>>48の続き　重要概念ごとに良い演習問題例（実際に手を動かして欲しいもの）

1. 開集合・閉集合・近傍

問題A
実数直線ℝ上で通常の位相を考えたとき、集合 A = (0,1] ∪ {2} は
(a) 開か？閉か？どちらでもないか？
(b) 内部 Int(A) と閉包 Cl(A) を求めよ。

問題B
Xを任意の集合、O = {∅, X}（密着位相）とする。
このとき、Xの任意の部分集合はすべて閉集合でもあることを示せ。

2. 連続写像

問題C （これが一番重要かも）
f : X → Y が連続であることと、次の3条件が同値であることを示せ：
・任意の開集合 V ⊂ Y に対して f⁻¹(V) が X で開
・任意の閉集合 F ⊂ Y に対して f⁻¹(F) が X で閉
・任意の x ∈ X と y ∈ Y について、y が f(x) の近傍なら、x の近傍 W が存在して f(W) ⊂ V

3. 部分空間・積空間・商空間

問題D
ℝ²の部分集合 X = {(x,y) | xy = 0} （十字架＝x軸∪y軸）
このXに部分空間位相を入れたとき、Xは連結か？弧状連結か？

問題E （定番良問）
ℝの通常位相と、ℝの両端を同一視した商空間（つまり円周S¹）は同相でないことを示せ。

4. 連結性

問題F
実数直線ℝから点1個を取り除いた空間 ℝ \ {0} は連結か？弧状連結か？

問題G
集合 A = [0,1) ∪ (1,2] ∪ {3} （実数直線上の部分集合・部分空間位相）
Aは連結か？

5. コンパクト性

問題H （超重要）
[0,1] がコンパクトであることを、
「開被覆から有限部分被覆が取れる」定義を用いて直接証明せよ。（ε-δ論法ではなく）

問題I
ℝはコンパクトでないことを、具体的な開被覆を構成して示せ。

問題J （頻出）
単位円 S¹ = {(x,y) ∈ ℝ² | x² + y² = 1} はコンパクトか？
（ヒント：Heine-Borelでもよいが、開被覆で直接やってもよい）

6. 分離公理・可算公理

問題K
実数直線ℝ（通常位相）は第二可算であることを示せ。
（可算な開基を具体的に構成せよ）

問題L
密着位相（O = {∅, X}）の空間はハウスドルフか？T₁か？