>>518-520
（ニコ） (^^)君か
ありがとう
スレ主です

>A2,0→A1,0(=A2,0∪A2,5∪A2,10∪A2,15∪A2,20)

上記を見て気づいたが>>489
記号が滑っていたし 追加記述も入れて書き直しするよ
（原記述ままでは減点大杉で０点だな）

http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大 2022(令和4)年度 数学共通問題 http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2022_R4_kyotsu.pdf
問題 2.
n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．
(1) A1,3が位相空間(Z, Ｏ)の閉集合であることを示せ．
(2）位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフであることを示せ．
(3) f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)を以下で定める.
x∈Zに対し,x∈A1,0のときf(x) = x/5,
それ以外のとf(x) = x.
このとき，fが連続であるかどうか，
理由ととともに答えよ
(引用終り)

問(3)の答案（いま逆写像を逆射（逆写でも良いだろう）と略記する。ことわりを入れると 現場答案作成時間短縮のテクニックとして院試では許されるでしょう）
まず 連続の定義を確認する
f:x→y , x∈(Z,Ｏ) y∈(Z,Ｏ)として
写像fが 連続とは 像y∈(Z,Ｏ)を含む ある開集合Oyをとったとき 元の位相空間において そのOyの逆像が xを含む開集合Oxが存在することである
（ここまでは 前回と同じ）
（なお、注意点としては 逆射f^-1：Oy→Ox の全射性を言う必要あり ∵全射でなければ 上記は不成立）
（ここは前回スルーしていたポイント）

さらに
開基の構造で An,b = {5^n t + b | t ∈ Z} は
An,0、An,1、・・、An,5^n-1 とかけて
x∈An,k k=1〜5^n-1 なら x＝k mod 5^n でなので x＝k mod 5^(n+1) であるから
x∈An+1,k となることは 明らか
つまり x∈An,k を示せば それは 任意のより細かい開基でも成り立つ
（結局は ハウスドルフなのかな）

いま、開基 A2,0〜24 に注意して f:x→y において
１）x∈A1,0のときで x∈A2,0＝{25t |t ∈ Z}の場合
　f:x→x/5 x/5∈A5,0＝{5t |t ∈ Z} に移る
　つまり f:25t→5t であって 逆射f^-1：5t→25t 即ち f^-1：x→5x と書ける
　逆射f^-1で 像はA1,0 逆像は A2,0 で 全射であり 逆像と像とも開基
　上記で注意したことより 任意のより細かい開基に成り立つので この場合は連続
２）x∈A1,0のときで A2,5i＝{25t+5i |t ∈ Z i=1,2,3,4}の場合
　f:x→1/5(A1,i)* で A1,i＝{5t+i |t ∈ Z i=1,2,3,4} に移る
　上記 １）同様に f^-1で 像はA5,i 逆像は A2,5i となり 逆射は全射であり 逆像と像とも開基で
　この場合も上記同様連続
３）開基 A2,j＝{25t+j |t ∈ Z j＝5k+l ここに k=0,1,2,3,4、l=1,2,3,4 である＊} に移る （＊注：要するに j=1,2,・・24の5の倍数以外）
　この場合 x∈A2,j は 明らかに x not∈A1,0 (∵ j＝5k+lは、5の倍数ではない）
　ゆえに f：x∈A2,j → x∈A2,j
　逆射f^-1：x∈A2,j → x∈A2,j であり 全射であり 逆像と像とも開基で
　この場合も上記同様連続
よって 問題の写像fは 連続である■

つづく