>>164
>確かに（4）は真っぽいですね。
>これ以上は大変なので放置しますw

（ニコ） (^^)君 ご苦労様です
エレガントな解答を考えたよ （＾＾

問題
東北大 >>161
問2
実数Rのﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の開集合系をORとおく. 閉区間I= [0,1]の部分集合族Wと
W'をそれぞれ
W= {V∈OR ｜V⊂(0,1)},
W'={V∪{0,1} ｜V∈W},
とおき,Iの部分集合族OをO=W∪W'とおく．以下の問いに答えよ．
(4)写像g: (I,O)→(I,O),g(x) = x^2は連続写像であるかどうか，理由とともに答えよ．
(引用終り)

解答
gは連続である
理由：
写像g: (I,O)→(I,O) で 像側の点を y∈ [0,1] とする
写像 g(x) = x^2を y=√xと書ける （余談：高校数学に落とした）
これは 通常のﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相で 連続写像である （余談だが [0,1]で全単射）
ゆえに g: (I,O)→(I,O) において 通常のﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の部分は 連続である

いま y側で 任意ε∈ [0,1] を取って
半開区間 [0,ε) を考えると これは開集合ではない
そこで 点1を加えて [0,ε) ∪ {1} を考えるとこれは開集合である
これを 上記 逆写像 y=√xにより 原像を作ると
[0,√ε) ∪ {1} になる これは 開集合である
半開区間 [ε,1) も 上記同様に 点0を加えて 開集合を考えればよい
2点 0,1 と ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ位相の組み合わせは 開集合であり 上記同様
y側の開集合の逆像がすべて開集合。ゆえに 写像gは連続である■

（　>>177 ID:UkY15XOj さん で尽きているかな （＾＾）
”理由とともに答えよ”だから ここまで丁寧でなくても良いと思う
どこまで 簡略化できるかは 答案作成のテクニックだね