つづき
次に
(2)任意のx,y∈Zが開集合で分離できればいい
　↓
ここは
(2)位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフである とは Zの任意の異なる2点 x,yが
　位相Ｏのある開集合で分離できることである
くらいにしっかり書いた方がいい

で
まず 前段に出題の解説をば

ここは、（ニコ） (^^)君が >>312 >>263で指摘しているスジだね
上記の(1)項の考えが 出題の誘導になっているってことだ
　>>311より
”問題
n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．”

出題では 受験生に分りにくく 書いているが
上記(1)項のように
Z=A1,0 ∪ A1,1 ∪ A1,2 ∪ A1,3 ∪ A1,4

つまり An,b を 同様に展開すると
Z=An,0 ∪ An,1 ∪ An,2 ・・・∪ An,5^n+1 -2 ∪ An,5^n+1 -1
と書ける

nは 任意に大きく取れるから このnによる位相のメッシュは 細かくできる
そして 各 An,i ∩ An,j ≠ φ（空）なのだ （ i≠j < 5^n+1 ）

だから 上記の2点 x≠y で 一般性を失わずに x<yとして y-x = dと置くと
d < 5^n+1 となる 十分大きな nを選んで 位相を細かくすると
xとyとは この位相 An,b で分離できているってことだ

0<=x<y のときは 上記の通り
x<y<=0 のときも 同様
x<0<y のときも 同様なのだが それをどう表現するか？
院試答案なので あまり軽く流すのはどうか なんだよね・・ ちょっと考えています （＾＾