(>>808の続き)
γは無理数と仮定していることに注意すれば、
γは一意に正則無限連分数展開されるから、
γの偶数次の近似分数は無限個存在することに着目して、
任意に n≧k なる整数nを取って、q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧k q_{2n}≧2 なる
既約有理数 q_{2n}/p_{2n} をγの第(2n)次近似分数とする
k≧2 であるから、 p_{2n}≧k q_{2n}≧2 から
q_{2n}/p_{2n}≧2/p_{2n} であって、
γ−2/p_{2n}≧γ−q_{2n}/p_{2n}＞0 である
故に、kに対して或る2以上の整数 n(k) が存在して、
q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧n(k) 2≦q_{2n}≦n(k) なる
γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} は
0＜|γ−q_{2n}/p_{2n}|＝γ−q_{2n}/p_{2n}＜1/(p_{2n)^2＜|γ−1/(p_{2n})|
を満たす。γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧n(k) 2≦q_{2n}≦n(k)
は 0＜γ−q_{2n}/p_{2n} を満たすから、γ＜3/5 から q_{2n}/p_{2n}＜3/5 であって、
q_{2n}≧2 であるから、p_{2n}＞(5/3)・q_{2n}≧10/3 から p_{2n}≧4 である
よって、γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧4 2≦q_{2n}≦n(k) は
0＜|γ−q_{2n}/p_{2n}|＝γ−q_{2n}/p_{2n}＜1/(p_{2n)^2＜|γ−1/(p_{2n})|
を満たす。γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧4 2≦q_{2n}≦n(k)
の分母 p_{2n} と分子 q_{2n} は n(k)/p_{2n}≧q_{2n}/p_{2n}≧2/p_{2n} を満たすから、
γ＞q_{2n}/p_{2n}−1/(p_{2n})^2＞1/(p_{2n})^2 である
γの (q_{2n}/p_{2n})-近傍 U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) を考えれば
q_{2n}/p_{2n}−1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ)、
1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) である