>>702-703
>位相を理解してない人はどうしても距離を金科玉条とするのでしょう
>位相と距離を混同すると、宜しくないと思います。
>位相の話のときには、イプシロンデルタは忘れた方が良いですね、おそらく。

（ニコ） (^^)君か
コメントありがとう
が お恐れながら 異議ありです （＾＾
つまり
１）位相は距離空間の一般化（抽象化）だとすると 一体化させた“big picture”>>22-23
　を 自分の内心に構築することが 数学のあるべき勉強法で 数学成熟度を上げることと思う
２）私は ”距離を金科玉条”でもなく、”位相と距離を混同”をしているわけではない
　真逆で、抽象化された位相の話を 少し具体的なよく知られた イプシロンデルタの例で議論しようとしただけ
３）で、君達の考えの反例を作ろう

　まず >>612 より再録すると
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大 2022(R4)年度 数学共通 http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2022_R4_kyotsu.pdf
問題 2.
n∈ Z>0(正整数)とb∈Zに対し，
An,b = {5^n t + b | t ∈ Z}
とおく．Zの部分集合族B={An,b | n∈Z>0､b∈Z}に対し,
Ｏを Bを開基とするZの位相（開集合系）と定める．
(1) (2）略．
(3) f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)を以下で定める.
x∈Zに対し,
x∈A1,0のときf(x) = x/5,
それ以外のときf(x) = x.
このとき，fが連続であるかどうか，
理由ととともに答えよ
(引用終り)

これで、注意したいのは，x∈A1,0 以外のときf(x) = x とある
つまり、恒等写像であって逆 f^-1(x) = x もまた 恒等写像
ゆえに 原像側と像側の開集合は お互い写し合うから 明らかに連続だね
ここまでは いいだろ？

次に、x∈A1,0のときf(x) = x/5 とあるのを
f(x)がある点x1で不連続になるように できる
それを いま f’(x)とする
さらに 点x1の像 f’(x1)が 上記恒等写像と重なるようにして
即ち 恒等写像での ある点x2がとれて f’(x1)＝f(x2) とできたとする
そうすると f(x2)については 恒等写像なので その開集合の逆像は また開集合
一方、 f’(x1)は 不連続としたので 開集合の逆像は 開集合でない
よって二つの逆像の和集合は 開集合でない

そうすると、恒等写像は絶対的に連続であるべきなのだが
あなたたちの二つの逆像の和集合を取る理論では
開集合の恒等写像による逆像に 和集合を取ることで開集合でないものができる
つまり、ある恒等写像に 別の領域の写像が影響して 連続であったり不連続になったりする
これは 矛盾
よって、あたたちの 二つの逆像の和集合を取る理論の反例が構成できた

ここは、いま学部で院試勉強をしている人には 重要ポイントだから
しっかり 考えて