>>716-717
>全域で連続かどうか問われているのだから
>連続性がノントリビアルで面白い例は？

およ
下記の不連続性の分類ように １点の不連続点は人為的に作りうる
今回も同じで ”f(x)=x”を細工して １点で不連続にできるだろう
即ち 全域で連続とは １点たりとも不連続点がないということよ

>>688
>ところで、問題の位相でf(x)＝x^2は連続？

これ 面白いかもしれない
つまり、 y＝x^2 で 逆像 x＝ ±√y
こうなると yが平方数でないと √y ∉ Z(整数ではない) から
あるいは >>711で”x∈A1,0のときf(x) = x/5”を
以下のように変える
”x∈A1,0のときf(x) = 2x/5”に変更
すると 逆は f^-1(x) = 5x/2 となる
こうなると xが奇数のとき 5x/2 ∉ Z(整数ではない)
一般に 開基の逆像が 開基でなくなるのでは？
出題のままなら話は単純だが
いろんなバリエーションを考えると 話はそう単純ではない！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
函数 f の x0 における跳び、跳躍 (jump)、段差 (step) あるいは間隙 (gap) などといい、f は x = x0 において跳び j の跳躍不連続点 (jump discontinuity)、段差不連続点 (step discontinuity) あるいは間隙不連続点 (gap discontinuity) を持つなどという
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。