>>311
(>>404の続き)
[第2段]：(Z,0) は距離空間であって、Zは疎集合であるから、
Zの部分集合族Bの定義から、A_{1,0} は
Zの空集合ではない真部分集合であって、疎集合である
Case1)：任意の x∈A_{1,0} に対して x≠y なる y∈A_{1,0} を任意に取る
Bと f：(Z,O)→(Z,O) の各定義に着目して、
0＜ε＜1/5 なる任意のεに対して、
或る δ(ε)≧1/5 なる実数を適当に選んで取れば、
|x−y|＜δ(ε) であって |f(x)−f(y)|≧ε である
よって、fは A_{1,0} 上では不連続である
Case2)：任意の x∈Z に対して x≠y なる y∈Z を任意に取る
Case1)と同様に、Bと f：(Z,O)→(Z,O) の各定義に着目すれば、
任意の正整数nに対して A_{n,b} はZの空集合ではない真部分集合であるから、
xに対して或る正整数n、或る b_{1}∈Z が存在して x∈A_{n,b_{1}} であって、
yに対して或る正整数m、或る b_{2}∈Z が存在して y∈A_{m,b_{2}} である
x≠y なるx、yはZの点であるから、0＜ε＜1 なる任意のεに対して、
或る δ(ε)≧1 なる実数を適当に選んで取れば、
|x−y|＜δ(ε) であって |f(x)−f(y)|≧ε である
よって、fは x∈A_{1,0} ではないときも不連続である
Case1)、Case2)から、一般にfは不連続である

[第1段]で(2)から位相空間 (Z,O) はハウスドルフ空間であって、
(Z,O) が距離空間であって、Zが疎集合なることをいえば、
Z部分集合族の定義と f：(Z,O)→(Z,O) の定義から、
f：(Z,O)→(Z,O) が不連続なことは直観的に分かるから、
後半の[第2段]で一々細かく場合分けして
fが不連続なことを示す議論は不要だろうが