>>684
「点xで関数y=f(x)が連続とは
yを要素にもつ任意の開集合の(fの)逆像が
xを要素にもつ開集合となること」

上の定義では、684の証明は誤り
x≠x'で、f(x)=f(x')となるとき
逆像はxもx'も要素に持たねばならない

684のような証明をどうしても書きたいなら
各点連続は以下の定義にするしかない

「点xで関数y=f(x)が連続とは
yを要素に持つ任意の開集合Oyに対して
xを要素に持つ開集合Oxが存在して
f(Ox)⊂Oyとなること」

これなら距離を定義しなくてよい

ただ、連続性を各点連続で定義せねばならない理由は全くない
意味のない教義を遵守しても数学の悟りは得られない