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http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大 2022(R4)年度 数学共通 http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2022_R4_kyotsu.pdf
問題 2.
n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．
(1) A1,3が位相空間(Z, Ｏ)の閉集合であることを示せ．
(2）位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフであることを示せ．
(3) f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)を以下で定める.
x∈Zに対し,x∈A1,0のときf(x) = x/5,
それ以外のとf(x) = x.
このとき，fが連続であるかどうか，
理由ととともに答えよ
(引用終り)

先に 問(2)の答案をやろう
　まず >>311 より
”(2)任意のx,y∈Zが開集合で分離できればいい
xとyが異なれば
xとyがmod 5^nで異なるnが存在するので
x、yそれぞれを5^nで割った余りr,sをとれば
xとyはそれぞれを要素とするAn,rとAn,sで分離できる”

結論としては正しいが 院試答案としては 未熟だろう
(どんな点がつくか不明)

＜私の答案＞
位相空間(Z, Ｏ)がハウスドルフであるとは 任意のx,y∈Zで
x≠y ならば 開集合で分離できること
即ち 任意のxとyを含む開集合を x∈Ox y∈Oy (Ox,Oyは開集合)としたとき
Ox∩Oy ＝Φ（空）となる 二つの開集合が存在することである

いま 一般性を失わずに x<y として
0<x<y の場合
y < 5^n となる 大きなnを選ぶと 開基 An,0,An,1,An,2・・・An,5^(n+1)-1 において
xとyとは 異なる開基に属する
これら 開基は互いに交わらず よって積集合はΦ（空）となるので 開基による分離ができる

x<y<0 の場合
-5^n ＜ x となる 大きなnを選ぶと
上記同様に xとyが 異なる開基に属するようにできて 開基による分離ができる

x<0<y の場合
まず (絶対値) ｜x｜<｜y｜として
上記のように y < 5^n となる 大きなnを選ぶと 開基 An,0,An,1,An,2・・・An,5^n-1 とできる
もし それにより xとyが 分離できていれば よいが
そうでない場合 つまり xとyが ある同じ An,k (K=0,1,2・・,5^n-1)に属したときは
より細かい 位相を選ぶことができ
An+1,0,An+1,1,An+1,2・・・An+1,5^(n+1)-1 を考えて
異なる開基に属するようにできる
すなわち 正のyは y=k であって 負のxは x∈An,k （k<5^n）
で つまり -5^n と 負のxとの差が kゆえ x=-5^n+kであって
細かい位相でも同様に -5^(n+1)とxとの差 k' を考えると
k' ＝5^(n+1)-5^n -k =4・5^n-k となる
もし k' =k なら k=2・5^n が導かれ k<5^nと矛盾する
ゆえに k' ≠k であり 即ち 大きなnを選んで 細かい位相にすると
xとyは、開基による分離ができる

｜x｜>=｜y｜の場合も同様の議論で
大きなnを選んで 細かい位相にすると
xとyは、開基による分離ができる
よって
位相空間(Z, Ｏ)はハウスドルフ■

補足
ここでの ハウスドルフを導く肝は x<0<y の場合 で
より大きなnを選んで 細かい位相にできること
これが問(3)の関数fの連続証明の誘導になっているのだろう