(1)
(i) x∈A∩B ならば f(x)∈(f(A)∩f(B)) なので 正しい
(ii) x∈A,y∈b で f(x)=f(y) となる場合、不成立

(2)
aを要素とするYの任意の開集合の逆像はXとなる
aを要素としないYの任意の開集合の逆像は{}となる
どちらもXの開集合であるので、fの連続性の要件を満たす

(3)
まず
p∈Upq　q∈Vqp　Upq∩Vqp=φ
q∈Vqr　r∈Wrq　Vqr∩Wrq=φ
p∈Upr　r∈Wrp　Upr∩Vrp=φ
という開集合Upq,Upr,Vqp,Vqr,Wrp,Wrqが存在する
その上で
U＝Upq∩Upr
V＝Vqp∩Vqr
W＝Wrp∩Wrq
とすれば題意を満たす

あああ、あほくさ
神戸大？ここなら受かりそうだな（笑）