つづき

次に、Z-Uは閉（U開）。
fが閉写像なのでf(Z-U)はWで閉。
よってO_1 = W-f(Z-U)は開。
同様、O_2 = W-f(Z-V)は開。

w_1 ∈ O_1：
A ⊂ UなのでA ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ f^{-1}(w_1) ∩ (Z-U) = ∅ ⇒ w_1 ∉ f(Z-U) ⇒ w_1 ∈ O_1。
w_2 ∉ O_1：
B ⊂ V, だがV ⊂ Z-U（U ∩ V = ∅より）⇒ B ⊂ Z-U ⇒ w_2 ∈ f(Z-U) ⇒ w_2 ∉ O_1。

同様に、
w_2 ∈ O_2：
B ⊂ V ⇒ B ∩ (Z-V) = ∅ ⇒ w_2 ∉ f(Z-V) ⇒ w_2 ∈ O_2。
w_1 ∉ O_2：
A ⊂ U ⊂ Z-V（U ∩ V = ∅より）⇒ A ⊂ Z-V ⇒ w_1 ∈ f(Z-V) ⇒ w_1 ∉ O_2。

最後にO_1 ∩ O_2 = ∅を示す：←ここは 上記 U ∩ V = ∅ → 補集合 U^c ∩ V^c = Z を先に導いておいて 各補集合は閉集合でこれをｆでＷに送って ”任意のw_1 ≠ w_2 分離”をいうのがスマートだよ 前スレ 789-790 ご参照
O_1 ∩ O_2 = W-(f(Z-U) ∪ f(Z-V))。
f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
よってO_1 ∩ O_2 = W \ W = ∅。← W \ Wは、ご愛敬

したがって、w_1 ∈ O_1, w_2 ∈ O_2（開）, O_1 ∩ O_2 = ∅。
任意のw_1 ≠ w_2を分離できたので、Wはハウスドルフ。
（証明終わり）

注：* いま ハウスドルフZにおいて 有限n個の点で 互いに 開近傍分離可能を認める **)
つまり 最初から a1,a2,・・am, b1,b2,・・bn たちを すべてが互いに 開近傍で分離できているようにできる
その開近傍を ua1,ua2,・・uam, ub1,ub2,・・ubn として
二つの組の和集合
∪ai と ∪bi を作れば この二つは交わりを持たない

**)これは 数学的帰納法を使えば良いだろう。証明は思いつくであろう by ガロア
証明をスマート書く時間があればいいが なければ 略証をチョコと書いて逃げるのも 現場答案のテクニックだろうね。部分点狙い （＾＾