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東北大 2022(令和4)年度 数学共通問題 http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2022_R4_kyotsu.pdf
問題
2. n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．
(1) A1,3が位相空間(Z, Ｏ)の閉集合であることを示せ．
(2）位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフであることを示せ．
(3) f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)を以下で定める.
x∈Zに対し,x∈A1,0のときf(x) = x/5,
それ以外のとf(x) = x.
このとき，fが連続であるかどうか，
理由ととともに答えよ
(引用終り)

問(3)の答案（いま逆写像を逆射（逆写でも良いだろう）と略記する。ことわりを入れると 現場答案作成時間短縮のテクニックとして院試では許されるでしょう）
まず 連続の定義を確認する
f:x→y , x∈(Z,Ｏ) y∈(Z,Ｏ)として
写像fが 連続とは 像y∈(Z,Ｏ)を含む ある開集合Oyをとったとき 元の位相空間において そのOyの逆像が xを含む開集合Oxが存在することである
（ここまでは 前回と同じ）
（なお、注意点としては 逆射f^-1：Oy→Ox の全射性を言う必要あり ∵全射でなければ 上記は不成立）
（ここは前回スルーしていたポイント）

いま、開基 A25,0〜24 に注意して f:x→y において
１）x∈A1,0のときで x∈A25,0＝{25t |t ∈ Z}の場合
　f:x→x/5 x/5∈A5,0＝{5t |t ∈ Z} に移る
　つまり f:25t→5t であって 逆射f^-1：5t→25t 即ち f^-1：x→5x と書ける
　逆射f^-1で 像はA5,0 逆像は A25,0 で 全射であり 逆像と像とも開基で この場合は連続
２）x∈A1,0のときで A25,5i＝{25t+5i |t ∈ Z i=1,2,3,4}の場合
　f:x→1/5(A25,5i)* で A5,i＝{5t+i |t ∈ Z i=1,2,3,4} に移る
　上記 １）同様に f^-1で 像はA5,i 逆像は A25,5i となり 逆射は全射であり 逆像と像とも開基で この場合も連続
３）開基 A25,j＝{25t+j |t ∈ Z j＝5k+l ここに k=0,1,2,3,4、l=1,2,3,4 である＊} に移る （＊注：要するに j=1,2,・・24の5の倍数以外）
　この場合 x∈A25,j は 明らかに x not∈A1,0 (∵ j＝5k+lは、5の倍数ではない）
　ゆえに f：x∈A25,j → x∈A25,j
　逆射f^-1：x∈A25,j → x∈A25,j であり 全射であり 逆像と像とも開基で この場合も連続
よって 問題の写像fは 連続である■

＜答案解説＞
・いまの場合 開基 A25,0〜24 に注目して これを 5で割り切れる開基と 5で割り切れない開基に分ける
・この場合分けで f：原像（＝逆像）→像から、 f^-1：像→逆像が キーワード開基を使って 全射性も述べる（開基なので開集合は自明）
・３）の場合に {25t+j |t ∈ Z j＝5k+l ここに k=0,1,2,3,4、l=1,2,3,4 である＊}と丁寧に5の倍数でない場合を分けて 逆像を考えるのが良さそう
以上