>>255

これであってる？問題
n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．
(1) A1,3が位相空間(Z, Ｏ)の閉集合であることを示せ．
(2）位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフであることを示せ．
(3) f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)を以下で定める.
x∈Zに対し,x∈A1,0のときf(x) = x/5,
それ以外のとf(x) = x.
このとき，fが連続であるかどうか，
理由ととともに答えよ。解答
(1) A1,3 の補集合は開基A1,0 A1,1 A1,2 A1,4の和集合なので開集合
したがって、A1,3は閉集合(2)任意のx,y∈Zが開集合で分離できればいい
xとyが異なれば
xとyがmod 5^nで異なるnが存在するので
x、yそれぞれを5^nで割った余りr,sをとれば
xとyはそれぞれを要素とするAn,rとAn,sで分離できる(3)開基の逆像が開集合であることを示してfの連続性を示すA.開基An,(5*m)+i (n>=1,0=m<5^n,i=1〜4)
逆像は開基An,(5*m)+i自身とA(n+1),5*((5*m)+i)の和集合
したがって開集合
B.開基An,(5*m)(n>=1,0=m<5^n)
逆像は開基A(n+1),5*(5*m)のみ
したがって開集合
これでfが開集合のときの逆像が開集合になると示せたので連続