AIの回答

(1) (I, O) が位相空間であることを示せ

位相の3条件を確認する。

１．∅ と I が O に属する
∅ は (0,1) の開集合（空集合は開）なので ∅ ∈ W ⊂ O
I = [0,1] = ∅ ∪ {0,1} であり ∅ ∈ W なので I ∈ W' ⊂ O

２．任意和が O に属する
O の元は W の元（(0,1) の開集合）か W' の元（(0,1) の開集合に {0,1} を加えたもの）のどちらか。
W の元たちの任意和 → (0,1) の開集合 → W に属する → O に属する
W' の元たちの任意和：
⋃ (V_α ∪ {0,1}) = (⋃ V_α) ∪ {0,1} であり ⋃ V_α ∈ W なので W' に属する
W と W' が混ざった場合も、{0,1} が1つでも含まれれば W' の形、含まれなければ W の形になる

３．有限共通が O に属する
重要なのは W' を含む場合。
W の元同士の有限共通 → (0,1) の開集合 → W
W' の元同士：
⋂_{k=1}^n (V_k ∪ {0,1}) = (⋂ V_k) ∪ {0,1} （分配法則により）
⋂ V_k ∈ W なので W'
W の元 V と W' の元 U = W ∪ {0,1} の共通：
V ∩ U = V ∩ W （V ⊂ (0,1) なので V ∩ {0,1} = ∅）
→ (0,1) の開集合 → W

よってすべての有限共通も O に属する。
以上より (I, O) は位相空間である。