>>169
>（3）がパッと見で、すぐに片付きそうな印象ですが…。

（ニコ） (^^)君な
この手の問題は、前から解くべしだよ
つまり (1)が肝で これにより (3)(4) の結論変るんじゃないの？

さて 問題を解くので 赤ペン先生たのむ

東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(1) (I,O)は位相空間となることを示せ．
(引用終り)

解答
位相空間の定義は
位相空間 の開集合系において
・空集合と全体集合を含む
・任意数個開集合（無限個でもよい）の和集合もまた開集合系に含まれる
・任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合系に含まれる
の3つの性質を満たすことをいう

いま、実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORもまた この3つの性質を満たすことに注意すると
集合族Oが、空集合を含むことは明らか
次に、Wには 全体集合[0,1]は含まれないが OR中に(0,1)を含むので W中に(0,1)を含む
W'で、と{0,1}との和集合を作ることができ [0,1]即ち全体集合が構成でき 集合族Oは 全体集合[0,1]を含む
さらに 任意数個（無限個でもよい）の開集合の和集合が集合族Oに含まれることは 実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の性質を引き継ぎ 集合族O内でも成立する
（∵W'={V∪{0,1} ｜V∈W}なので 2点{0,1}が付加されているだけだから）
任意の二つの開集合の共通部分もまた 同様の理由で 部分集合族Oに含まれる
ゆえに、集合族Oは 位相空間の開集合系の3つの定義を満たすので、 (I,O)は位相空間となる■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
定義
位相空間にはいくつかの同値な定義がある。
開集合を使った特徴づけ
定義 (（開集合系による）位相空間の定義) ― 集合
X の部分集合族（冪集合の部分集合）
略
が下記の性質を全て満たすとき、
(X,O) を位相空間という。
X を台集合といい、
O を開集合系という。
O の元を
X の開集合という。
・空集合と全体集合は開集合である。
・任意数個（無限個でもよい）の開集合の和集合もまた開集合である
・任意の二つの開集合の共通部分もまた開集合である
なお最後の性質により、有限個の開集合の共通部分もまた開集合であるが、無限個の開集合の共通部分もまた開集合であるとは限らない。

https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/
Tomoki Kawahira
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses.html
Courses
講義･演習･著作
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ （仮題）
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
３．位相空間の基礎のキソ （ver.20170131）
第3章 位相空間の基礎のキソ
3.2.1 位相空間の定義