>>763
>令和4年度のはf（x）=x/5が混じっているから嫌らしいですが、恒等写像のみなら強い位相から弱い位相への写像は連続ということでOKにしませんか？
>これじゃ、全然前に進まないですよw

（ニコ） (^^)君
スレ主です
分った
前に進めよう
（で、適当にもどろうな）

おっと 事前に書いておくが
” f:(Z,Ｏ)→(Z,Ｏ)”>>749
のように 原像→像 とも 同じ位相Ｏをとることも多いよ
そのときは、『恒等写像は連続』が成り立つ

だから
”x∈Zに対し,
x∈A1,0のときf(x) = x/5,”>>749
の部分だけを扱えば良い（その方が簡単だろ）

なお　>>758より
”(google検索)
"恒等写像" f(x)=x が連続であるための 位相空間の条件は？
AI による概要
恒等写像 id:(X,O1)→(X,O2)
が連続であるための必要十分条件は、定義域の位相 O1
が値域の位相 O2
より細い（Fine）こと、すなわち O2 ⊆ O1
となることです。”
これの証明は どこかにあるだろう。後でさがしておく

さて >>240の(参考)
https://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/index9-4.html
神戸大数学専攻過去問
https://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/home-j/gif/r03.pdf
令和3年度博士課程前期課程入学試験問題 数学I
神戸大学大学院研究科数学専攻
2020年8月20日
問題4．次の間に答えよ
（1）集合Xから集合Yへの写像f:X→Yがある.Xの部分集合A,Bについて,次の命題が正し
ければ,証明を与えよ．正しくないときには,反例と反例であることの証明を与えよ
(i) A∩B≠φならばf(A) ∩ f(B)≠φ である．
(ii)A∩B=φならばf(A) ∩ f(B) = φ である．
(2) f;(X,O)→（Y,O)を位相空間(X,O),（Y,O)の間の写像とするf(X) = {a}を満たすa∈Y
が存在するならば,fは連続写像であることを示せ．
(3)位相空間(X, O)がハウスドルフ空間であるとする
Xの任意の相異なる3点p,q,rに対し,Xの開集合U,V,Wで,
p∈U, q∈V, r∈W,U∩V＝φ,V∩W＝φ,W∩U＝φ を満たすものが
存在することを示せ．
(引用終り)
をやろうか

問題4
(1）(i)は、正しいかな。証明は 背理法か
(ii)は、偽だろう。反例は
　実関数 f:R→R で f(x)=|x|、 A=(-∞,0)、B=(0,∞)
　とすれば A∩B=φで f(A) ∩ f(B) ≠ φ
(2)は、”f(X) = {a}”は 元PDFを見ないと分らないだろうが
　f(X)の"X"は 位相空間(X,O)のXなんだね。”f(X) = {a}”なんて
　記号濫用もいいとこだが、惑わそうってことか
　全体Xが →{a}で一点に凝集できる？ 一点{a}は閉だから閉集合の連続条件使う？
(3)は、以前の東北大で類題やった
　まず、pとqで分離開集合を作って 次に pとr および qとr で 分離開集合を作って
　最後３つの開集合の積集合を作れば良かった気がする