>>236-238
>https://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/index9-4.html
>これの令和3年度問題4（3）とかは、良い勉強になるんじゃないですか？

（ニコ） (^^)君か
ありがとう スレ主です
下記ね この問題は 見たことがある
当時の5chで話題になっていた気がする
問題4の他の問題も含めて転載する
下記 R3年問題4（3）は、たった3個だが 当然任意有限n個の互いに異なる点の分離が可能で
　>>93で 数学的帰納法で証明済み この後に転載しておく
なお、3個の場合は 同じスジで簡単に解ける
まあ、神戸大の他の問題もやろう。が ちょっと確定申告をやらないといけないので 休み休みだ

(参考)
https://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/index9-4.html
神戸大数学専攻過去問
https://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/home-j/gif/r03.pdf
令和3年度博士課程前期課程入学試験問題 数学I
神戸大学大学院研究科数学専攻
2020年8月20日
問題4．次の間に答えよ
（1）集合Xから集合Yへの写像f:X→Yがある.Xの部分集合A,Bについて,次の命題が正し
ければ,証明を与えよ．正しくないときには,反例と反例であることの証明を与えよ
(i) A∩B≠φならばf(A) ∩ f(B)≠φ である．
(ii)A∩B=0ならばf(A) ∩ f(B) = φ である．
(2) f;(X,O)→（Y,O)を位相空間(X,O),（Y,O)の間の写像とするf(x) = {a}を満たすa∈Y
が存在するならば,fは連続写像であることを示せ．
(3)位相空間(X, O)がハウスドルフ空間であるとする
Xの任意の相異なる3点p,q,rに対し,Xの開集合U,V,Wで,
p∈U, q∈V, r∈W,U∩V＝φ,V∩W＝φ,W∩U＝φ を満たすものが
存在することを示せ．

　>>93より 再録
>注：* いま ハウスドルフZにおいて 有限n個の点で 互いに 開近傍分離可能を認める **)
>**)これは 数学的帰納法を使えば良いだろう。証明は思いつくであろう by ガロア
>証明をスマート書く時間があればいいが なければ 略証をチョコと書いて逃げるのも 現場答案のテクニックだろうね。部分点狙い （＾＾

＜ちょっと思いついたので書く＞
命題：ハウスドルフ空間において 有限2以上のn個の点は 互いに 開近傍で分離可能
証明
数学的帰納法による
n=2の場合、ハウスドルフの分離公理より自明
n>2 で n個の点は 互いに 開近傍で分離可能と仮定する
これを p1,p2,・・pnとする
p1,p2,・・pnを分離する開近傍を
u1,u2,・・unとする

n個のどれとも異なる点pn+1と取る
まず p2,・・pn,pn+1のn個の点は 仮定より 開近傍で分離可能なので
その開近傍を u'2,・・u'n,un+1 と書く
さらに p1とpn+1を分離する開近傍が存在するので u'1,u'n+1が取れる

いま pn+1の近傍の積集合 un+1∩u'n+1を考えると
これにより p2,・・pnたちとは 開近傍 u'2,・・u'nで分離されている
また p1とも 近傍u'1で分離されている
そこで 各点の二つの開近傍の積集合をとる
u1∩u'1,u2∩u'2,・・un∩u'n,un+1∩u'n+1 として
これらの開近傍により n+1個の点は 互いに
上記の開近傍により分離されている■
注）この ”二つの開近傍の積集合をとる”が、手筋です （＾＾
（どこにでも書いてそうな平凡な証明ですが 平凡も大事ですよね）