ニコ君(^^)、数日前にここに書いた
オイラーの定数γの有理性に関する
Case1)を細かく場合分けする手法
による証明は間違っていたw

それより、Case1)のところをヤングの不等式で次までやってみたのだが…
γは無理数であると仮定する
正の整数nを任意に取って、q_{2n}/p_{2n} をγの第(2n)次近似分数とする
0＜γ−q_{2n}/p_{2n}＜1/(p_{2n})^2
が成り立つから、q_{2n}/p_{2n}＜γ＜q_{2n}/p_{2n}＋1/(p_{2n})^2
　＝(p_{2n}q_{2n}＋1)/(p_{2n})^2
である。また、57/100＜γ＜58/100 であって 1/(1/γ)＋1/(1/(1−γ))＝1 であるから、
42/100＜1−γ＜43/100 なることに注意して、ヤングの不等式により、
p_{2n}q_{2n} を上から評価すれば、
p_{2n}q_{2n}≦γ(p_{2n}^{1/γ}＋(1−γ)(q_{2n})^{1/(1−γ)}
　　　　　　＜γ(p_{2n}^{100/57}＋(1−γ)(q_{2n})^{100/42}
　　　　　　＝γ(p_{2n}^{100/57}＋(1−γ)(q_{2n})^{2＋8/21}
である。よって、γを上から評価すれば、
γ＜(γ(p_{2n}^{1/γ}＋(1−γ)(q_{2n})^{1/(1−γ)}＋1)/(p_{2n})^2
　＝(γ(p_{2n}^{1/γ}＋(1−γ)(q_{2n})^{2＋(2γ−1)/(1−γ)}＋1)/(p_{2n})^2
　＝γ/(p_{2n})^{2−1/γ}＋(1−γ)×(q_{2n}/p_{2n})^2×(q_{2n})^{(2γ−1)/(1−γ)}＋1/(p_{2n})^2
　＜γ/(p_{2n})^{2−1/γ}＋γ^2(1−γ)×(q_{2n})^{(2γ−1)/(1−γ)}＋1/(p_{2n})^2
である。*****ここまで*****

直観では q_{2n} が消えそうな気はするのだが…