（3）がパッと見で、すぐに片付きそうな印象ですが…。

（2）も（3）と同様に、比較的早く片付きそうですね。
外堀を固めながら、チビチビ行きますw

>>169
>（3）がパッと見で、すぐに片付きそうな印象ですが…。

（ニコ） (^^)君な
この手の問題は、前から解くべしだよ
つまり (1)が肝で これにより (3)(4) の結論変るんじゃないの？

さて 問題を解くので 赤ペン先生たのむ

東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(1) (I,O)は位相空間となることを示せ．
(引用終り)

解答
位相空間の定義は
位相空間 の開集合系において
・空集合と全体集合を含む
・任意数個開集合（無限個でもよい）の和集合もまた開集合系に含まれる
・任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合系に含まれる
の3つの性質を満たすことをいう

いま、実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORもまた この3つの性質を満たすことに注意すると
集合族Oが、空集合を含むことは明らか
次に、Wには 全体集合[0,1]は含まれないが OR中に(0,1)を含むので W中に(0,1)を含む
W'で、と{0,1}との和集合を作ることができ [0,1]即ち全体集合が構成でき 集合族Oは 全体集合[0,1]を含む
さらに 任意数個（無限個でもよい）の開集合の和集合が集合族Oに含まれることは 実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の性質を引き継ぎ 集合族O内でも成立する
（∵W'={V∪{0,1} ｜V∈W}なので 2点{0,1}が付加されているだけだから）
任意の二つの開集合の共通部分もまた 同様の理由で 部分集合族Oに含まれる
ゆえに、集合族Oは 位相空間の開集合系の3つの定義を満たすので、 (I,O)は位相空間となる■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
定義
位相空間にはいくつかの同値な定義がある。
開集合を使った特徴づけ
定義 (（開集合系による）位相空間の定義) ― 集合
X の部分集合族（冪集合の部分集合）
略
が下記の性質を全て満たすとき、
(X,O) を位相空間という。
X を台集合といい、
O を開集合系という。
O の元を
X の開集合という。
・空集合と全体集合は開集合である。
・任意数個（無限個でもよい）の開集合の和集合もまた開集合である
・任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合である
なお最後の性質により、有限個の開集合の共通部分もまた開集合であるが、無限個の開集合の共通部分もまた開集合であるとは限らない。

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Courses
講義･演習･著作
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ （仮題）
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
３．位相空間の基礎のキソ （ver.20170131）
第3章 位相空間の基礎のキソ
3.2.1 位相空間の定義

んじゃ、セタさんの勇姿を見て（2）を半分だけ解きますw
おそらくハウスドルフではないでしょう。

（3）も半分解きますw
連続写像ではないでしょう。

>>172-173
（ニコ） (^^)君か
ありがとうございます

そうそう で、(4)は 連続なんだろうね
おっと >>161 文字化け訂正

(4)写像g: (I,O)→(I,O),9(x) = x^2は連続写像であるかどうか，理由とともに答えよ．
　↓
(4)写像g: (I,O)→(I,O),g(x) = x^2は連続写像であるかどうか，理由とともに答えよ．
な I= [0,1] 閉区間において
大学入試レベルの単調増加関数で すなおな やつだからねｗ（＾＾

(3)写像f: (I,O)→(I,O),f(x) = -4x^2 + 4x これが いまいち分らない 保留
（大した式じゃないが 位相空間論のど素人の私には ？？？ だな（＾＾）

”(2)位相空間(I,O)はハウスドルフ空間であるかどうか，理由とともに答えよ．”
は ハウスドルフかもよ
つまり、I= [0,1] 閉区間の部分で まず開区間 (0,1)部分を考えると
これは W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)}からの 実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相を使うと
ハウスドルフであって
問題は 2点 {0,1} において ハウスドルフかどうか？
で この2点 {0,1}だと思うので ちょっと考えてみて
証明は思いつくであろう by ガロア

>>174 タイポ訂正

で この2点 {0,1}だと思うので ちょっと考えてみて
　↓
で この2点 {0,1}はハウスドルフだと思うので ちょっと考えてみて

この2点 {0,1}および その近傍もハウスドルフ
かな

(0,1) + 通常位相 と {0,1}+自明位相 の直和
位相の生成系は {(a,b) ; 0<a<b<1} と {{0,1}}

>>174
真の証明って大変なイメージがあるので、偽の問いが先にきていると予想します。
最悪（2）と（3）はやりますよ(⁠^⁠^⁠)

>>175
そこはどうですかね…。
分離できる開集合があるかどうか。

>>174
なら、（3）は私が解きます。

開集合{0,1}の逆像を取ると{0,1/2,1}となり、このような開集合は存在しない。
よって、fは連続写像ではない。

（2）はなんとかして下さい(⁠^⁠^⁠)

>>180
>なら、（3）は私が解きます。
>開集合{0,1}の逆像を取ると{0,1/2,1}となり、このような開集合は存在しない。
>よって、fは連続写像ではない。

（ニコ） (^^)君 ありがとう
さすが、数学科院卒だ。実力を見せたね
思いつかなかった
ただ、(3)(4)は、Y or N 一つずつだと思ったんだ（受験テクニック）
(4)はすぐ連続と分る
なので(3)はYでないはずだが 上記が思いつかなかった
(そういう親切な誘導なんだろうね やさしいね 卓越大は（＾＾)

>（2）はなんとかして下さい(⁠^⁠^⁠)

そこは、>>174より"I= [0,1] 閉区間の部分で まず開区間 (0,1)部分を考えると
これは W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)}からの 実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相を使うと
ハウスドルフであって
問題は 2点 {0,1} において ハウスドルフかどうか？"

で、例えば 点{0}の近傍の任意の点xを取って
{0}とxとを分離する位相を ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相を使って作ればいいだけ
そこに気付けば 終わりですよ
考えてみてね （＾＾

>>181
（2）はどうやっても、0と1を分離する開集合が取れないような気がするんですよね。
これで私の役目は果たしたと思います(⁠^⁠^⁠)

（1）はダルいので、細かいところは添削者さんにお任せしたいですが、結構セタさんは頑張られたと思います(⁠^⁠^⁠)
審判を待ちましょう。

>>181
確かに（4）は真っぽいですね。
これ以上は大変なので放置しますw

>>182
>（2）はどうやっても、0と1を分離する開集合が取れないような気がするんですよね。
>これで私の役目は果たしたと思います(⁠^⁠^⁠)

（ニコ） (^^)君ありがとう
スレ主です
あなたが正しい

　>>177 ID:UkY15XOj さん ありがとう
”(0,1) + 通常位相 と {0,1}+自明位相 の直和
位相の生成系は {(a,b) ; 0<a<b<1} と {{0,1}}”
だね

だから >>161の 問題文 W'={V∪{0,1} ｜V∈W}
で ここ
{0,1} は 自明位相→密着位相 ってこと
つまり 0 と1 が 密着で
ここが ハウスドルフを破るってことね

因みに
閉区間[0.1]の部分空間で
半開[0.1) あるいは 半開(0.1] の部分では
0 と1とが共存しないので ハウスドルフだ
”{0,1} は 自明位相→密着位相”に 思い至っていなかった

”理由とともに答えよ”なので
ハウスドルフではない
理由：”(0,1) + 通常位相 と {0,1}+自明位相 の直和 だから 0 と1 が 密着で 分離不可
（できれば 前半は こなれた 自然な数学表現が好ましいが 院試の現場答案としては是だ。とにかく何か書く方が良い）

AIの回答

(1) (I, O) が位相空間であることを示せ

位相の3条件を確認する。

１．∅ と I が O に属する
∅ は (0,1) の開集合（空集合は開）なので ∅ ∈ W ⊂ O
I = [0,1] = ∅ ∪ {0,1} であり ∅ ∈ W なので I ∈ W' ⊂ O

２．任意和が O に属する
O の元は W の元（(0,1) の開集合）か W' の元（(0,1) の開集合に {0,1} を加えたもの）のどちらか。
W の元たちの任意和 → (0,1) の開集合 → W に属する → O に属する
W' の元たちの任意和：
⋃ (V_α ∪ {0,1}) = (⋃ V_α) ∪ {0,1} であり ⋃ V_α ∈ W なので W' に属する
W と W' が混ざった場合も、{0,1} が1つでも含まれれば W' の形、含まれなければ W の形になる

３．有限共通が O に属する
重要なのは W' を含む場合。
W の元同士の有限共通 → (0,1) の開集合 → W
W' の元同士：
⋂_{k=1}^n (V_k ∪ {0,1}) = (⋂ V_k) ∪ {0,1} （分配法則により）
⋂ V_k ∈ W なので W'
W の元 V と W' の元 U = W ∪ {0,1} の共通：
V ∩ U = V ∩ W （V ⊂ (0,1) なので V ∩ {0,1} = ∅）
→ (0,1) の開集合 → W

よってすべての有限共通も O に属する。
以上より (I, O) は位相空間である。

>>164
>確かに（4）は真っぽいですね。
>これ以上は大変なので放置しますw

（ニコ） (^^)君 ご苦労様です
エレガントな解答を考えたよ （＾＾

問題
東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(4)写像g: (I,O)→(I,O),g(x) = x^2は連続写像であるかどうか，理由とともに答えよ．
(引用終り)

解答
gは連続である
理由：
写像g: (I,O)→(I,O) で 像側の点を y∈ [0,1] とする
写像 g(x) = x^2を y=√xと書ける （余談：高校数学に落とした）
これは 通常のﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相で 連続写像である （余談だが [0,1]で全単射）
ゆえに g: (I,O)→(I,O) において 通常のﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の部分は 連続である

いま y側で 任意ε∈ [0,1] を取って
半開区間 [0,ε) を考えると これは開集合ではない
そこで 点1を加えて [0,ε) ∪ {1} を考えるとこれは開集合である
これを 上記 逆写像 y=√xにより 原像を作ると
[0,√ε) ∪ {1} になる これは 開集合である
半開区間 [ε,1) も 上記同様に 点0を加えて 開集合を考えればよい
2点 0,1 と ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の組み合わせは 開集合であり 上記同様
y側の開集合の逆像がすべて開集合。ゆえに 写像gは連続である■

（　>>177 ID:UkY15XOj さん で尽きているかな （＾＾）
”理由とともに答えよ”だから ここまで丁寧でなくても良いと思う
どこまで 簡略化できるかは 答案作成のテクニックだね

>>186
あら、間違ってましたか（汗）
（3）と（4）は間違いでしたかね。

>>189
Grok AIさんが滑っているとは、つまりどのレスが怪しいのですか？
位相が通常ではないですから、問いの位相に合わせて答えないといけないはず。

（I,O）→（I,O）ですよね。
見落としで、（I,W’）が位相にでもなっているのかとヒヤヒヤしましたよ（汗）

(4)は連続でした
f(0)＝0かつf(1)=1ですが、(I,O)の開集合は必ず{0,1}を含むので

0 と 1 を同一視するような指定はない

>>192
流石だな　ちなみにどこの院卒？

１はまぐれ当たりなので却下

１は滑りまくり

１は何も語るな

>>189
>写像の連続とは？
>像空間の開が 逆射で 原位相空間の開 にな
>っている
>それが 像空間の全ての開で成り立つこと
>これが 連続写像の定義じゃね

私もこの基準をもとに考えました。
よって一つでも例外があれば、それが反例になり得ると思い、>>180の解答に致った訳です。

このスレ終了

>>195
物凄く考えれば分かると思うので、内緒で(⁠^⁠^⁠)

>>201
トンペイって白状してたっけ？

>>202
トンペイ…？

東北か！
そんな訳ないじゃないですかw

写像f: (I,O)→(I,O)が開になる必要十分条件

fが(0,1)で通常の意味で連続　＆　f(0),f(1)の値が、0もしくは1

>>204　別の旧帝ですか？

この年度のはまだ易しめで良いですね。
ただ、（1）と（4）はもうダルいのでやりませんw

やっぱ、位相が分かってない、というか、
前提に基づいて思考できていない

他人に前提に基づけと説教しといて自分はこのザマ・・・

>>206
私は超ショボいですw
言い訳すると生活保護とか受けてたので、都会に行ったら家賃で詰むということです。
センター試験は700点くらいでしたね。

>>209
そうか・・・君、苦労してんだね

自分は大学も大学院も無試験・・・ゴメン　ＯＴＬ

>>210
私は学部も院も、授業料払ってないです。
（入学金だけ払いました。）
家賃をたくさん払って、税金をたくさん納めて下さいw
それがいずれ私にまわってきますから。

>>192
>（I,O）→（I,O）ですよね。
>見落としで、（I,W’）が位相にでもなっているのかとヒヤヒヤしましたよ（汗）

（ニコ） (^^)君
どうもです スレ主です
そうそう そうなんだ

（I,O）→（I,O）であって
（I,O）→（I,W’）ではない
ということ
そこは ずっと後になって気づいた（初見では気づかず というか 頭に入ってこなかった（＾＾）

>>193
>f(0)＝0かつf(1)=1ですが、(I,O)の開集合は必ず{0,1}を含むので

赤ペン
f(0)＝0かつf(1)=1ですが、(I,O)の開集合は必ず{0,1}を含むので
　↓
(I,O)の開集合は必ず{0,1}で0と1の両方を含むので
だね （「f(0)＝0かつf(1)=1」は、無意味）

>>199
>私もこの基準をもとに考えました。
>よって一つでも例外があれば、それが反例になり得ると思い、>>180の解答に致った訳です。

そう
時間が許せば 連続写像の開集合による定義を ビシと書き下すのが良いね
時間が無ければ 省いて 走る

>>205
>写像f: (I,O)→(I,O)が開になる必要十分条件
>fが(0,1)で通常の意味で連続　＆　f(0),f(1)の値が、0もしくは1

イミフ
ワードサラダ

>>212 自己赤ペン

f(0)＝0かつf(1)=1ですが、(I,O)の開集合は必ず{0,1}を含むので
　↓
(I,O)の開集合は必ず{0,1}で0と1の両方を含むので
　↓
(I,O)の開集合では、0 or 1を含むときは 必ず{0,1}でセットで 0と1の両方を含むので
かな （＾＾

>>212
>>193の「(I,O)の開集合は必ず{0,1}を含む」は、ちょっと私も検証中です。
反例を出せれば良いやという軽い気持ちでやっていたので、もう少しだけ頑張りますね(⁠^⁠^⁠)

>>213
私も今の段階では、「(I,O)の開集合では、0 or 1を含むときは 必ず{0,1}でセットで 0と1の両方を含むので、かな （＾＾」と同じ理解ですね。
訂正があればまたします(⁠^⁠^⁠)

O=W∪W’って、どういう位相なんですかね？

>>215
（ニコ） (^^)君
ご苦労様です
スレ主です

　>>177 より 再録
(0,1) + 通常位相 と {0,1}+自明位相 の直和
位相の生成系は {(a,b) ; 0<a<b<1} と {{0,1}}
(引用終り)

これを 熟読してね
ちょっと書き方は あらいが
こころは 分かるだろう

これだよ これ（＾＾
おれも ぼんやり 同じことを
このずっと後（これがヒントで）で気づいたよ

>>217
その「直和」っていうのが問題ですね。

>>216
＞O=W∪W’って、どういう位相なんですかね？

（ニコ） (^^)君
ご苦労様です
スレ主です

　>>217もご参照
一つの切り口は
位相 O=W∪W’に何が含まれているか？
だね
で >>188
東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく
(引用終り)

これをかみ砕くと

１）W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)} は、Vは 言葉で書くと「開区間(0,1)の中の実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相（通常位相）」で Wは その集まり（集合）
２）W'={V∪{0,1} ｜V∈W} は、{0,1}の部分を密着位相と見るんだね 多分。で V∪{0,1}で 密着位相と ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相（通常位相）の合併をつくって
３）ご丁寧に O=W∪W' で さらに和集合を作った
４）そうすると O=W∪W'には 「開区間(0,1)の中の実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相（通常位相）」 W が全部あります
　かつ {0,1} 密着位相とWの組み合わせも 全部ありますと
５）そして この位相で 閉区間I= [0,1]の視点で 無い部品は 単体の{0}と{1}であって
　この{0}か{1}の片方だけ含む集合は 開でなくなる

ここらが 試験場の現場で見抜ければ
合格答案は書けるだろう
あとは いかに整理された 採点者に分かり易い合格答案を書くか？
（採点者が理解できない答案はダメ！ 定期試験なら 「先生 この答案の意図は かくかくしかじか」と説明できるかもだが 院試ではダメ）
それを 制限時間内で 書く筆力が必要でね

（ニコ） (^^)君は
筆力がいまいちだな （＾＾

>>219
高卒馬鹿１が偉そうに説教すんなよ　ヴォケ！

>>205
「開になる」とは、「連続になる」ということですかね。

>>219
ひどい、めちゃ助けたのに(⁠^⁠^;⁠)

>>221
と思われる

>>222
１は馬鹿のくせに尊大な悪性自己愛患者だから信じちゃダメダメ

とにかく馬鹿のくせに偉ぶる１が黙れば数学板は平和

己の馬鹿に気づけぬ大馬鹿１は永遠に黙れ

>>219
まあファイバーで離脱した私を、「引戻し」て頂きましたからねw
基本的に私は、セタさんのサポート係を担当したいですね。
もう数学以外の余計な話は、するつもりないですから(⁠^⁠^⁠)

>>222
>ひどい、めちゃ助けたのに(⁠^⁠^;⁠)

わるい わるい
君の東北大の院試 位相空間は 良い話題だね
感謝しているよ
ただ、（ニコ） (^^)君 君は答案ここに書いてないよね

それを言っているんだ
きちっと 答案としての文章を書く練習

それは 大学や大学院から巣立った後でも
役に立つし 必要なんだよ

いかに 人に読んでもらえる
読んで理解してもらえるように書くか？

それ大事だよ

>>227
あの年度の出題意図はご覧になりましたか？
なかなかの講評ですよ（汗）

>>228
>あの年度の出題意図はご覧になりましたか？
>なかなかの講評ですよ（汗）

見てる
というか 最初に引用しているよね >>161な

でね
院試の合格答案について
メソッドとして考えると

１）問題に目を通す （その問題を全体を俯瞰する）
２）問題を分析する
３）主題意図を見抜（上記に書いて有るようなことが浮かべばベスト）
４）頭の中で答案構成をする （どっかに走り書きするのも可）
　知っている知識と 出題とをぶつけて
　自分の数学道具箱から
　解法に使える道具を取り出す
５）答案を書いていく
　分かり易く書く （採点者が 解答のスジを追って 合格判定してくれる答案が良い答案）

それで
４）項と ５）項が、筆力だよ

>>229
一つ前の年度のことですね。
今の年度はまあまあ記述した方だと、自己満足していますw

１は論理も分からぬ馬鹿高卒なんだから
偉そうに講釈垂れるんじゃない

>>187
<問題>
東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(1) (I,O)は位相空間となることを示せ．
(引用終り)

Grok解答 への赤ペンをするよ（おれの解答は>>171）

１）”位相の3条件を確認する。”
　↓
　この３条件をビシと 具体的に書くべし

２）”１．∅ と I が O に属する”
　↓
　空集合∅ と 全体集合I が O に属する と言葉を添える

３）”∅ は (0,1) の開集合（空集合は開）なので ∅ ∈ W ⊂ O”
　↓
　W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)}のﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相 開集合系OR からの由来と書くべき（それが分かるように）

４）”I = [0,1] = ∅ ∪ {0,1} であり ∅ ∈ W なので I ∈ W' ⊂ O”
　↓
　[0,1] = ∅ ∪ {0,1}はへん（AIハルシネーション）

５）”２．任意和が O に属する”
　↓
　Iの部分集合族Oの 有限又は可算無限の任意部分集合の和集合が O に属する とビシと書く

６）”W の元たちの任意和 → (0,1) の開集合 → W に属する → O に属する”
　↓
　ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相から従うと一言添えるべし
　W’については W同様に と一言追加して流してもいいだろう（きっちり書くに越したことはないが 現場の時間節約手法）

７）”３．有限共通が O に属する”
　↓
　任意の二つの Oの部分集合の積集合が また O に属する 程度で流して良いと思う （位相空間論テキストを見よ）
　”有限”と書くと 厳密には 数学的帰納法が必要になるよ
　ここは、ハマると書き方難しいね

８）”→ (0,1) の開集合 → W

　よってすべての有限共通も O に属する。”
　↓
　ここでは１行空白行がおかしい。ここは３項に属するので 空白行不要だ

９）”以上より (I, O) は位相空間である。”
　↓
　以上より 冒頭の３条件が満たされ (I, O) は位相空間である ビシと書くべし

全体的には いまいち締まりがない答案だね
合格答案ではあるだろうが・・

>>232
高卒馬鹿１が偉そうに説教するな
永遠に●ね

>>232 追加
(引用開始)
７）”３．有限共通が O に属する”
　↓
　任意の二つの Oの部分集合の積集合が また O に属する 程度で流して良いと思う （位相空間論テキストを見よ）
　”有限”と書くと 厳密には 数学的帰納法が必要になるよ
　ここは、ハマると書き方難しいね
(引用終り)

　>>171 より再録
　下記の ”任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合である”な
　”なお最後の性質により、有限個の開集合の共通部分もまた開集合であるが、無限個の開集合の共通部分もまた開集合であるとは限らない”

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
定義
位相空間にはいくつかの同値な定義がある。
開集合を使った特徴づけ
定義 (（開集合系による）位相空間の定義) ― 集合
X の部分集合族（冪集合の部分集合）
略
が下記の性質を全て満たすとき、
(X,O) を位相空間という。
X を台集合といい、
O を開集合系という。
O の元を
X の開集合という。
・空集合と全体集合は開集合である。
・任意数個（無限個でもよい）の開集合の和集合もまた開集合である
・任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合である
なお最後の性質により、有限個の開集合の共通部分もまた開集合であるが、無限個の開集合の共通部分もまた開集合であるとは限らない。

>>234
馬鹿１は永遠に黙れ

>>234
位相の3条件の勉強はかなり進んでいるみたいですね(⁠^⁠^⁠)
だったら、ハウスドルフや連続の方に力を注がれたらいかがですか？
（連続は前に距離空間？で結構やりましたが、位相の連続はあまりやってないんじゃないですか？）

https://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/index9-4.html
これの令和3年度問題4（3）とかは、良い勉強になるんじゃないですか？

余力がある方は楽しまれては如何かと(⁠^⁠^⁠)
（私は今のところ、きちんと考えていませんw）

>>232
（4）は仰る通りかと思います。
正しくは、I = [0,1] = （0,1）∪ {0,1}ではないかと思います。

>>236-238
>https://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/index9-4.html
>これの令和3年度問題4（3）とかは、良い勉強になるんじゃないですか？

（ニコ） (^^)君か
ありがとう スレ主です
下記ね この問題は 見たことがある
当時の5chで話題になっていた気がする
問題4の他の問題も含めて転載する
下記 R3年問題4（3）は、たった3個だが 当然任意有限n個の互いに異なる点の分離が可能で
　>>93で 数学的帰納法で証明済み この後に転載しておく
なお、3個の場合は 同じスジで簡単に解ける
まあ、神戸大の他の問題もやろう。が ちょっと確定申告をやらないといけないので 休み休みだ

(参考)
https://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/index9-4.html
神戸大数学専攻過去問
https://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/home-j/gif/r03.pdf
令和3年度博士課程前期課程入学試験問題 数学I
神戸大学大学院研究科数学専攻
2020年8月20日
問題4．次の間に答えよ
（1）集合Xから集合Yへの写像f:X→Yがある.Xの部分集合A,Bについて,次の命題が正し
ければ,証明を与えよ．正しくないときには,反例と反例であることの証明を与えよ
(i) A∩B≠φならばf(A) ∩ f(B)≠φ である．
(ii)A∩B=0ならばf(A) ∩ f(B) = φ である．
(2) f;(X,O)→（Y,O)を位相空間(X,O),（Y,O)の間の写像とするf(x) = {a}を満たすa∈Y
が存在するならば,fは連続写像であることを示せ．
(3)位相空間(X, O)がハウスドルフ空間であるとする
Xの任意の相異なる3点p,q,rに対し,Xの開集合U,V,Wで,
p∈U, q∈V, r∈W,U∩V＝φ,V∩W＝φ,W∩U＝φ を満たすものが
存在することを示せ．

　>>93より 再録
>注：* いま ハウスドルフZにおいて 有限n個の点で 互いに 開近傍分離可能を認める **)
>**)これは 数学的帰納法を使えば良いだろう。証明は思いつくであろう by ガロア
>証明をスマート書く時間があればいいが なければ 略証をチョコと書いて逃げるのも 現場答案のテクニックだろうね。部分点狙い （＾＾

＜ちょっと思いついたので書く＞
命題：ハウスドルフ空間において 有限2以上のn個の点は 互いに 開近傍で分離可能
証明
数学的帰納法による
n=2の場合、ハウスドルフの分離公理より自明
n>2 で n個の点は 互いに 開近傍で分離可能と仮定する
これを p1,p2,・・pnとする
p1,p2,・・pnを分離する開近傍を
u1,u2,・・unとする

n個のどれとも異なる点pn+1と取る
まず p2,・・pn,pn+1のn個の点は 仮定より 開近傍で分離可能なので
その開近傍を u'2,・・u'n,un+1 と書く
さらに p1とpn+1を分離する開近傍が存在するので u'1,u'n+1が取れる

いま pn+1の近傍の積集合 un+1∩u'n+1を考えると
これにより p2,・・pnたちとは 開近傍 u'2,・・u'nで分離されている
また p1とも 近傍u'1で分離されている
そこで 各点の二つの開近傍の積集合をとる
u1∩u'1,u2∩u'2,・・un∩u'n,un+1∩u'n+1 として
これらの開近傍により n+1個の点は 互いに
上記の開近傍により分離されている■
注）この ”二つの開近傍の積集合をとる”が、手筋です （＾＾
（どこにでも書いてそうな平凡な証明ですが 平凡も大事ですよね）

>>240
過去に話題になっていたんですか！
なら、懐かしい人も居るんじゃないですかね。

確定申告を優先して下さいね。
こんなの後からいくらでもできますから(⁠^⁠^⁠)
その年齢でも申告しないといけないことがあるんですね…。

n個とかでなければ、帰納法無しでもイケそうですね。

>>187 より
”I = [0,1] = ∅ ∪ {0,1} であり ∅ ∈ W なので I ∈ W' ⊂ O”

ここね
グダグダの Grok AIハルシネーションですね （＾＾

つまり
<問題> >>232
東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(1) (I,O)は位相空間となることを示せ．
(引用終り)

ここ人間ならば
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},かつ W'={V∪{0,1} ｜V∈W} なので
Vとして 開区間(0,1)を取り (0,1)∪{0,1}=[0,1] つまり 閉区間 [0,1]を構成できる
ゆえに 全体集合たる 閉区間I= [0,1]が 集合族OをO=W∪W'に含まれることが分る

と まあ これくらい書かないとね
採点者からは 「こいつ本当に分っているのか？」と思われる雑な書き方です（＾＾

>>240
>注）この ”二つの開近傍の積集合をと
>る”が、手筋です （＾＾

ここまでお分かりなら、帰納法無しバージョンもイケる気がするんですよね…。

>>242
ありがとね
株をやっていると
損失の繰り越しとかのために
確定申告がいるのよ
それと 株の利益を源泉徴収にしているので
確定申告すると 税金が少し戻る
3月16日期限なんだ ではゆっくりやります

>>246
3月15日が日曜日で良かったですね(⁠^⁠^⁠)
ゆっくり数学して下さい。

>>189
連続もお分かりみたいですから、やっぱりやるのはハウスドルフですね。

日曜日は県会議員の選挙

>>246
守銭奴１は株に専念しなさい
数学？そんなの君には贅沢（笑）

令和4年度 東北大学 大学院 理学研究科
数学専攻 試験問題
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2022_R4_kyotsu.pdf

こちらは一時的に位相スレになっているらしいので、大問2を解きたい方はご自由にどうぞ。（神戸大のも、まだ途中です。）

セタさん忙しいのかな。
e-taxとか便利って聞くけども。
おっちゃんさんでも、テキトーに解いてくんないかな。
身支度をして時間を潰そう(⁠^⁠^⁠)

>>251
もう暇だから解こう。

（1）Z−A_（1,3）= {A_（1,b）| b=0,1,2,4｝は開集合であるから、A_（1,3）は閉集合である。

何か不備があれば、ご指摘宜しくお願いします。

>>251
（2）も半分解きます。

（i）c,d∈Zで、c−dが5の倍数でない場合
c∈A_（1,c）, d∈A_（1,d）であり、
A_（1,c）∩A_（1,d）=∅となる。

後はセタさんが戻られてから、流れをお任せします。

>>249
ID:xwxHUXsN は、御大か
巡回ありがとうございます

>>251
>こちらは一時的に位相スレになっているらしいので、大問2を解きたい方はご自由にどうぞ。（神戸大のも、まだ途中です。）

これは（ニコ） (^^)君か
ご苦労さまです
スレ主です

一応 確定申告は目途ついた
では まず問題を貼るね（（ニコ） (^^)君よ 問題を貼らねば
いくら便所板といえどだぜ （＾＾）

解答などは 後刻

(参考)
http://www.math.tohoku.ac.jp/admissiＯn/Ｏld-exam.html
東北大
入学希望の方へ | 過去の大学院入試問題

http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2025_R7_kyotsu.pdf
2022(令和4)年度
数学共通問題
令和3年8月19日

問題
2. n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．
(1) A1,3が位相空間(Z, Ｏ)の閉集合であることを示せ．
(2）位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフであることを示せ．
(3) f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)を以下で定める.
x∈Zに対し,x∈A1,0のときf(x) = x/5,
それ以外のとf(x) = x.
このとき，fが連続であるかどうか，
理由ととともに答えよ。

>>255
わざわざありがとうございます。
3問あって、その半分まで解きました。
後は神戸大のやつも一緒くたにして、テキトーに片付けて下さいw

>>255
なんかリンクが変ですね…。
正しいリンクは>>251にあります。

（3）は深く考えないと真に思えますが、何か凄く嫌な予感がしますね…。
ということで、一旦保留で。

>>258
集合の和も積も逆像で保たれますので
開基について調べればいいとわかるでしょう
f^-1(x)=x,5x (¬5|x), 5x (5|x)
An,b∩A1,0=φ (¬5|b), An,b (5|b)
f^-1(An,b)=An,b∪An+1,5b (¬5|b), An+1,5b (5|b)

>>258
>深く考えないと真に思えます
どうしてですか？

>>259
レスがあまり無いので、一人で喋るのもアレだなぁと思ってですね…。
とりあえず私は、最悪（2）まではやりますよ(⁠^⁠^⁠)
色々もう少し保留にさせて下さいw

令和7年度は、結構私が片付けましたからね。
少し分担をお願いしますよ(⁠^⁠^⁠)

セタさんは令和7年度で結構手数があり、私の解答にも納得されていたので、4年度はほどほどで良いんじゃないですかね？

>>254の（2）の後半は、0と5 , 0と25 , 0と125を順に分離していけば、解答に繋がるんじゃないですか？
（セタさんにお時間があれば、0と5の分離くらいは頑張って頂けたら幸いですね。ただ、確定申告が一番大事なので、それを優先されて下さい。）

>>263
0≦b<c<5^n→An,b∩An,c=φ
から分離するAn,bを選んでくるのは簡単

なら、後は神戸大のくらいですね。
容易だと思われるのなら、スルーして流れそうな話題にして良いですよ。
位相はどうも人気が無い…w

>>265
他人に期待するのは気味の悪い癖だね

>>266
そういう数学に関係のない煽りはスルーできるようになったのですが、やる意味は見出したいですよね。
>>200みたいに言われてるんですから…。

>>266
あぼーんさんなんて呼ばれてる人がいましたが、貴方のことではない？
この板のスルーの仕方は理解できてきたが、無用な争いをするより数学に集中したいよね。

>>253
>（1）Z−A_（1,3）= {A_（1,b）| b=0,1,2,4｝は開集合であるから、A_（1,3）は閉集合である。

（ニコ） (^^)君
ご苦労さまです
スレ主です

それで 細かくは見ていないが
大筋は合っていると思うよ

つまり、下記の”開の全体に対する補が閉になる”というスジを使うんだね
院試答案としては ”開集合の全体集合に対する補補集合が集合閉になる”は
書くべしだね （分ってますのアピール）
それから 院試答案としては 問題文のA1,3はそのまま使う べし
ここは便所板だからやむなしだが （Z−A_（1,3）→ Z＼ A_（1,3）とか）

{A_（1,b）| b=0,1,2,4｝は ちょっとひっかかる
Bを開基とする ＆ B={An,b | n∈Z>0､b∈Z} だよね
つまり An,bが登場してないけど？
つまり ”Bを開基”と言っているから n=1だけでは開基を尽くしてないでは？ （補だからね？）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
基底 (位相空間論)
開集合の基（基底）、開基（開基底）あるいは単に基（き、英: base, basis; 基底）
位相空間 X の部分集合族 B で、X の位相 T（即ち X の開集合全体の成す族）に属する任意の開集合が、B の元の合併として表せるものを言う。このとき開基 B は位相 T を生成すると言い表す。同様に閉集合を生成する閉集合の基底（閉基）も考えられる。基底の概念は、位相空間に関する多くの性質が、その空間の位相を生成する基に関する主張に簡約化することができ、また、多くの位相が、それを生成する基底の言葉で定義すればもっとも簡明に述べられる、というような点で有用である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E9%9B%86%E5%90%88
開集合
性質
開集合からなる有限または無限個の族の合併は、ふたたび開となる[2]。有限個の開集合からなる族の交わりは開集合である[2]。
開集合の（位相の定義された全体空間に対する）補集合は閉集合と呼ばれる。開でも閉でもある集合（開かつ閉集合）も存在しうる。空集合および全体空間は開かつ閉集合の例となる[3]。

>>269
やっと復活ですね(⁠^⁠^⁠)
でも、大体片付いた気がします。
位相はどうも不評な感じがするので、話題を変えた方が良いんですかね…。

>>269
他の方からのツッコミが無いので、大体OKなんじゃないですか？

>>257
>>>255
>なんかリンクが変ですね…。

ありがとう
タイポ訂正

http://www.math.tohoku.ac.jp/admissiＯn/Ｏld-exam.html
　↓
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html

裏話は
出題の開集合系の記号Ｏが 半角では 迫力がないので 全角にしようとして
置換を使って O→Ｏ に変換したら リンク部分に全角のＯがまじったのです（＾＾

>>272
年度も間違ってますw
まあ、申告が落ち着いたのなら良かったです(⁠^⁠^⁠)

>>269
補集合というのは、集合Zに関することです。
開基に対しての補集合という意味ではないと思います。
（Zから引き算しているのは、そういうことです。）

>>270-271
>位相はどうも不評な感じがするので、話題を変えた方が良いんですかね…。

このままで良い
主に君のためにもね
現代数学では 位相は 必須だよ
と言っても 私は 位相の開集合のつまみ食いでね

岡→カルタン→グロタンディーク の層を
つまみ食いしようとしたのですが
そこから ずーと 位相の開集合まで来てしまったのです

つまり、層は写像を 開集合→開集合 として捉えている
しかも
１点ｘの周りの開集合が 入れ子式の制限写像とかいう性質を持つ という規定で
それは 複素関数論の テイラー級数の収束円の 解析接続を 抽象化したものだとか
５ｃｈで だれかに教えて貰った

だから
開集合が分らないと 層の 岡→カルタン→グロタンディークが分らない
（層が分らないと 竹内の 「層圏トポス」が分らない（これはダジャレ）
　竹内の 「層圏トポス」のトポスはエレメンタリートポスらしい。それも ５ｃｈで だれかに教えて貰った 竹内読んだけど さっぱりでした（＾＾）

ともかく
位相は大事だよ

>>275
文章のほとんどが分かりませんが、位相が大事は共感しますw
数学科なら避けては通れないはずのところなんですよ。
私はスレ主についていきますよ、大したサポートはできませんが(⁠^⁠^⁠)

>>257
>なんかリンクが変ですね…。
>正しいリンクは>>251にあります。

本当だ
ありがとうございます
屋上屋だが
訂正追加

>>255 リンク訂正
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2025_R7_kyotsu.pdf
　↓
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2022_R4_kyotsu.pdf